1. 在$\mathrm{Rt}△ ABC$中，$∠ C=90°$，$AC=6$，$BC=8$，则点$C$到$AB$的距离是 （）

A.$\dfrac{5}{24}$
B.$\dfrac{24}{5}$
C.$10$
D.$\dfrac{3}{5}$

B

【分析】
要求点C到AB的距离，本质是求Rt△ABC斜边AB上的高。解题思路分为两步：第一步，已知直角三角形的两条直角边长度，可先通过勾股定理计算出斜边AB的长度；第二步，利用直角三角形面积的两种不同表示方法（两条直角边乘积的一半、斜边乘斜边上高的一半），二者面积相等，列等式即可求出对应高的长度。
【解析】
解：设点C到AB的距离为$h$。
在$\mathrm{Rt}△ ABC$中，$∠ C=90°$，根据勾股定理可得：
$AB^2=AC^2+BC^2=6^2+8^2=36+64=100$
$\therefore AB=10$
$\because △ ABC$的面积可表示为$S_{△ ABC}=\frac{1}{2}AC· BC$，也可表示为$S_{△ ABC}=\frac{1}{2}AB· h$
$\therefore \frac{1}{2}×6×8=\frac{1}{2}×10× h$
两边同时乘2化简得：$48=10h$
解得：$h=\frac{24}{5}$
即点C到AB的距离为$\frac{24}{5}$。
【答案】
B
【知识点】
勾股定理、三角形面积公式、等面积法
【点评】
本题是直角三角形的基础常考题，核心考查等面积法的灵活应用，通过面积的两种不同表达形式建立等式即可求解，运算量小，解题思路清晰。
【难度系数】
0.8

2. 如图,在$△ ABC$中,$AB=AC=10$,$AD$是$∠ BAC$的平分线,$AD=6$,则$BC$的长为 （）



A.6
B.8
C.12
D.16

D 解析:
∵AB=AC,AD是∠BAC的平分线,
∴AD⊥BC,BC=2BD. 在Rt△ABD中,BD=√(AB²−AD²)=√(10²−6²)=8,
∴BC=2BD=2×8=16.

【分析】
首先根据已知条件AB=AC可判断△ABC是等腰三角形，再结合AD是∠BAC的平分线，联想等腰三角形“三线合一”的性质，可得AD垂直平分BC，因此只需要先求出BD的长度，再乘2就能得到BC的长度；而△ABD是直角三角形，已知两条边的长度，直接用勾股定理即可计算BD的长度。
【解析】
∵AB=AC，AD是∠BAC的平分线，
∴AD⊥BC，BC=2BD（等腰三角形三线合一）。
在Rt△ABD中，由勾股定理可得：
$BD=\sqrt{AB^2-AD^2}=\sqrt{10^2-6^2}=\sqrt{100-36}=\sqrt{64}=8$，
∴$BC=2BD=2×8=16$。
【答案】
D
【知识点】
等腰三角形的性质，勾股定理
【点评】
本题是几何基础常考题，核心是利用等腰三角形三线合一的性质构造直角三角形，再结合勾股定理计算边长，解题思路清晰，难度较低。
【难度系数】
0.8

3. 如图,在$\mathrm{Rt}△ ABC$中,$∠ ACB=90°$,$CD$为边$AB$上的高,$CE$为边$AB$上的中线,$AB=10$,$AD=2$,则$CD$的长是$\underline{\hspace{3em}}$.

4 解析:在Rt△ABC中,∠ACB=90°,CE为边AB上的中线,AB=10,
∴AE=BE=CE=1/2 AB=1/2×10=5.
∵AD=2,
∴DE=AE−AD=5−2=3.
∵CD为边AB上的高,
∴∠CDE=90°. 在Rt△CDE中,CD=√(CE²−DE²)=√(5²−3²)=4.

【分析】
解题时先从已知条件入手，首先看到Rt△ABC中CE是斜边AB上的中线，先回忆直角三角形斜边中线等于斜边一半的性质，可求出CE、AE的长度；再结合AD的长度，通过线段差求出DE的长度；最后因为CD是AB边上的高，可知△CDE是直角三角形，直接用勾股定理即可求出CD的长度。
【解析】
在$\mathrm{Rt}△ ABC$中，$∠ ACB=90°$，CE为边AB上的中线，$AB=10$，
根据直角三角形斜边中线等于斜边的一半，可得：
$AE=BE=CE=\frac{1}{2}AB=\frac{1}{2}×10=5$，
已知$AD=2$，则$DE=AE-AD=5-2=3$，
又因为CD为边AB上的高，所以$∠ CDE=90°$，即$△ CDE$是直角三角形，
根据勾股定理，$CD=\sqrt{CE^2-DE^2}=\sqrt{5^2-3^2}=\sqrt{25-9}=\sqrt{16}=4$。
【答案】
4
【知识点】
直角三角形斜边中线性质，勾股定理，线段和差计算
【点评】
本题属于基础类考题，核心考查直角三角形相关性质的应用，解题的关键是熟练掌握直角三角形斜边中线的性质，结合勾股定理求解未知线段，这类题型是几何线段计算的常见考法，需牢固掌握。
【难度系数】
0.8

