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解：题干未给出该圆相关作图题的具体已知条件、作图要求等核心解题信息，内容不全，无法完成对应规范解答，请补充完整题目内容后再进行求解。

【分析】本题未给出圆相关作图题的具体已知条件、作图要求等核心解题信息，内容残缺，无法确定解题方向，需补充完整题目内容后才能开展解答。
【解析】由于题干未提供该题的必要解题信息，属于内容不全的题目，无法完成规范的解题步骤与解答，需补充完整题目内容后再进行求解。
【答案】解：题干未给出该圆相关作图题的具体已知条件、作图要求等核心解题信息，内容不全，无法完成对应规范解答，请补充完整题目内容后再进行求解。
【知识点】圆的作图
【点评】题目缺失核心解题信息，无法进行有效解答，需补充完整题目内容后再尝试求解。
【难度系数】0.1

1. (2025·徐州中考)图①为徐州博物馆藏“八连弧纹镜”,纹饰中有八个连续的弧连成一圈.
图②为另一件连弧纹镜(残件)的示意图.
(1)若将图②中的连弧纹镜补全,则该铜镜应为“连弧纹镜”；
(2)请用无刻度的直尺与圆规,补全图②中所有残缺的弧,使其“破镜重圆”.(保留作图痕迹,不写作法)

1. (1)七 解析:如图,若将题图②中的连弧纹镜补全,则该铜镜应为“七连弧纹镜”.
(2)如图所示,即为所求.

【分析】要解决本题，首先观察图②的残件，数出其中的连弧数量，补全后即可确定连弧纹镜的类型；补全残缺弧的核心是利用圆的性质，通过弦的垂直平分线找到弧所在圆的圆心，进而补全图形。
【解析】(1) 观察图②的残件，数出其中的连弧，补全后总共有7个连弧，因此该铜镜应为“七连弧纹镜”；(2) 补全残缺弧时，在残件的弧上取两条弦，分别作这两条弦的垂直平分线，交点即为弧所在圆的圆心，再以该圆心和对应半径画出残缺的弧，保留作图痕迹即可。
【答案】(1) 七；(2) 作图痕迹如参考答案所示（对应img id=1）
【知识点】圆的认识、尺规作图
【点评】本题结合文物实际考查圆的相关知识，需要学生具备观察图形和运用圆的性质作图的能力，难度适中。
【难度系数】0.5

2. (2025·扬州期中) 用直尺和圆规作图,保留作图痕迹,不写作法.
(1) 在图①中,已知$\odot O_{1}$,点$P$在$\odot O_{1}$上,过点$P$作$\odot O_{1}$的切线$l_{1}$;
(2) 在图②中,已知$\odot O_{2}$,点$Q$在$\odot O_{2}$外,过点$Q$作$\odot O_{2}$的切线$l_{2}$.

2. (1)如图①,切线$l_{1}$为所作.
解析:连接$O_{1}P$并延长,再以$P$为圆心,适当长度为半径画弧,分别交$O_{1}P$于点$E,F$,再分别以$E,F$为圆心,大于$\dfrac{1}{2}EF$的长为半径画弧分别相交于点$M,N$,连接$MN$,即可得过点$P$作$\odot O_{1}$的切线$l_{1}$.
(2)如图②,切线$l_{2}$,$l_{2}'$为所作.
解析:连接$QO_{2}$,作$QO_{2}$的垂直平分线得到中点$O$,然后以$O$点为圆心,$OQ$为半径作圆交$\odot O_{2}$于$A,B$,则直线$QA,QB$满足条件.

【分析】
第(1)问，过圆上一点作圆的切线，依据切线的性质：圆的切线垂直于过切点的半径，因此只需过点P作O₁P的垂线，该垂线即为所求切线；第(2)问，过圆外一点作圆的切线，利用“直径所对的圆周角是直角”的性质，通过构造直角三角形找到切点，进而得到切线。
【解析】
(1) ①连接O₁P；②以P为圆心，适当长度为半径画弧，交O₁P于E、F两点；③分别以E、F为圆心，大于$\frac{1}{2}EF$的长为半径画弧，两弧交于M、N两点；④作直线MN，直线MN就是过点P的⊙O₁的切线l₁。
(2) ①连接QO₂；②作线段QO₂的垂直平分线，交QO₂于点O；③以O为圆心，OQ为半径作圆，该圆与⊙O₂交于A、B两点；④作直线QA、QB，直线QA、QB就是过点Q的⊙O₂的切线l₂、l₂'。
【答案】
(1) 如图①，切线$l_{1}$为所作.
(2) 如图②，切线$l_{2}$，$l_{2}'$为所作.
【知识点】
圆的切线作法、垂直平分线、圆周角定理
【点评】
本题考查圆的切线的尺规作图，核心是利用切线的性质和圆周角定理，属于初中几何基础作图题，需掌握作图的原理与步骤。
【难度系数】
0.6

