1. 在四边形ABCD中,对角线AC,BD相交于点O。下列条件能判定这个四边形是平行四边形的是()

A.$OA=2,OB=2,OC=2.5,OD=1.5$
B.$OA=2,OB=2,OC=2.5,OD=2.5$
C.$OA=2,OB=1.5,OC=2,OD=1.5$
D.$OA=1.5,OB=2,OC=2.5,OD=2$

C

根据平行四边形的判定定理：对角线互相平分的四边形是平行四边形，即需同时满足OA=OC、OB=OD。逐一验证选项：
A中OA=2≠OC=2.5，OB=2≠OD=1.5，不符合要求；
B中OA=2≠OC=2.5，OB=2≠OD=2.5，不符合要求；
C中OA=2=OC，OB=1.5=OD，满足对角线互相平分，可判定该四边形是平行四边形；
D中OA=1.5≠OC=2.5，不符合要求。

2.若一个四边形的四条边长依次为$a,b,c,d$，且满足$a^2+b^2+c^2+d^2=2ac+2bd$，则这个四边形是（）

A.长方形
B.等腰梯形
C.正方形
D.平行四边形

D

先对给定等式移项，得$a^2+b^2+c^2+d^2-2ac-2bd=0$，分组后利用完全平方公式变形可得$(a-c)^2+(b-d)^2=0$。根据平方的非负性，可得$a-c=0$，$b-d=0$，即$a=c$，$b=d$。已知四边形四条边依次为$a,b,c,d$，说明该四边形两组对边分别相等，由平行四边形的判定定理可知这个四边形是平行四边形，其余选项都是特殊的平行四边形，仅已知两组对边相等无法判定为更特殊的图形。

3. 如图,在$\mathrm{Rt}△ ABC$中,$∠ B=90°$,$AB=3$,$BC=4$,$D$为$AC$上的一个动点,$E$,$F$分别为$AB$,$AD$的中点,则$EF$的最小值为________。

$\frac{6}{5}$

1. 在$\mathrm{Rt}△ABC$中，$∠ B=90°$，$AB=3$，$BC=4$，由勾股定理得斜边$AC=\sqrt{AB^2+BC^2}=\sqrt{3^2+4^2}=5$。
2. 因为$E$，$F$分别为$AB$，$AD$的中点，根据三角形中位线定理，可知$EF$是$△ ABD$的中位线，因此$EF=\frac{1}{2}BD$。
3. 要使$EF$取得最小值，只需线段$BD$取得最小值。根据垂线段最短的性质，当$BD⊥ AC$时，$BD$的长度最小。
4. 利用直角三角形面积的两种计算方式：$S_{△ ABC}=\frac{1}{2}AB· BC=\frac{1}{2}AC· BD$，代入数值解得$BD=\frac{AB· BC}{AC}=\frac{3×4}{5}=\frac{12}{5}$。
5. 因此$EF$的最小值为$\frac{1}{2}×\frac{12}{5}=\frac{6}{5}$。

4.如图,在四边形ABCD中,AC⊥BD,AC=12,E,F分别是边AD,BC的中点,连接EF。若EF=10,则BD的长为________。

16

取CD的中点G，连接EG、FG。
1. 应用三角形中位线定理：
因为E是AD的中点，G是CD的中点，所以EG是△ACD的中位线，可得$EG// AC$，且$EG=\frac{1}{2}AC=\frac{1}{2}×12=6$。
因为F是BC的中点，G是CD的中点，所以FG是△BCD的中位线，可得$FG// BD$，且$FG=\frac{1}{2}BD$。
2. 由已知$AC⊥ BD$，结合$EG// AC$、$FG// BD$，可推出$EG⊥ FG$，即$△ EFG$是直角三角形。
3. 在$Rt△ EFG$中，$EF=10$，$EG=6$，由勾股定理计算得：
$FG=\sqrt{EF^2-EG^2}=\sqrt{10^2-6^2}=\sqrt{64}=8$。
4. 结合$FG=\frac{1}{2}BD$，可得$BD=2FG=16$。

5.如图,在$□ ABCD$中,E,F分别是AD,BC的中点,连接BE,EF,DF,则图中共有个平行四边形。

$\boldsymbol{4}$

已知四边形$ABCD$是平行四边形，因此$AD// BC$，且$AD=BC$。
因为$E$、$F$分别是$AD$、$BC$的中点，可得：
$AE=ED=\frac{1}{2}AD$，$BF=FC=\frac{1}{2}BC$，即$AE=ED=BF=FC$。
1. 由$AE// BF$且$AE=BF$，可判定四边形$ABFE$是平行四边形；
2. 由$ED// FC$且$ED=FC$，可判定四边形$EFCD$是平行四边形；
3. 由$ED// BF$且$ED=BF$，可判定四边形$BEDF$是平行四边形；
再加上原平行四边形$ABCD$，总计得到4个平行四边形。

6. 如图,在$\mathrm{Rt}△ ABC$中,$∠ B=90°$,$AC=60\ \mathrm{cm}$,$∠ A=60°$。点$D$从点$C$出发,沿$CA$方向以$4\ \mathrm{cm/s}$的速度向点$A$匀速运动,同时点$E$从点$A$出发,沿$AB$方向以$2\ \mathrm{cm/s}$的速度向点$B$匀速运动,当其中一个点到达终点时,另一个点也随之停止运动。设点$D,E$运动的时间为$t\ \mathrm{s}(0＜t＜15)$。过点$D$作$DF⊥ BC$于点$F$,连接$DE,EF$。
(1)求证:四边形$AEFD$是平行四边形。
(2)当$t=\_\_\_\_\_\_$时,$△ DEF$是直角三角形。

$\boldsymbol{7.5}$或$\boldsymbol{12}$

(1) 证明：
在$\mathrm{Rt}△ABC$中，$∠ B=90°$，$∠ A=60°$，因此$∠ C=30°$。
由运动规则可知：$CD=4t\ \mathrm{cm}$，$AE=2t\ \mathrm{cm}$。
$\because DF⊥ BC$，$△ CDF$为含$30°$角的直角三角形，
$\therefore DF=\frac{1}{2}CD=2t\ \mathrm{cm}$，即$DF=AE$。
又$\because AB⊥ BC$，$DF⊥ BC$，$\therefore DF// AE$。
一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，因此四边形$AEFD$是平行四边形。
(2) 分两种情况讨论$△ DEF$为直角三角形：
① 当$∠ EDF=90°$时：
由四边形$AEFD$是平行四边形得$AD// EF$，结合$∠ EDF=∠ DFB=∠ B=90°$，可知四边形$DEBF$是矩形，因此$DE// BC$，得$∠ ADE=∠ C=30°$。
在$\mathrm{Rt}△ADE$中，$∠ ADE=30°$，因此$AD=2AE$。
代入$AD=60-4t$，$AE=2t$，得：
$60-4t=2×2t$，解得$t=7.5$。
② 当$∠ DEF=90°$时：
由四边形$AEFD$是平行四边形得$AD// EF$，因此$DE⊥ AD$，即$△ ADE$为直角三角形，$∠ ADE=90°$。
在$\mathrm{Rt}△ADE$中，$∠ A=60°$，因此$AD=AE·\cos60°$。
代入$AD=60-4t$，$AE=2t$，得：
$60-4t=2t×\frac{1}{2}$，解得$t=12$。
③ 若$∠ DFE=90°$，不存在符合$0＜t＜15$的有效解，舍去。
综上，符合条件的$t$为$7.5$或$12$。