14. 某超市于今年年初以每件 25 元的进价购进了一批商品。当商品售价为 40 元时，一月份销售 256 件。二、三月该商品十分畅销，销售量持续走高，在售价不变的基础上，三月底的销售量达到 400 件。设二、三这两个月的月平均增长率不变。
（1）求二、三这两个月的月平均增长率。
（2）从四月份起，商场决定采用降价促销的方式回馈顾客，经调查发现，该商品每降价 1 元，销售量增加 5 件，当商品降价多少元时，商场获利 4250 元？

14. 解:(1)根据题意可得 $256(1+x)^2=400$,解得$x_1=\frac{1}{4}=25\%,x_2=-\frac{9}{4}$(不合题意舍去)。答:二、三这两个月的月平均增长率为25%。
(2)设当商品降价$m$元时,商品获利4250元,根据题意可得$(40-25-m)(400+5m)=4250$,解得$m_1=5,m_2=-70$(不合题意舍去).答:当商品降价5元时,商场获利4250元。

15. 在边长为4的正方形ABCD中，M，N分别是边BC，CD上的动点，且BM=CN。
(1)如图1，连结AM和BN交于点P，求证：AM⊥BN。
(2)如图2，连结AM和BN交于点P，连结DP，若M为BC的中点，求DP的长。
(3)如图3，连结BN，DM，则BN+DM的最小值为。

15. (1)证明:因为四边形ABCD是正方形,所以$AB=BC,∠ABC=∠BCD=90°$。又因为$BM=CN$,所以$△ ABM≌△ BCN$(SAS),所以$∠BAM=∠CBN$。因为$∠CBN+∠ABN=90°$,所以$∠ABN+∠BAM=90°$,所以$∠APB=90°$,所以$AM⊥BN$。
(2)解:如图1所示,延长BN,交AD的延长线于点G,因为四边形ABCD是正方形,所以$AD=BC=CD$。因为$BM=CN,BM=CM$,所以$CN=DN$。因为$∠BNC=∠DNG$,$∠NDG=∠BCN=90°$,所以$△ BCN≌△ GDN$(ASA),所以$BC=DG$,所以$AD=DG$,由(1)知$AM⊥BN$,所以$∠APG=90°$,所以$PD=AD=4$。

(3)$4\sqrt{5}$ 解析:如图2所示,连结AM,延长AB至点H,使$AB=BH$,连结HM,DH。由(1)得$△ ABM≌△ BCN$,所以$AM=BN$。因为$AB=BH=4,∠ABM=∠HBM=90°,BM=BM$,所以$△ ABM≌△ HBM$(SAS),所以$AM=HM=BN$,所以$BN+DM=HM+DM$,所以当H,M,D三点共线时,$BN+DM$有最小值为DH。因为$AD=4,AH=AB+BH=8$,所以$DH=\sqrt{AD^2+AH^2}=\sqrt{4^2+8^2}=4\sqrt{5}$,所以$BN+DM$的最小值为$4\sqrt{5}$。