3. 尺规作图:如图,已知等腰三角形ABC和直线l,其中$AB=AC$,$∠ A=40°$.(保留作图痕迹,不写作法)
(1)在图①中,利用尺规在直线l上作出点P,使得$∠ BPC=20°$;(作出一点即可)
(2)在图②中,利用尺规在直线l上作出点Q,使得$∠ BQC=70°$.(作出一点即可)

3. (1)如图①,点$P$即为所求. 解析:如图①,以点$A$为圆心,$AB$为半径画圆,交直线$l$于点$P$(点$A,P$在$BC$的同侧),连接$BP,CP$.$\because ∠ BAC=40°$,$\therefore ∠ BPC=\dfrac{1}{2}∠ BAC=\dfrac{1}{2}×40°=20°$,$\therefore$ 点$P$即为所求.
(2)如图②,点$Q$即为所求. 解析:如图②,在$AB$上截取点$D$使得$DC=BC$,作$△ BCD$的外接圆$\odot O$,$\odot O$交直线$l$于点$Q$(点$D,Q$在$BC$的同侧),连接$BQ,CQ$.$\because AB=AC$,$∠ BAC=40°$,$\therefore ∠ ABC=\dfrac{180°-∠ BAC}{2}=\dfrac{180°-40°}{2}=70°$.$\because DC=BC$,$\therefore ∠ BDC=∠ ABC=70°$,$\therefore ∠ BQC=∠ BDC=70°$,$\therefore$ 点$Q$即为所求.

【分析】
要解决这道尺规作图题，需结合等腰三角形性质和圆周角定理分析：
(1) 目标是作点P使∠BPC=20°，已知∠BAC=40°，根据圆周角定理：同弧所对的圆周角等于圆心角的一半，因此只需构造以A为圆心、AB为半径的圆，该圆与直线l的交点（在BC同侧）即为P，此时∠BPC=1/2∠BAC=20°，满足要求。
(2) 目标是作点Q使∠BQC=70°，先由等腰三角形ABC算出底角∠ABC=(180°-40°)/2=70°，再构造DC=BC，使∠BDC=∠ABC=70°，作△BCD的外接圆，该圆与直线l的交点（BC同侧）即为Q，根据圆周角定理，同弧所对圆周角相等，故∠BQC=∠BDC=70°，满足要求。
【解析】
(1) 以点A为圆心，AB的长为半径作圆，该圆与直线l交于点P（点P与点A在BC的同侧），连接BP、CP。
∵ AB=AC，∠BAC=40°，点P在⊙A上，
∴ ∠BPC=1/2∠BAC=1/2×40°=20°，
∴ 点P即为所求。
(2) ① 在AB上取点D，使DC=BC；
② 作△BCD的外接圆⊙O，⊙O与直线l交于点Q（点Q与点D在BC的同侧），连接BQ、CQ。
∵ AB=AC，∠BAC=40°，
∴ ∠ABC=(180°-∠BAC)/2=(180°-40°)/2=70°，
又
∵ DC=BC，
∴ ∠BDC=∠ABC=70°，
∵ 点Q在⊙O上，
∴ ∠BQC=∠BDC=70°，
∴ 点Q即为所求。
【答案】
(1) 如图①，点P即为所求；
(2) 如图②，点Q即为所求。
【知识点】
圆周角定理、尺规作图、等腰三角形性质
【点评】
本题结合等腰三角形性质与圆周角定理考查尺规作图，需灵活运用圆周角与圆心角的关系构造满足条件的点，重点考查几何逻辑推理和作图能力。
【难度系数】
0.5

4. (2025·吉林中考)图①、图②均是$6×6$的正方形网格,每个小正方形的顶点称为格点,$△ ABC$内接于$\odot O$,且点$A,B,C,O$均在格点上.只用无刻度的直尺,在给定的网格中按要求画图.
(1)在图①中找一个格点$D$(点$D$不与点$C$重合),画出$∠ ADB$,使$∠ ADB=∠ ACB$.
(2)在图②中找一个格点$E$,画出$∠ AEC$,使$∠ AEC+∠ ABC=180°$.

