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12.【问题提出】观察一下生活中小蜜蜂修建的六边形蜂巢，它们有一定的规律，如何用含$n$的式子表示第$n$个图形的蜂巢中六边形的总数呢？
【分析思路】我们可以把图形看成几个部分的组合，找到每一部分对应的数字规律，进而找到整个图形对应的数字规律. 如：要解决上面的问题，我们不妨先从特例入手(统一用$S_{n}$表示第$n$个图形的蜂巢中六边形的总数).
【解决问题】
(1)如图，如果把每个图形按照它的新增六边形观察，你能发现这些六边形的排布规律吗？像$n=1$，$n=2$，$n=3$的情形那样，请用数学算式表达你发现的规律：$S_{1}=4$，$S_{2}=4+3$，$S_{3}=4+3+3$，$S_{4}=$
(2)用含$n$的式子表示$S_{n}=$
(3)请问$S_{n}$有可能是2024吗？如果可以，请求出$n$的值；如果不可以，请说明理由.
【分析思路】我们可以把图形看成几个部分的组合，找到每一部分对应的数字规律，进而找到整个图形对应的数字规律. 如：要解决上面的问题，我们不妨先从特例入手(统一用$S_{n}$表示第$n$个图形的蜂巢中六边形的总数).
【解决问题】
(1)如图，如果把每个图形按照它的新增六边形观察，你能发现这些六边形的排布规律吗？像$n=1$，$n=2$，$n=3$的情形那样，请用数学算式表达你发现的规律：$S_{1}=4$，$S_{2}=4+3$，$S_{3}=4+3+3$，$S_{4}=$
$4+3+3+3$
；(2)用含$n$的式子表示$S_{n}=$
$3n+1$
；(3)请问$S_{n}$有可能是2024吗？如果可以，请求出$n$的值；如果不可以，请说明理由.
答案
12.(1)$4+3+3+3$ (2)$3n+1$
(3)解:不可以,理由如下:
若$3n+1=2024$,解得$n=674\dfrac{1}{3}$,不是整数,不符合题意.
(3)解:不可以,理由如下:
若$3n+1=2024$,解得$n=674\dfrac{1}{3}$,不是整数,不符合题意.
解析
【分析】
先观察前几个图形的六边形总数，找到相邻图形间的数量变化规律，从特例入手归纳出第n个图形的总数表达式，再代入验证是否符合要求。
【解析】
(1) 观察图形：n=1时，S₁=4；n=2时，比n=1多3个，S₂=4+3；n=3时，比n=2多3个，S₃=4+3+3；因此n=4时，比n=3多3个，故S₄=4+3+3+3。
(2) 由规律可知，第n个图形的总数是首项为4，后续每一项加3，共n项，化简得：Sₙ=4 + 3(n-1)=3n+1。
(3) 假设Sₙ=2024，即3n+1=2024，解得n=(2024-1)÷3=674$\dfrac{1}{3}$，n不是正整数，不符合图形序号为正整数的要求，故Sₙ不可能是2024。
【答案】
(1)$4+3+3+3$；(2)$3n+1$；(3)不可以，理由：若$3n+1=2024$，解得$n=674\dfrac{1}{3}$，不是整数，不符合题意。
【知识点】
找规律、代数式、一元一次方程
【点评】
本题通过数形结合的形式，从具体图形的数量变化中归纳出一般规律，考查观察能力与归纳推理能力，是典型的规律探究题。
【难度系数】
0.6
先观察前几个图形的六边形总数，找到相邻图形间的数量变化规律，从特例入手归纳出第n个图形的总数表达式，再代入验证是否符合要求。
【解析】
(1) 观察图形：n=1时，S₁=4；n=2时，比n=1多3个，S₂=4+3；n=3时，比n=2多3个，S₃=4+3+3；因此n=4时，比n=3多3个，故S₄=4+3+3+3。
(2) 由规律可知，第n个图形的总数是首项为4，后续每一项加3，共n项，化简得：Sₙ=4 + 3(n-1)=3n+1。
(3) 假设Sₙ=2024，即3n+1=2024，解得n=(2024-1)÷3=674$\dfrac{1}{3}$，n不是正整数，不符合图形序号为正整数的要求，故Sₙ不可能是2024。
【答案】
(1)$4+3+3+3$；(2)$3n+1$；(3)不可以，理由：若$3n+1=2024$，解得$n=674\dfrac{1}{3}$，不是整数，不符合题意。
【知识点】
找规律、代数式、一元一次方程
【点评】
本题通过数形结合的形式，从具体图形的数量变化中归纳出一般规律，考查观察能力与归纳推理能力，是典型的规律探究题。
【难度系数】
0.6
