登录
玉璧、玉环为我国的传统玉器,通常为正中带圆孔的扁圆形器物,据《尔雅·释器》记载:"肉倍好,谓之璧;肉好若一,谓之环."如图①,"肉"指边(阴影部分),"好"指孔,其比例关系见图示.以考古发现来看,这两种玉器的"肉"与"好"未必符合该比例关系.
(1)若图①中两个大圆的直径相等,求璧与环的"肉"的面积之比;
(2)图②为某玉环及其从正面看得到的平面图形.现利用圆规与无刻度的直尺判断该玉环的比例关系是否符合"肉好若一",作法如图③.
①在大圆上任取两点A,B,连接AB;
②延长BA,用圆规与无刻度的直尺,过点A作射线BA的垂线交大圆于点C;
③连接BC,交小圆于E,F两点,分别以点E和点F为圆心,以大于$\dfrac{1}{2}EF$的长为半径作弧,两弧交于G,H两点,作直线GH,交BC于点O,以点O为圆心,EF的长为半径作圆(虚线).
则图③中的玉环比例关系是否符合"肉好若一"?请说明理由.
(3)图④表示一件圆形玉坯,若将其加工成玉璧,且比例关系符合"肉倍好",请利用圆规与无刻度的直尺画出内孔.
(1)若图①中两个大圆的直径相等,求璧与环的"肉"的面积之比;
(2)图②为某玉环及其从正面看得到的平面图形.现利用圆规与无刻度的直尺判断该玉环的比例关系是否符合"肉好若一",作法如图③.
①在大圆上任取两点A,B,连接AB;
②延长BA,用圆规与无刻度的直尺,过点A作射线BA的垂线交大圆于点C;
③连接BC,交小圆于E,F两点,分别以点E和点F为圆心,以大于$\dfrac{1}{2}EF$的长为半径作弧,两弧交于G,H两点,作直线GH,交BC于点O,以点O为圆心,EF的长为半径作圆(虚线).
则图③中的玉环比例关系是否符合"肉好若一"?请说明理由.
(3)图④表示一件圆形玉坯,若将其加工成玉璧,且比例关系符合"肉倍好",请利用圆规与无刻度的直尺画出内孔.
答案
(1)由题图①可知:(2+2+2)÷2=3,2÷2=1,璧的“肉”的面积为π×(3²−1²)=8π;(1.5+3+1.5)÷2=3,3÷2=1.5,环的“肉”的面积为π×(3²−1.5²)=6.75π,
∴它们的面积之比为8π : 6.75π=32 : 27.
(2)由作法②得CA⊥BA,
∴∠BAC=90°.
∴弦BC是大圆的直径(90°的圆周角所对的弦为直径).
由作法③得GH为BC的垂直平分线.
∵作法③得到的圆(虚线)与大圆不重合,
∴该玉环的比例关系不符合“肉好若一”.
(3)如图所示,利用垂直平分线交点作出圆的圆心O,过圆心画一条直径AB,过点A作一条射线,然后以A为圆心,适当长为半径画弧,把射线三等分,交点分别为C,D,E,连接BE,然后分别过点C,D作BE的平行线,交AB于点F,G,进而以FG为直径画圆,即可完成作图.