4. (1)如图①,点$D$即为所求.(答案不唯一) 解析:取格点$D$,连接$AD,BD$,根据$\overset{\frown}{AB}=\overset{\frown}{AB}$得到$∠ ADB=∠ ACB$.
(2)如图②,点$E$即为所求.(答案不唯一) 解析:取格点$E$,连接$AE,CE$,根据圆内接四边形对角互补即可得到$∠ AEC+∠ ABC=180°$.

【分析】
本题是网格中的圆相关作图题，需利用圆的核心性质解题：
(1) 要使∠ADB=∠ACB，根据圆周角定理，同弧所对的圆周角相等，因此只需在圆O上找不与点C重合的格点D，且D与C在AB同侧，即可保证弧AB所对的两个圆周角相等；
(2) 要使∠AEC+∠ABC=180°，根据圆内接四边形的性质，圆内接四边形的对角互补，因此只需在圆O上找格点E，使A、B、C、E四点构成圆内接四边形，即可满足对角和为180°。
【解析】
(1) 根据圆周角定理：同弧所对的圆周角相等，在图①的圆O上选取不与点C重合的格点D，连接AD、BD，此时∠ADB与∠ACB都是弧AB所对的圆周角，故∠ADB=∠ACB，点D即为所求（答案不唯一）；
(2) 根据圆内接四边形的性质：圆内接四边形的对角互补，在图②的圆O上选取格点E，连接AE、CE，此时∠AEC与∠ABC是圆内接四边形ABCE的一组对角，故∠AEC+∠ABC=180°，点E即为所求（答案不唯一）。
【答案】
(1) 如图①，点D即为所求（答案不唯一）；
(2) 如图②，点E即为所求（答案不唯一）。
【知识点】
圆周角定理，圆内接四边形的性质，网格作图
【点评】
本题结合网格考查圆的性质的应用，要求用无刻度直尺作图，核心是掌握圆周角定理和圆内接四边形的性质，需结合格点特征定位符合条件的点，是中考常见的几何作图题，注重性质的灵活运用。
【难度系数】
0.5

5. (2026·南京校级月考) 如图，$△ ABC$ 内接于$\odot O$，$BC$ 为直径，$D$ 为 $AC$ 的中点. 仅用无刻度的直尺作图.
(1) 在图①中，作$∠ B$ 的平分线；
(2) 在图②中，作$∠ C$ 的平分线.

5. (1)如图①,$BE$即为所求. 解析:如图①,连接$OD$并延长交$\odot O$于$E$,连接$BE,OA$,$\because D$为$AC$的中点,$OA=OC$,$\therefore OD⊥AC$,$\therefore \overset{\frown}{AE}=\overset{\frown}{CE}$,$\therefore ∠ ABE=∠ CBE$,$\therefore BE$即为所求.
(2)如图②,$CG$即为所求. 解析:如图②,连接$AO,BD$相交于$E$,连接$CE$并延长交$AB$于$F$,连接$OF$并延长交$\odot O$于$G$,连接$CG$,$\because O$为$BC$的中点,$D$为$AC$的中点,$\therefore F$为$AB$的中点(三角形的中线交于同一点),可证$OF⊥AB$,$\therefore \overset{\frown}{AG}=\overset{\frown}{BG}$,$\therefore ∠ ACG=∠ BCG$,$\therefore CG$即为所求.

【分析】
要作∠B和∠C的平分线，需结合圆的垂径定理、圆周角定理及三角形中线性质，利用弧与角的对应关系确定角平分线：
(1) 已知D是AC中点，O是圆心，连接OD后，OD垂直AC，延长OD交圆于E，E为弧AC中点，等弧对应等圆周角，故BE平分∠B；
(2) 利用三角形中线交于一点找到AB中点F，结合等腰三角形三线合一得OF垂直AB，进而确定弧AG=弧BG，使CG平分∠C。
【解析】
(1) 如图①，连接OD并延长交⊙O于点E，连接BE。
∵ BC是⊙O直径，O为圆心，D是AC中点，OA=OC，
∴ OD⊥AC（等腰三角形三线合一），根据垂径定理，$\overset{\frown}{AE}=\overset{\frown}{CE}$，
由圆周角定理，同圆中等弧所对圆周角相等，得∠ABE=∠CBE，故BE是∠B的平分线。
(2) 如图②，连接AO、BD交于点E，连接CE延长交AB于F，连接OF延长交⊙O于G，连接CG。
∵ O是BC中点，D是AC中点，三角形三条中线交于一点，
∴ F是AB中点；
又OA=OB，F是AB中点，故OF⊥AB（等腰三角形三线合一），根据垂径定理，$\overset{\frown}{AG}=\overset{\frown}{BG}$，
由圆周角定理得∠ACG=∠BCG，故CG是∠C的平分线。
【答案】
(1) 如图①，BE即为所求。
(2) 如图②，CG即为所求。
【知识点】
垂径定理，圆周角定理，三角形中线性质
【点评】
本题考查无刻度直尺作图，需灵活运用圆的性质与三角形中线特点，通过弧与角的关系确定角平分线，对几何性质的综合应用有一定要求。
【难度系数】
0.5

