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一、我会填。
1. 位于顶点处的小正方体，涂色的面有( )个，一共有( )个这样的小正方体。 用27个小正方体拼成一个大正方体如图所示，把它的表面都涂上色，请你想一想，填一填。
1. 位于顶点处的小正方体，涂色的面有( )个，一共有( )个这样的小正方体。 用27个小正方体拼成一个大正方体如图所示，把它的表面都涂上色，请你想一想，填一填。
答案
1.3 8
解析
【分析】
首先思考大正方体顶点处小正方体的位置：顶点是大正方体三个面的交汇点，这个位置的小正方体有3个面暴露在大正方体表面，所以涂色的面有3个。再回忆正方体的顶点数量，正方体共有8个顶点，每个顶点对应1个这样的小正方体，因此这类小正方体的总数是8个。
【解析】
1. 分析顶点处小正方体的涂色面数：大正方体顶点处的小正方体处于三个面的交汇处，这三个面都会被涂色，所以涂色的面有3个。
2. 计算这类小正方体的总数：正方体有8个顶点，每个顶点对应1个顶点处的小正方体，因此一共有8个。
【答案】
3；8
【知识点】
正方体的特征；立体图形涂色问题
【点评】
本题结合正方体的基本特征，考查立体图形表面涂色后不同位置小正方体的涂色情况，需要学生熟悉正方体的顶点数量及顶点位置的几何特点。
【难度系数】
0.8
首先思考大正方体顶点处小正方体的位置：顶点是大正方体三个面的交汇点，这个位置的小正方体有3个面暴露在大正方体表面，所以涂色的面有3个。再回忆正方体的顶点数量，正方体共有8个顶点，每个顶点对应1个这样的小正方体，因此这类小正方体的总数是8个。
【解析】
1. 分析顶点处小正方体的涂色面数：大正方体顶点处的小正方体处于三个面的交汇处，这三个面都会被涂色，所以涂色的面有3个。
2. 计算这类小正方体的总数：正方体有8个顶点，每个顶点对应1个顶点处的小正方体，因此一共有8个。
【答案】
3；8
【知识点】
正方体的特征；立体图形涂色问题
【点评】
本题结合正方体的基本特征，考查立体图形表面涂色后不同位置小正方体的涂色情况，需要学生熟悉正方体的顶点数量及顶点位置的几何特点。
【难度系数】
0.8
2. 除顶点外，处于棱上的小正方体，涂色的面有( )个，一共有( )个这样的小正方体。
答案
2.2 12
解析
【分析】
这是正方体表面涂色的典型问题，解题思路如下：
1. 先结合正方体结构定位目标小正方体：正方体有12条棱，每条棱的两端是顶点（顶点处小正方体为3面涂色），中间部分就是除顶点外的棱上小正方体。
2. 分析涂色面数：这类小正方体仅两个面暴露在大正方体表面，其余面与相邻小正方体贴合，因此涂色的面有2个。
3. 计算数量：以常规的3×3×3大正方体模型为例（此类题目默认该模型），每条棱上有3个小正方体，减去2个顶点处的，每条棱上有1个符合条件的小正方体，结合正方体12条棱的特征，可算出总数为12×1=12个。
【解析】
1. 涂色面数推导：
棱上除顶点外的小正方体，只有两个面处于大正方体的外露表面，其余面被相邻小正方体遮挡，因此涂色的面有2个。
2. 数量计算：
正方体共有12条棱，每条棱上除顶点外有1个符合条件的小正方体，总数为：$12×1=12$（个）。
【答案】
2；12
【知识点】
正方体表面涂色规律、正方体的结构特征
【点评】
本题考查正方体的基础结构认知及表面涂色问题的规律，需要学生明确正方体顶点、棱的数量，以及不同位置小正方体的涂色面数特点，属于基础几何类题目。
【难度系数】
0.8
这是正方体表面涂色的典型问题，解题思路如下：
