例1 如图，将两张对边平行的纸片随意交叉叠放在一起，转动其中一张，使重合部分构成一个四边形，则下列结论不一定成立的是 ( )

A. AB=CD B. AD//BC
C. AB=BC D. $ ∠ A B C=∠ A D C $
解析 根据题意可知 AB//CD，AD//BC，
所以四边形ABCD是平行四边形.
所以 $ AB=CD $ ， $ ∠ ABC=∠ ADC. $
所以A项、B项、D项均成立，C项不一定成立.
故选C.
答案 C

解：
根据题意可知 $ AB // CD $，$ AD // BC $，
所以四边形 $ ABCD $ 是平行四边形（两组对边分别平行的四边形是平行四边形）。
由平行四边形的性质可得：
$ AB = CD $，$ AD // BC $，$ ∠ ABC = ∠ ADC $，
因此A、B、D选项的结论一定成立，C选项 $ AB=BC $ 不一定成立。
故选C。

例2如图，AC是 $ \Box ABCD $的一条对角线，BM $ \bot $AC交AC于点M，DN $ \bot $AC交AC于点N.求证：四边形BMDN是平行四边形.

证明 因为四边形 ABCD是平行四边形，
所以 $ AD=BC $ ， $ DC=AB $ ， $ AD//BC $ ， $ DC//AB. $
所以 $ ∠ D A N=∠ B C M $ $ ∠ D C M=∠ B A N. $
又 DN $ \bot $ AC，BM $ \bot $ AC，
所以 $ ∠ D N A=∠ B M C=9 0°. $
所以 $ △ A N D≌ △ C M B. $
所以 DN=BM，AN=CM.
又 DC=AB， $ ∠ D C M=∠ B A N $
所以 $ △ CDM≌ △ ABN. $
所以 DM=BN.
所以四边形 BMDN是平行四边形.

证明：
∵ 四边形ABCD是平行四边形，
∴ AD=BC，DC=AB，AD//BC，DC//AB，
∴ ∠DAN=∠BCM，∠DCM=∠BAN.
∵ DN⊥AC，BM⊥AC，
∴ ∠DNA=∠BMC=90°.
在△AND和△CMB中，
$\{\begin{array}{l}∠DNA=∠BMC\\∠DAN=∠BCM\\AD=BC\end{array} $
∴ △AND≌△CMB（AAS），
∴ DN=BM，AN=CM.
在△CDM和△ABN中，
$\{\begin{array}{l}DC=AB\\∠DCM=∠BAN\\CM=AN\end{array} $
∴ △CDM≌△ABN（SAS），
∴ DM=BN.
∴ 四边形BMDN是平行四边形.