6. (2025·上饶模拟)请仅用无刻度直尺按下列要求作图,并保留作图痕迹.
(1)在图①中,已知矩形$ABCD$的顶点$A$,$B$在圆上,请找出圆心$O$.
(2)在图②中,弦$MN$上两点$A$,$B$满足$AM=BN$,以$AB$为斜边作等腰直角三角形$ABC$,直角顶点$C$在圆上,请找出圆心$P$.

6. (1)如图①所示,点$O$即为所求. 解析:如图①所示,延长$AD,BC$交圆于$M,N$两点,连接$BM,AN,BM,AN$交于点$O$,圆心$O$为所求.
(2)如图②,点$P$即为所求. 解析:如图②所示,延长$CA$,$CB$交圆于$K,L$两点,连接$AL,BK$交于点$G$,连接$KL$,作射线$CG$交$KL$于点$P$,连接$CM,MK,CN,NL$,$\because △ ACB$是等腰直角三角形,且$∠ ACB=90°$,$\therefore AC=BC$,$∠ CAB=∠ CBA=45°$,$\therefore ∠ CAM=∠ CBN=135°$.$\because AM=BN$,$\therefore △ CAM ≌ △ CBN$(SAS),$\therefore CM=CN$,$∠ MCA=∠ NCB$,$\therefore \overset{\frown}{CM}=\overset{\frown}{CN}$,$\therefore ∠ MKC=∠ NLB$,$\therefore △ MKC ≌ △ NLC$(AAS),$\therefore KC=LC$.
$\because ∠ KCL=90°$,$\therefore △ KCL$是等腰直角三角形,$KL$为圆的直径,$\therefore ∠ CKL=∠ CLK=45°$.$\because ∠ KCL=∠ LCK=90°$,$AC=BC$,$CK=CL$,$\therefore △ KCB ≌ △ LCA$(SAS),$\therefore ∠ CKB=∠ CLA$,$KB=LA$,$\therefore ∠ CKL-∠ CKB=∠ CLK-∠ CLA$,即$∠ BKL=∠ ALK$,$\therefore GK=GL$,$\therefore AG=BG$,可证得$△ ACG ≌ △ BCG$,$\therefore ∠ AGC=∠ BGC$,$\therefore ∠ AGP=∠ BGP$,$∠ AGK=∠ BGL$,$\therefore ∠ AGP - ∠ AGK = ∠ BGP - ∠ BGL$,即$∠ KGP=∠ LGP$,$\therefore △ GKP ≌ △ GLP$(ASA),$\therefore ∠ KPG=∠ LPG=90°$,$KP=LP$,$\therefore$ 点$P$为圆心.

【分析】
要确定圆的圆心，需结合圆的性质（圆心是弦的垂直平分线交点）、矩形及等腰直角三角形的性质分析：
(1) 矩形对边平行，延长矩形的对边与圆相交，连接交点形成的两条线段，其交点即为圆心，利用圆的对称性可证；
(2) 等腰直角△ABC中AC=BC，结合AM=BN构造全等三角形，证明辅助线KL为直径，再通过交点与射线的交点确定圆心，利用圆的对称性推导。
【解析】
(1) 作图步骤：
① 延长矩形ABCD的边AD，交圆于点M；
② 延长矩形ABCD的边BC，交圆于点N；
③ 连接BM、AN，直线BM与AN的交点即为圆心O，如图①所示。
(2) 作图步骤：
① 延长CA，交圆于点K；
② 延长CB，交圆于点L；
③ 连接AL、BK，两线交于点G；
④ 连接KL，作射线CG，射线CG与KL的交点即为圆心P，如图②所示。
【答案】
(1) 点O为所求（如图①）；(2) 点P为所求（如图②）。


【知识点】
圆的性质、矩形的性质、全等三角形的判定与性质
【点评】
本题考查无刻度直尺作图，需综合运用几何图形的性质，通过构造辅助线和全等三角形确定圆心，对几何逻辑推理能力要求较高。
【难度系数】
0.5