1. 先结合正方体结构定位目标小正方体：正方体有12条棱，每条棱的两端是顶点（顶点处小正方体为3面涂色），中间部分就是除顶点外的棱上小正方体。
2. 分析涂色面数：这类小正方体仅两个面暴露在大正方体表面，其余面与相邻小正方体贴合，因此涂色的面有2个。
3. 计算数量：以常规的3×3×3大正方体模型为例（此类题目默认该模型），每条棱上有3个小正方体，减去2个顶点处的，每条棱上有1个符合条件的小正方体，结合正方体12条棱的特征，可算出总数为12×1=12个。
【解析】
1. 涂色面数推导：
棱上除顶点外的小正方体，只有两个面处于大正方体的外露表面，其余面被相邻小正方体遮挡，因此涂色的面有2个。
2. 数量计算：
正方体共有12条棱，每条棱上除顶点外有1个符合条件的小正方体，总数为：$12×1=12$（个）。
【答案】
2；12
【知识点】
正方体表面涂色规律、正方体的结构特征
【点评】
本题考查正方体的基础结构认知及表面涂色问题的规律，需要学生明确正方体顶点、棱的数量，以及不同位置小正方体的涂色面数特点，属于基础几何类题目。
【难度系数】
0.8
3. 位于表面中心处的小正方体，涂色的面有( )个，一共有( )个这样的小正方体。
答案
3.1 6
解析
【分析】
首先明确大正方体表面中心处小正方体的位置特点：这类小正方体处于大正方体每个面的中心区域，不与棱、顶点重合。思考时，先判断单个小正方体的涂色面数：它仅在大正方体的一个表面暴露，其余面被相邻小正方体遮挡，因此涂色面为1个。再计算总数：大正方体有6个面，每个面的中心都对应1个这样的小正方体，所以总数是6个。
【解析】
1. 确定涂色面数：位于表面中心的小正方体，仅在大正方体的一个表面露出，其余面被周围小正方体遮挡，因此涂色的面有1个。
2. 计算数量：大正方体共有6个面，每个面的中心位置对应1个该类小正方体，总数为 $6×1=6$ 个。
【答案】
1；6
【知识点】
正方体表面涂色问题
【点评】
本题考查对正方体结构的理解，需准确区分不同位置小正方体的涂色特征，关键是抓住“表面中心”的位置特点，明确其不涉及棱和顶点，进而判断涂色面数和数量。
【难度系数】
0.7
首先明确大正方体表面中心处小正方体的位置特点：这类小正方体处于大正方体每个面的中心区域，不与棱、顶点重合。思考时，先判断单个小正方体的涂色面数：它仅在大正方体的一个表面暴露，其余面被相邻小正方体遮挡，因此涂色面为1个。再计算总数：大正方体有6个面，每个面的中心都对应1个这样的小正方体，所以总数是6个。
【解析】
1. 确定涂色面数：位于表面中心的小正方体，仅在大正方体的一个表面露出，其余面被周围小正方体遮挡，因此涂色的面有1个。
2. 计算数量：大正方体共有6个面，每个面的中心位置对应1个该类小正方体，总数为 $6×1=6$ 个。
【答案】
1；6
【知识点】
正方体表面涂色问题
【点评】
本题考查对正方体结构的理解，需准确区分不同位置小正方体的涂色特征，关键是抓住“表面中心”的位置特点，明确其不涉及棱和顶点，进而判断涂色面数和数量。
【难度系数】
0.7
4. 剩下的就是没有涂色的，一共有( )个这样的小正方体。
答案
4.1
解析
【分析】
首先要明确这是正方体表面涂色后求内部未涂色小正方体数量的问题。通常这类题目对应的是3×3×3的大正方体，未涂色的小正方体都处于大正方体的内部，不接触表面。解题思路是：先确定大正方体的边长，用边长减去2（去掉上下、前后、左右各一层涂色的小正方体）得到内部未涂色正方体的边长，再通过计算内部正方体的体积得到未涂色小正方体的数量。
【解析】
假设该立体图形为3×3×3的大正方体，表面涂色后：
