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10. 观察下列各式：$-1×\frac{1}{2}=-1+\frac{1}{2}, -\frac{1}{2}×\frac{1}{3}=-\frac{1}{2}+\frac{1}{3}, -\frac{1}{3}×\frac{1}{4}=-\frac{1}{3}+\frac{1}{4}, ···.$
(1)猜想：$-\frac{1}{100}×\frac{1}{101}=$
(2)你发现的规律是$-\frac{1}{n}×\frac{1}{n+1}=$
(3)用规律计算：$(-1×\frac{1}{2})+(-\frac{1}{2}×\frac{1}{3})+(-\frac{1}{3}×\frac{1}{4})+···+(-\frac{1}{999}×\frac{1}{1000})+(-\frac{1}{1000}×\frac{1}{1001})=$
(1)猜想：$-\frac{1}{100}×\frac{1}{101}=$
$-\frac{1}{100}+\frac{1}{101}$
；(写成和的形式)(2)你发现的规律是$-\frac{1}{n}×\frac{1}{n+1}=$
$-\frac{1}{n}+\frac{1}{n+1}$
；(n为正整数)(3)用规律计算：$(-1×\frac{1}{2})+(-\frac{1}{2}×\frac{1}{3})+(-\frac{1}{3}×\frac{1}{4})+···+(-\frac{1}{999}×\frac{1}{1000})+(-\frac{1}{1000}×\frac{1}{1001})=$
$-\frac{1000}{1001}$
.答案
10. (1)$-\frac{1}{100}+\frac{1}{101}$ 解析:观察可知,后一个式子与前一个式子相比,分母均大 1,且两数相乘等于两数相加,则第100 个式子为$-\frac{1}{100}×\frac{1}{101}=-\frac{1}{100}+\frac{1}{101}$.
(2)$-\frac{1}{n}+\frac{1}{n+1}$ 解析:由(1)中规律可得$-\frac{1}{n}×\frac{1}{n+1}=-\frac{1}{n}+\frac{1}{n+1}$.
(3)$-\frac{1000}{1001}$ 解析:原式=$-1+\frac{1}{2}-\frac{1}{2}+\frac{1}{3}-\frac{1}{3}+\frac{1}{4}-…-\frac{1}{1000}+\frac{1}{1001}=-1+\frac{1}{1001}=-\frac{1000}{1001}$.
(2)$-\frac{1}{n}+\frac{1}{n+1}$ 解析:由(1)中规律可得$-\frac{1}{n}×\frac{1}{n+1}=-\frac{1}{n}+\frac{1}{n+1}$.
(3)$-\frac{1000}{1001}$ 解析:原式=$-1+\frac{1}{2}-\frac{1}{2}+\frac{1}{3}-\frac{1}{3}+\frac{1}{4}-…-\frac{1}{1000}+\frac{1}{1001}=-1+\frac{1}{1001}=-\frac{1000}{1001}$.
11. 观察下面一系列等式：
①$2^2 - 2^1 = 4 - 2 = 2^1$；
②$2^3 - 2^2 = 8 - 4 = 2^2$；
③$2^4 - 2^3 = 16 - 8 = 2^3$；
④______；
……
(1)请按这个顺序仿照前面的等式写出等式④：______；
(2)根据你上面所发现的规律，用含字母$n$的式子表示等式ⓝ：______，并说明这个规律的正确性；
(3)请利用上述规律计算：$2^1 + 2^2 + 2^3 + \dots + 2^{100}$。
①$2^2 - 2^1 = 4 - 2 = 2^1$；
②$2^3 - 2^2 = 8 - 4 = 2^2$；
③$2^4 - 2^3 = 16 - 8 = 2^3$；
④______；
……
(1)请按这个顺序仿照前面的等式写出等式④：______；
(2)根据你上面所发现的规律，用含字母$n$的式子表示等式ⓝ：______，并说明这个规律的正确性；
(3)请利用上述规律计算：$2^1 + 2^2 + 2^3 + \dots + 2^{100}$。
答案
11. (1)$2^5 - 2^4 = 32 - 16 = 2^4$ 解析:由前三个式子的规律可得等式.