解析
【分析】
本题结合古代玉器“肉”“好”的比例关系设置问题，分三小问解题思路如下：第(1)问需明确“肉”的面积为大圆面积减小圆面积，根据题目给出的璧、环的半径参数，分别计算两者的“肉”面积后求比值；第(2)问需结合尺规作图的性质，利用圆周角定理判断BC为大圆直径，再根据垂直平分线性质，对比“肉好若一”的比例要求，判断玉环是否符合该比例；第(3)问需利用尺规作图，通过三等分线段的方法确定内孔直径，完成作图。
【解析】
(1) 设大圆半径为$R$，小圆半径为$r$，“肉”的面积为$π(R^2 - r^2)$。
由题意，璧的$R=3$，$r=1$，则璧的“肉”面积为$π(3^2 - 1^2)=8π$；
环的$R=3$，$r=1.5$，则环的“肉”面积为$π(3^2 - 1.5^2)=6.75π$；
因此，璧与环的“肉”面积之比为$8π:6.75π=32:27$。
(2) 若玉环符合“肉好若一”，则“肉”与“好”的宽度相等，即$R - r = r$，也就是$R=2r$。
由作法②，$CA⊥ BA$，故$∠ BAC=90°$，根据“90°的圆周角所对的弦为直径”，可知$BC$是大圆的直径；
由作法③，$GH$是$EF$的垂直平分线，结合作法得到的虚线圆与大圆不重合，说明$R≠2r$，因此该玉环的比例关系不符合“肉好若一”。
(3) 作图步骤：
① 利用两条弦的垂直平分线交点确定大圆的圆心$O$；
② 过圆心$O$画一条直径$AB$；
③ 过点$A$作一条射线，以$A$为圆心，适当长为半径画弧，在射线上依次截取三等分点$C、D、E$，使$AC=CD=DE$；
④ 连接$BE$，分别过点$C、D$作$BE$的平行线，交$AB$于点$F、G$；
⑤ 以$FG$为直径画圆，即为所求内孔。
【答案】
(1) $32:27$；(2) 不符合，理由见解析；(3) 如图所示，
【知识点】
圆的面积计算、圆周角定理、尺规作图
【点评】
本题结合传统文化背景，将数学知识与古代器物的比例关系结合，考查圆的相关性质、面积计算及尺规作图，需要学生准确理解题意，运用几何定理推理，综合性较强。
【难度系数】
0.5
本题结合古代玉器“肉”“好”的比例关系设置问题，分三小问解题思路如下：第(1)问需明确“肉”的面积为大圆面积减小圆面积，根据题目给出的璧、环的半径参数，分别计算两者的“肉”面积后求比值；第(2)问需结合尺规作图的性质，利用圆周角定理判断BC为大圆直径，再根据垂直平分线性质，对比“肉好若一”的比例要求，判断玉环是否符合该比例；第(3)问需利用尺规作图，通过三等分线段的方法确定内孔直径，完成作图。
【解析】
(1) 设大圆半径为$R$，小圆半径为$r$，“肉”的面积为$π(R^2 - r^2)$。
由题意，璧的$R=3$，$r=1$，则璧的“肉”面积为$π(3^2 - 1^2)=8π$；
环的$R=3$，$r=1.5$，则环的“肉”面积为$π(3^2 - 1.5^2)=6.75π$；
因此，璧与环的“肉”面积之比为$8π:6.75π=32:27$。
(2) 若玉环符合“肉好若一”，则“肉”与“好”的宽度相等，即$R - r = r$，也就是$R=2r$。
由作法②，$CA⊥ BA$，故$∠ BAC=90°$，根据“90°的圆周角所对的弦为直径”，可知$BC$是大圆的直径；
由作法③，$GH$是$EF$的垂直平分线，结合作法得到的虚线圆与大圆不重合，说明$R≠2r$，因此该玉环的比例关系不符合“肉好若一”。
(3) 作图步骤：
① 利用两条弦的垂直平分线交点确定大圆的圆心$O$；
② 过圆心$O$画一条直径$AB$；
③ 过点$A$作一条射线，以$A$为圆心，适当长为半径画弧，在射线上依次截取三等分点$C、D、E$，使$AC=CD=DE$；
④ 连接$BE$，分别过点$C、D$作$BE$的平行线，交$AB$于点$F、G$；
⑤ 以$FG$为直径画圆，即为所求内孔。
【答案】
(1) $32:27$；(2) 不符合，理由见解析；(3) 如图所示，
【知识点】
圆的面积计算、圆周角定理、尺规作图
【点评】
本题结合传统文化背景，将数学知识与古代器物的比例关系结合，考查圆的相关性质、面积计算及尺规作图，需要学生准确理解题意，运用几何定理推理，综合性较强。
【难度系数】
0.5