1. 计算内部未涂色小正方体的边长：3 - 2 = 1
2. 计算未涂色小正方体的数量：1×1×1 = 1（个）
【答案】
1
【知识点】
正方体表面涂色问题
【点评】
本题核心是理解正方体表面涂色后，未涂色部分位于大正方体内部，需排除表面涂色的层，通过简单的体积计算得出结果，帮助学生建立空间几何的初步认知。
【难度系数】
0.6
首先要明确这是正方体表面涂色后求内部未涂色小正方体数量的问题。通常这类题目对应的是3×3×3的大正方体，未涂色的小正方体都处于大正方体的内部，不接触表面。解题思路是：先确定大正方体的边长，用边长减去2（去掉上下、前后、左右各一层涂色的小正方体）得到内部未涂色正方体的边长，再通过计算内部正方体的体积得到未涂色小正方体的数量。
【解析】
假设该立体图形为3×3×3的大正方体，表面涂色后：
1. 计算内部未涂色小正方体的边长：3 - 2 = 1
2. 计算未涂色小正方体的数量：1×1×1 = 1（个）
【答案】
1
【知识点】
正方体表面涂色问题
【点评】
本题核心是理解正方体表面涂色后，未涂色部分位于大正方体内部，需排除表面涂色的层，通过简单的体积计算得出结果，帮助学生建立空间几何的初步认知。
【难度系数】
0.6
二、我会做。
1. 琪琪一共用了多少块小正方体？ 琪琪用一些棱长为1cm的小正方体搭成的几何体如图所示。
2. 如果琪琪将露出的表面部分涂成红色(底面不涂)，那么涂色部分的面积是多少平方厘米？
1. 琪琪一共用了多少块小正方体？ 琪琪用一些棱长为1cm的小正方体搭成的几何体如图所示。
2. 如果琪琪将露出的表面部分涂成红色(底面不涂)，那么涂色部分的面积是多少平方厘米？
答案
1.1+4+9=14(块)
2.3×4+2×4+4+9=33(个)
1×1×33=33(cm²)
2.3×4+2×4+4+9=33(个)
1×1×33=33(cm²)
解析
【分析】
1. 求小正方体总数：观察几何体可知它分为三层，我们可以分层计数后求和。最上层是1块，中间层是边长为2的正方形排列，共$2×2=4$块，最下层是边长为3的正方形排列，共$3×3=9$块，将三层数量相加即可得到总数。
2. 求涂色部分面积：底面不涂色，涂色部分包含各层的侧面和所有露在上方的顶面。侧面部分，每层的侧面小正方形数量为该层的边长×4（四个侧面）；顶面部分，所有露在上面的小正方形总面积等于最下层的顶面面积（上层小正方体覆盖的区域和露出的区域之和等于下层顶面）。先算出涂色的小正方形总个数，再乘以单个小正方形的面积（$1×1=1\mathrm{cm}^2$）就能得到涂色总面积。
【解析】
1. 计算小正方体总数：
最上层有1块，中间层小正方体数量：$2×2=4$（块），最下层小正方体数量：$3×3=9$（块）
总数：$1+4+9=14$（块）
2. 计算涂色部分面积：
① 计算涂色的小正方形个数：
最下层侧面：$3×4=12$（个）
中间层侧面：$2×4=8$（个）
最上层侧面：$1×4=4$（个）
顶面部分：$3×3=9$（个）
总个数：$12+8+4+9=33$（个）
② 计算总面积：
单个小正方形面积：$1×1=1\mathrm{cm}^2$
涂色总面积：$1×1×33=33\mathrm{cm}^2$
【答案】
1. 14块
2. 33平方厘米
【知识点】
1. 立体图形计数
2. 立体图形表面积计算
【点评】
本题考查立体图形的计数与表面积计算，需要分层观察立体图形，明确每层的数量和涂色部分的组成，锻炼空间想象能力与分析计算能力。
【难度系数】
0.6