(2)$2^{n+1} - 2^n = 2^n$ 说明: 因为$2^{n+1} - 2^n = \underbrace{2×2×2×…×2}_{(n+1)个2} - \underbrace{2×2×2×…×2}_{n个2} = \underbrace{2×2×2×…×2}_{n个2} × (2 - 1) = \underbrace{2×2×2×…×2}_{n个2} = 2^n$,所以$2^{n+1} - 2^n = 2^n$.
(3)根据规律,$2^1 + 2^2 + 2^3 + … + 2^{100} = (2^2 - 2^1) + (2^3 - 2^2) + (2^4 - 2^3) + … + (2^{101} - 2^{100}) = 2^2 - 2^1 + 2^3 - 2^2 + 2^4 - 2^3 + … + 2^{101} - 2^{100} = -2^1 + 2^{101} = 2^{101} - 2$.
(2)$2^{n+1} - 2^n = 2^n$ 说明: 因为$2^{n+1} - 2^n = \underbrace{2×2×2×…×2}_{(n+1)个2} - \underbrace{2×2×2×…×2}_{n个2} = \underbrace{2×2×2×…×2}_{n个2} × (2 - 1) = \underbrace{2×2×2×…×2}_{n个2} = 2^n$,所以$2^{n+1} - 2^n = 2^n$.
(3)根据规律,$2^1 + 2^2 + 2^3 + … + 2^{100} = (2^2 - 2^1) + (2^3 - 2^2) + (2^4 - 2^3) + … + (2^{101} - 2^{100}) = 2^2 - 2^1 + 2^3 - 2^2 + 2^4 - 2^3 + … + 2^{101} - 2^{100} = -2^1 + 2^{101} = 2^{101} - 2$.
12. (2026·连云港期末)用黑白两色棋子按下图的方式摆放,依此规律,第⑩个图形中白色棋子的个数为 (
A.31
B.69
C.90
D.100
C
)A.31
B.69
C.90
D.100
答案
12. C 解析:第①个题图白色棋子数:0 = 1×0,第②个题图白色棋子数:2 = 2×1,第③个题图白色棋子数:6 = 3×2,第④个题图白色棋子数:12 = 4×3,…,所以第ⓝ个题图白色棋子数为 n(n-1),当 n = 10 时,10×(10-1) = 10×9 = 90,故选 C.
13. 新考法（2025·淄博期中）生物课题小组对附着在物体表面的三个微生物（课题组成员把它们分别标号为1,2,3）的生长情况进行观察记录，这三个微生物第1天各自一分为二产生新的微生物（依次标号为4,5,6,7,8,9），接下去每天都按照这样的规律变化，即每个微生物一分为二，形成新的微生物（课题组成员用如图所示的图形进行形象地记录），那么标号为100的微生物会出现在（
A.第4天
B.第5天
C.第6天
D.第7天
B
）A.第4天
B.第5天
C.第6天
D.第7天
答案
13. B 解析:第一天产生新的微生物有 6 个标号,第二天产生新的微生物有 12 个标号,以此类推,第三天、第四天、第五天产生新的微生物分别有 24 个,48 个,96 个,所以标号为100 的微生物会出现在第 5 天.故选 B.
14. (2026·泰州期末)下图是根据一定规律设置的密码,则第四幅图的密码是
09072445
.答案
14. 09072445 解析:对于密码 04140836,04 = 1+3,14 = 5+9,08 = (3+5)×1,36 = (3+1)×9.
对于密码 09052136,09 = 2+7,05 = 1+4,21 = (2+1)×7,36 = (2+7)×4.
四次运算每次运算得到的两位数从左向右排列而成的八位数即为密码,如果运算结果为一位数,前面补 0 得到两位数.每一个图形中四个数可以看作两行,两列.
第一次运算:第 1 列两数相加;第 2 次运算:第 2 列两数相加;第 3 次运算:第 1 行两数的和与左下角的数相乘;第 4次运算:第 1 列两数的和与右下角的数相乘.则第四幅图中,6+3=9,记为 09,2+5=7,记为 07,(6+2)×3 = 24,记为24,(6+3)×5 = 45,记为 45,所以该图形的密码为 09072445.
对于密码 09052136,09 = 2+7,05 = 1+4,21 = (2+1)×7,36 = (2+7)×4.
四次运算每次运算得到的两位数从左向右排列而成的八位数即为密码,如果运算结果为一位数,前面补 0 得到两位数.每一个图形中四个数可以看作两行,两列.
