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13. 已知五个连续正整数的中间一个数为 $ n $.
(1)请你写出其余四个数；
(2)求这五个数的和；
(3)有人说“这五个数的和一定是10的倍数”，你认为对吗？为什么？
(1)请你写出其余四个数；
(2)求这五个数的和；
(3)有人说“这五个数的和一定是10的倍数”，你认为对吗？为什么？
答案
13. 解:(1)$n-2,n-1,n+1,n+2.$
(2)$n-2+n-1+n+n+1+n+2=5n.$
(3)不对.如当$n=5$时,其和为25,不是10的倍数.
(2)$n-2+n-1+n+n+1+n+2=5n.$
(3)不对.如当$n=5$时,其和为25,不是10的倍数.
解析
【分析】
（1）首先明确连续正整数的特征：相邻两个数的差为1，已知中间数是n，它前面的两个数依次比它小1、小2，后面的两个数依次比它大1、大2，据此即可写出其余四个数；
（2）求五个数的和，只需将五个数相加，再合并同类项化简即可得到结果；
（3）根据化简后的和为5n分析：只有当n是偶数时，5n才是10的倍数，若n为奇数，5n是5的奇数倍，不是10的倍数，举一个符合条件的反例即可验证说法错误。
【解析】
解：(1) 因为连续正整数相邻两数相差1，中间数为n，所以其余四个数分别为$n-2,n-1,n+1,n+2$；
(2) 这五个数的和为：
$\begin{aligned}&(n-2)+(n-1)+n+(n+1)+(n+2)\\=&n-2+n-1+n+n+1+n+2\\=&5n\end{aligned}$
(3) 不对。理由：由(2)可知五个数的和为$5n$，当$n$为奇数时，$5n$不是10的倍数，例如当$n=5$时，五个数的和为$5×5=25$，25不是10的倍数，因此该说法不成立。
【答案】
(1)$n-2,n-1,n+1,n+2$；
(2)$5n$；
(3)不对，如当$n=5$时，其和为25，不是10的倍数。
【知识点】
连续整数的表示、合并同类项、命题真假判断
【点评】
本题属于基础题，主要考查连续整数的表示方法、合并同类项的运算，以及通过举反例验证结论是否成立的方法，解题的关键是熟练掌握连续整数的特征和合并同类项的运算法则。
【难度系数】
0.9
（1）首先明确连续正整数的特征：相邻两个数的差为1，已知中间数是n，它前面的两个数依次比它小1、小2，后面的两个数依次比它大1、大2，据此即可写出其余四个数；
（2）求五个数的和，只需将五个数相加，再合并同类项化简即可得到结果；
（3）根据化简后的和为5n分析：只有当n是偶数时，5n才是10的倍数，若n为奇数，5n是5的奇数倍，不是10的倍数，举一个符合条件的反例即可验证说法错误。
【解析】
解：(1) 因为连续正整数相邻两数相差1，中间数为n，所以其余四个数分别为$n-2,n-1,n+1,n+2$；
(2) 这五个数的和为：
$\begin{aligned}&(n-2)+(n-1)+n+(n+1)+(n+2)\\=&n-2+n-1+n+n+1+n+2\\=&5n\end{aligned}$
(3) 不对。理由：由(2)可知五个数的和为$5n$，当$n$为奇数时，$5n$不是10的倍数，例如当$n=5$时，五个数的和为$5×5=25$，25不是10的倍数，因此该说法不成立。
【答案】
(1)$n-2,n-1,n+1,n+2$；
(2)$5n$；
(3)不对，如当$n=5$时，其和为25，不是10的倍数。
【知识点】
连续整数的表示、合并同类项、命题真假判断
【点评】
本题属于基础题，主要考查连续整数的表示方法、合并同类项的运算，以及通过举反例验证结论是否成立的方法，解题的关键是熟练掌握连续整数的特征和合并同类项的运算法则。
【难度系数】
0.9
14.“整体思想”是中学数学解题中的一种重要思想，它在多项式的化简与求值中应用极为广泛，例如，把$(a+b)$看成一个整体：$3(a+b)+2(a+b)=(3+2)(a+b)=5(a+b)$.请应用整体思想解答下列问题：
(1)化简：$3(x+y)^2 -5(x+y)^2 +7(x+y)^2$；
(2)已知$a^2 +2a +1=0$，求$2a^2 +4a -3$的值.