1. 求小正方体总数：观察几何体可知它分为三层，我们可以分层计数后求和。最上层是1块，中间层是边长为2的正方形排列，共$2×2=4$块，最下层是边长为3的正方形排列，共$3×3=9$块，将三层数量相加即可得到总数。
2. 求涂色部分面积：底面不涂色，涂色部分包含各层的侧面和所有露在上方的顶面。侧面部分，每层的侧面小正方形数量为该层的边长×4（四个侧面）；顶面部分，所有露在上面的小正方形总面积等于最下层的顶面面积（上层小正方体覆盖的区域和露出的区域之和等于下层顶面）。先算出涂色的小正方形总个数，再乘以单个小正方形的面积（$1×1=1\mathrm{cm}^2$）就能得到涂色总面积。
【解析】
1. 计算小正方体总数：
最上层有1块，中间层小正方体数量：$2×2=4$（块），最下层小正方体数量：$3×3=9$（块）
总数：$1+4+9=14$（块）
2. 计算涂色部分面积：
① 计算涂色的小正方形个数：
最下层侧面：$3×4=12$（个）
中间层侧面：$2×4=8$（个）
最上层侧面：$1×4=4$（个）
顶面部分：$3×3=9$（个）
总个数：$12+8+4+9=33$（个）
② 计算总面积：
单个小正方形面积：$1×1=1\mathrm{cm}^2$
涂色总面积：$1×1×33=33\mathrm{cm}^2$
【答案】
1. 14块
2. 33平方厘米
【知识点】
1. 立体图形计数
2. 立体图形表面积计算
【点评】
本题考查立体图形的计数与表面积计算，需要分层观察立体图形，明确每层的数量和涂色部分的组成，锻炼空间想象能力与分析计算能力。
【难度系数】
0.6
三、我会想。
一个长方体木块，长为5dm，宽为3dm，高为4dm，在它的六个面上都漆满红油漆，然后锯成棱长都是1dm的小正方体木块，锯成的小正方体木块中，多少块三面有红色？两个面、一个面有红色的各有多少块？六个面都没有红色的有多少块？
一个长方体木块，长为5dm，宽为3dm，高为4dm，在它的六个面上都漆满红油漆，然后锯成棱长都是1dm的小正方体木块，锯成的小正方体木块中，多少块三面有红色？两个面、一个面有红色的各有多少块？六个面都没有红色的有多少块？
答案
8块三面有红色，两个面有红色的有24块，一个面有红色的有22块，六个面都没有红色的有6块。
解析
【分析】
要解决这个问题，我们需要根据小正方体在长方体中的位置来判断其涂色情况：
1. 三面有红色的小正方体位于长方体的顶点处，因为顶点是三个面的交点，会被三个面的油漆覆盖；
2. 两面有红色的小正方体位于长方体的棱上（不包含顶点），这些小正方体只被两个相邻面的油漆覆盖；
3. 一面有红色的小正方体位于长方体每个面的中间区域（不包含棱），仅被一个面的油漆覆盖；
4. 六个面都没有红色的小正方体位于长方体的内部，完全不接触外表面，没有被油漆覆盖。
我们可以分别针对这四类位置，结合长方体的长、宽、高计算对应的小正方体数量。
【解析】
1. 计算三面有红色的小正方体数量：
长方体有8个顶点，每个顶点对应1块三面涂红的小正方体，所以三面有红色的小正方体数量为8块。
2. 计算两面有红色的小正方体数量：
长方体有12条棱，分长、宽、高三种类型，每条棱上除去两端的顶点（已算三面红），剩余的是两面涂红的小正方体：
长棱（共4条）：每条长棱上有$5-2=3$块，总数量为$3×4=12$块；
宽棱（共4条）：每条宽棱上有$3-2=1$块，总数量为$1×4=4$块；
高棱（共4条）：每条高棱上有$4-2=2$块，总数量为$2×4=8$块；
两面有红色的小正方体总数量：$12+4+8=24$块。
3. 计算一面有红色的小正方体数量：
长方体有6个面，每个面中间区域（除去边缘棱上的小正方体）是一面涂红的小正方体：