第一次运算:第 1 列两数相加;第 2 次运算:第 2 列两数相加;第 3 次运算:第 1 行两数的和与左下角的数相乘;第 4次运算:第 1 列两数的和与右下角的数相乘.则第四幅图中,6+3=9,记为 09,2+5=7,记为 07,(6+2)×3 = 24,记为24,(6+3)×5 = 45,记为 45,所以该图形的密码为 09072445.
15. 用若干黑白两色的正方形按如图所示的方式摆放,依此规律,第$ n $个图形中小正方形的总个数是
$(n+1)^2$
;若第$ n $个图形中白色正方形的个数记为$ S_n $,计算:$(1+\frac{1}{S_1})×(1+\frac{1}{S_2})×(1+\frac{1}{S_3})×···×(1+\frac{1}{S_{20}})=$$\frac{21}{11}$
。答案
15. $(n+1)^2$ $\frac{21}{11}$ 解析:第 1 个题图:小正方形的总个数是$(1+1)^2=4$;第 2 个题图:小正方形的总个数是$(2+1)^2=9$;第 3 个题图:小正方形的总个数是$(3+1)^2=16$;第 4 个题图:小正方形的总个数是$(4+1)^2=25$……以此类推,第 n 个题图中小正方形的总个数是$(n+1)^2$;
因为第 n 个题图中白色正方形的个数记为$S_n$,所以$S_1=(1+1)^2-1=3$,$S_2=(2+1)^2-1=8$,$S_3=(3+1)^2-1=15$,$S_4=(4+1)^2-1=24$……以此类推:第 n 个题图中白色正方形的个数记为$S_n=(n+1)^2-1$,所以$(1+\frac{1}{S_1})×(1+\frac{1}{S_2})×(1+\frac{1}{S_3})×…×(1+\frac{1}{S_{20}}) = (1+\frac{1}{3})×(1+\frac{1}{8})×(1+\frac{1}{15})×…×(1+\frac{1}{440}) = \frac{4}{3}×\frac{9}{8}×\frac{16}{15}×\frac{25}{24}×…×\frac{441}{440} = \frac{3}{2}×\frac{16}{15}×\frac{25}{24}×…×\frac{441}{440} = \frac{3}{2}×\frac{2}{3}×\frac{5}{3}×…×\frac{441}{440} = \frac{5}{3}×\frac{36}{35}×\frac{49}{48}…×\frac{441}{440} = \frac{5}{3}×\frac{3}{5}×\frac{7}{4}×…×\frac{441}{440} = \frac{7}{4}×\frac{64}{63}×\frac{81}{80}×…×\frac{400}{399}×\frac{441}{440} = \frac{7}{4}×\frac{4}{7}×\frac{9}{5}×…×\frac{21}{11} = \frac{21}{11}$.
因为第 n 个题图中白色正方形的个数记为$S_n$,所以$S_1=(1+1)^2-1=3$,$S_2=(2+1)^2-1=8$,$S_3=(3+1)^2-1=15$,$S_4=(4+1)^2-1=24$……以此类推:第 n 个题图中白色正方形的个数记为$S_n=(n+1)^2-1$,所以$(1+\frac{1}{S_1})×(1+\frac{1}{S_2})×(1+\frac{1}{S_3})×…×(1+\frac{1}{S_{20}}) = (1+\frac{1}{3})×(1+\frac{1}{8})×(1+\frac{1}{15})×…×(1+\frac{1}{440}) = \frac{4}{3}×\frac{9}{8}×\frac{16}{15}×\frac{25}{24}×…×\frac{441}{440} = \frac{3}{2}×\frac{16}{15}×\frac{25}{24}×…×\frac{441}{440} = \frac{3}{2}×\frac{2}{3}×\frac{5}{3}×…×\frac{441}{440} = \frac{5}{3}×\frac{36}{35}×\frac{49}{48}…×\frac{441}{440} = \frac{5}{3}×\frac{3}{5}×\frac{7}{4}×…×\frac{441}{440} = \frac{7}{4}×\frac{64}{63}×\frac{81}{80}×…×\frac{400}{399}×\frac{441}{440} = \frac{7}{4}×\frac{4}{7}×\frac{9}{5}×…×\frac{21}{11} = \frac{21}{11}$.