(1)化简：$3(x+y)^2 -5(x+y)^2 +7(x+y)^2$；
(2)已知$a^2 +2a +1=0$，求$2a^2 +4a -3$的值.
答案
14. 解:(1)原式$=(3-5+7)(x+y)^2=5(x+y)^2.$
(2)因为$a^2+2a+1=0$,
所以$2a^2+4a-3=2(a^2+2a+1)-5=0-5=-5.$
(2)因为$a^2+2a+1=0$,
所以$2a^2+4a-3=2(a^2+2a+1)-5=0-5=-5.$
解析
【分析】
(1) 把$(x+y)^2$看作一个整体，三个项属于同类项，按照合并同类项的法则，仅将各项的系数相加减，整体部分保持不变即可完成化简。
(2) 已知$a^2+2a+1=0$，观察所求代数式$2a^2+4a-3$的结构，可将其变形为含有$a^2+2a+1$的形式，再把$a^2+2a+1=0$整体代入计算，无需单独求解$a$的值，能大幅简化计算过程。
【解析】
(1) 提取公因式$(x+y)^2$，合并系数计算：
$\begin{aligned}原式&=(3-5+7)(x+y)^2\\&=5(x+y)^2\end{aligned}$
(2) 先对所求代数式变形，再整体代入已知条件计算：
$\because a^2 +2a +1=0$
$\begin{aligned}\therefore 2a^2 +4a -3 &= 2(a^2+2a+1) - 2 - 3\\&=2×0 -5\\&=-5\end{aligned}$
【答案】
(1) $5(x+y)^2$；(2) $-5$
【知识点】
合并同类项，整体代入求值，代数式化简
【点评】
本题重点考查整体思想在整式运算中的应用，解题核心是准确识别可作为整体的公共部分，对所求式子进行合理变形，是整式化简求值的常用技巧，能有效降低运算量。
【难度系数】
0.8
(1) 把$(x+y)^2$看作一个整体，三个项属于同类项，按照合并同类项的法则，仅将各项的系数相加减，整体部分保持不变即可完成化简。
(2) 已知$a^2+2a+1=0$，观察所求代数式$2a^2+4a-3$的结构，可将其变形为含有$a^2+2a+1$的形式，再把$a^2+2a+1=0$整体代入计算，无需单独求解$a$的值，能大幅简化计算过程。
【解析】
(1) 提取公因式$(x+y)^2$，合并系数计算：
$\begin{aligned}原式&=(3-5+7)(x+y)^2\\&=5(x+y)^2\end{aligned}$
(2) 先对所求代数式变形，再整体代入已知条件计算：
$\because a^2 +2a +1=0$
$\begin{aligned}\therefore 2a^2 +4a -3 &= 2(a^2+2a+1) - 2 - 3\\&=2×0 -5\\&=-5\end{aligned}$
【答案】
(1) $5(x+y)^2$；(2) $-5$
【知识点】
合并同类项，整体代入求值，代数式化简
【点评】
本题重点考查整体思想在整式运算中的应用，解题核心是准确识别可作为整体的公共部分，对所求式子进行合理变形，是整式化简求值的常用技巧，能有效降低运算量。
【难度系数】
0.8
15.已知单项式$\frac{3}{4}x^{b}y^{a+1}$与$-5x^{6-b}y^{2}$是同类项，$c$是多项式$2mn-5m-n-3$的次数.
(1)$a=$
(2)若关于$x$的二次三项式$ax^{2}+bx+c$的值是$3$，求代数式$2025-2x^{2}-6x$的值.
(1)$a=$
1
，$b=$3
，$c=$2
；(2)若关于$x$的二次三项式$ax^{2}+bx+c$的值是$3$，求代数式$2025-2x^{2}-6x$的值.