前、后两个面：每个面有$(5-2)×(4-2)=6$块，总数量为$6×2=12$块；
左、右两个面：每个面有$(3-2)×(4-2)=2$块，总数量为$2×2=4$块；
上、下两个面：每个面有$(5-2)×(3-2)=3$块，总数量为$3×2=6$块；
一面有红色的小正方体总数量：$12+4+6=22$块。
4. 计算六个面都没有红色的小正方体数量：
方法一：先算总小正方体数量$5×3×4=60$块，再减去涂红的数量：$60-8-24-22=6$块；
方法二：直接计算内部未涂色的长方体尺寸（长、宽、高各减去2），数量为$(5-2)×(3-2)×(4-2)=3×1×2=6$块。
【答案】
8块三面有红色，两个面有红色的有24块，一个面有红色的有22块，六个面都没有红色的有6块。
【知识点】
长方体的特征；正方体涂色问题
【点评】
本题考查长方体与正方体的空间位置关系，核心是掌握不同位置小正方体的涂色规律，需要学生具备一定的空间想象能力，通过分步计算能清晰梳理各类小正方体的数量，提升逻辑分析与计算能力。
【难度系数】
0.6
要解决这个问题，我们需要根据小正方体在长方体中的位置来判断其涂色情况：
1. 三面有红色的小正方体位于长方体的顶点处，因为顶点是三个面的交点，会被三个面的油漆覆盖；
2. 两面有红色的小正方体位于长方体的棱上（不包含顶点），这些小正方体只被两个相邻面的油漆覆盖；
3. 一面有红色的小正方体位于长方体每个面的中间区域（不包含棱），仅被一个面的油漆覆盖；
4. 六个面都没有红色的小正方体位于长方体的内部，完全不接触外表面，没有被油漆覆盖。
我们可以分别针对这四类位置，结合长方体的长、宽、高计算对应的小正方体数量。
【解析】
1. 计算三面有红色的小正方体数量：
长方体有8个顶点，每个顶点对应1块三面涂红的小正方体，所以三面有红色的小正方体数量为8块。
2. 计算两面有红色的小正方体数量：
长方体有12条棱，分长、宽、高三种类型，每条棱上除去两端的顶点（已算三面红），剩余的是两面涂红的小正方体：
长棱（共4条）：每条长棱上有$5-2=3$块，总数量为$3×4=12$块；
宽棱（共4条）：每条宽棱上有$3-2=1$块，总数量为$1×4=4$块；
高棱（共4条）：每条高棱上有$4-2=2$块，总数量为$2×4=8$块；
两面有红色的小正方体总数量：$12+4+8=24$块。
3. 计算一面有红色的小正方体数量：
长方体有6个面，每个面中间区域（除去边缘棱上的小正方体）是一面涂红的小正方体：
前、后两个面：每个面有$(5-2)×(4-2)=6$块，总数量为$6×2=12$块；
左、右两个面：每个面有$(3-2)×(4-2)=2$块，总数量为$2×2=4$块；
上、下两个面：每个面有$(5-2)×(3-2)=3$块，总数量为$3×2=6$块；
一面有红色的小正方体总数量：$12+4+6=22$块。
4. 计算六个面都没有红色的小正方体数量：
方法一：先算总小正方体数量$5×3×4=60$块，再减去涂红的数量：$60-8-24-22=6$块；
方法二：直接计算内部未涂色的长方体尺寸（长、宽、高各减去2），数量为$(5-2)×(3-2)×(4-2)=3×1×2=6$块。
【答案】
8块三面有红色，两个面有红色的有24块，一个面有红色的有22块，六个面都没有红色的有6块。
【知识点】
长方体的特征；正方体涂色问题
【点评】
本题考查长方体与正方体的空间位置关系，核心是掌握不同位置小正方体的涂色规律，需要学生具备一定的空间想象能力，通过分步计算能清晰梳理各类小正方体的数量，提升逻辑分析与计算能力。
【难度系数】
0.6