4. 如图，在$△ ABC$中，$AB=AC$，$D$为边$AB$的中点，点$E$在边$AC$上，且$BE⊥ AC$。若$DE=\dfrac{5}{2}$，$AE=4$，则边$BC$长的平方为________。

10 解析:
∵D为边AB的中点,BE⊥AC,
∴AB=2DE=2×5/2=5. 在Rt△BEA中,BE=√(AB²−AE²)=√(5²−4²)=3.
∵AC=AB,
∴AC=5,
∴CE=AC−AE=5−4=1. 在Rt△CBE中,BC²=BE²+CE²=3²+1²=10.

【分析】
解题时先梳理已知条件：首先由BE⊥AC可知△ABE是直角三角形，D是AB的中点，可联想到直角三角形斜边中线等于斜边的一半的性质，先求出AB的长度；再结合AB=AC的等腰三角形性质，求出CE的长度；接着在Rt△ABE中用勾股定理算出BE的长度，最后在Rt△CBE中用勾股定理就能求出BC长的平方。
【解析】
∵D为边AB的中点，BE⊥AC，即△ABE是直角三角形，
∴根据直角三角形斜边中线等于斜边的一半，得$AB=2DE=2×\dfrac{5}{2}=5$。
在Rt△BEA中，由勾股定理得：$BE=\sqrt{AB^2 - AE^2}=\sqrt{5^2 - 4^2}=3$。
∵$AB=AC$，
∴$AC=5$，
∴$CE=AC - AE=5 - 4=1$。
在Rt△CBE中，由勾股定理得：$BC^2=BE^2 + CE^2=3^2 + 1^2=10$。
【答案】
10
【知识点】
直角三角形斜边中线性质；等腰三角形性质；勾股定理
【点评】
本题是几何基础综合题，解题核心是快速识别直角三角形斜边中线的特殊关系，再结合等腰三角形性质和勾股定理分步计算边长，能够有效考查对基础几何性质的灵活运用能力。
【难度系数】
0.7

5. 如图,将长方形纸片ABCD沿对角线AC折叠,点D落在点F处,AF与BC相交于点E.
(1)求证:$△ ABE ≌ △ CFE$.
(2)若$AB=4$,$AD=8$,求AE的长.

(1)证明:
∵四边形ABCD是长方形,
∴CD=AB,∠D=∠B=90°.由折叠的性质,得∠F=∠D=∠B=90°,CF=CD,
∴CF=AB. 在△ABE和△CFE中,
$\begin{cases}∠AEB=∠CEF,\\∠B=∠F,\\AB=CF,\end{cases}$
∴△ABE≌△CFE(AAS).
(2)
∵四边形ABCD是长方形,
∴∠B=90°,BC=AD=8. 由(1),得△ABE≌△CFE,
∴AE=CE. 设AE=CE=x,
∴BE=BC−CE=8−x. 在Rt△ABE中,BE²+AB²=AE²,即(8−x)²+4²=x²,解得x=5,
∴AE=5.

【分析】
(1) 要证明△ABE≌△CFE，先结合长方形性质得到边、角的等量关系：长方形ABCD中AB=CD，∠B=∠D=90°；再根据折叠的性质，可得折叠后∠F=∠D，CF=CD，因此可推导得∠B=∠F，AB=CF，再结合一组对顶角∠AEB=∠CEF，即可利用AAS判定两个三角形全等。
(2) 求AE的长时，先由长方形性质得BC=AD=8，∠B为直角，结合(1)的全等结论可知AE=CE；我们可以设AE=x，则CE=x，BE=8-x，在Rt△ABE中利用勾股定理列关于x的方程，解方程即可得到AE的长度。
【解析】
(1)证明:
∵四边形ABCD是长方形,
∴CD=AB,∠D=∠B=90°.由折叠的性质,得∠F=∠D=∠B=90°,CF=CD,
∴CF=AB. 在△ABE和△CFE中,
$\begin{cases}∠AEB=∠CEF,\\∠B=∠F,\\AB=CF,\end{cases}$
∴△ABE≌△CFE(AAS).
(2)
∵四边形ABCD是长方形,
∴∠B=90°,BC=AD=8. 由(1),得△ABE≌△CFE,
∴AE=CE. 设AE=CE=x,
∴BE=BC−CE=8−x. 在Rt△ABE中,BE²+AB²=AE²,即(8−x)²+4²=x²,解得x=5,
∴AE=5.
【答案】
(1) △ABE≌△CFE得证；(2) 5
【知识点】
全等三角形判定；折叠的性质；勾股定理应用
【点评】
本题是几何综合基础题型，第一问侧重考察长方形、折叠的性质与全等判定的结合应用，第二问借助全等得到边的等量关系，运用方程思想结合勾股定理求解，是折叠类几何题的典型考法，解题时要注意挖掘折叠前后对应边、对应角相等的隐含条件。
【难度系数】
0.75