答案
15.(1)1 3 2
(2)解:根据题意,得$x^2+3x+2=3$,所以$x^2+3x=1$,
所以$2025-2x^2-6x=2025-2(x^2+3x)=2025-2×1=2023.$
(2)解:根据题意,得$x^2+3x+2=3$,所以$x^2+3x=1$,
所以$2025-2x^2-6x=2025-2(x^2+3x)=2025-2×1=2023.$
解析
【分析】
(1) 首先回忆同类项的定义：所含字母相同，且相同字母的指数也相同的单项式是同类项，据此对x、y的指数分别列等式即可求出a、b的值；再根据多项式次数的定义：多项式中次数最高的项的次数为多项式的次数，找到所给多项式的最高次项即可求出c的值。
(2) 先将(1)中求得的a、b、c代入二次三项式等于3的等式，整理得到$x^2+3x$的值，再观察待求代数式的结构，将其变形为含有$x^2+3x$的形式，用整体代入法计算即可，无需单独求解x的值。
【解析】
(1)
∵单项式$\frac{3}{4}x^{b}y^{a+1}$与$-5x^{6-b}y^{2}$是同类项
∴相同字母的指数相等，可得：
$\begin{cases}a+1=2 \\ b=6-b\end{cases}$
解$a+1=2$，得$a=1$；
解$b=6-b$，移项得$2b=6$，得$b=3$。
多项式$2mn-5m-n-3$中，$2mn$的次数为$1+1=2$，其余项次数均小于2，因此最高次项的次数为2，故$c=2$。
(2) 根据题意，将$a=1,b=3,c=2$代入$ax^2+bx+c=3$，得：
$x^2+3x+2=3$
移项整理得：$x^2+3x=1$
对$2025-2x^2-6x$变形，提取公因式得：
$2025-2x^2-6x=2025-2(x^2+3x)$
将$x^2+3x=1$代入上式，得：
原式$=2025-2×1=2023$
【答案】
(1)1；3；2
(2)2023
【知识点】
同类项的定义；多项式的次数；整体代入求值
【点评】
本题考查整式相关基础概念和代数式求值的常用方法，第一问侧重基础概念的识记，第二问侧重整体代入思想的应用，可避免求解x的复杂运算，是整式章节的典型基础题型，掌握基础概念和整体思想即可快速解答。
【难度系数】
0.8
(1) 首先回忆同类项的定义：所含字母相同，且相同字母的指数也相同的单项式是同类项，据此对x、y的指数分别列等式即可求出a、b的值；再根据多项式次数的定义：多项式中次数最高的项的次数为多项式的次数，找到所给多项式的最高次项即可求出c的值。
(2) 先将(1)中求得的a、b、c代入二次三项式等于3的等式，整理得到$x^2+3x$的值，再观察待求代数式的结构，将其变形为含有$x^2+3x$的形式，用整体代入法计算即可，无需单独求解x的值。
【解析】
(1)
∵单项式$\frac{3}{4}x^{b}y^{a+1}$与$-5x^{6-b}y^{2}$是同类项
∴相同字母的指数相等，可得：
$\begin{cases}a+1=2 \\ b=6-b\end{cases}$
解$a+1=2$，得$a=1$；
解$b=6-b$，移项得$2b=6$，得$b=3$。
多项式$2mn-5m-n-3$中，$2mn$的次数为$1+1=2$，其余项次数均小于2，因此最高次项的次数为2，故$c=2$。
(2) 根据题意，将$a=1,b=3,c=2$代入$ax^2+bx+c=3$，得：
$x^2+3x+2=3$
移项整理得：$x^2+3x=1$
对$2025-2x^2-6x$变形，提取公因式得：
$2025-2x^2-6x=2025-2(x^2+3x)$
将$x^2+3x=1$代入上式，得：
原式$=2025-2×1=2023$
【答案】
(1)1；3；2
(2)2023
【知识点】
同类项的定义；多项式的次数；整体代入求值
【点评】
本题考查整式相关基础概念和代数式求值的常用方法，第一问侧重基础概念的识记，第二问侧重整体代入思想的应用，可避免求解x的复杂运算，是整式章节的典型基础题型，掌握基础概念和整体思想即可快速解答。
【难度系数】
0.8
