10. 先化简,再求值:$\frac{a^2 - 1}{a - 1} - \frac{\sqrt{a^2 - 2a + 1}}{a^2 - a}$,其中$a = \frac{1}{2 + \sqrt{3}}$.

$\boldsymbol{5}$

1. 先对$a$进行分母有理化：
$a=\frac{1}{2+\sqrt{3}}=\frac{2-\sqrt{3}}{(2+\sqrt{3})(2-\sqrt{3})}=2-\sqrt{3}$
可得$a-1=2-\sqrt{3}-1=1-\sqrt{3}＜0$，根据二次根式性质$\sqrt{x^2}=|x|$，得$\sqrt{a^2-2a+1}=\sqrt{(a-1)^2}=|a-1|=1-a$。
2. 分步化简原式：
$\begin{aligned}\frac{a^2-1}{a-1}-\frac{\sqrt{a^2-2a+1}}{a^2-a}&=\frac{(a+1)(a-1)}{a-1}-\frac{1-a}{a(a-1)}\\&=a+1-\frac{-(a-1)}{a(a-1)}\\&=a+1+\frac{1}{a}\end{aligned}$
3. 代入数值计算：
由$a=2-\sqrt{3}$可得$\frac{1}{a}=2+\sqrt{3}$，代入化简后的式子：
$a+1+\frac{1}{a}=(2-\sqrt{3})+1+(2+\sqrt{3})=5$

11. 已知$\sqrt{11}-1$的整数部分为$a$，小数部分为$b$，求$(\sqrt{11}+a)(b+1)$.

7

1. 估算√11的取值范围：
∵ 9 ＜ 11 ＜ 16，
∴ 3 ＜ √11 ＜ 4，
不等式两边同时减1得：2 ＜ √11 - 1 ＜ 3。
2. 确定a、b的值：
已知√11 -1的整数部分为a，小数部分为b，
因此a=2，b = (√11 -1) - a = √11 -1 -2 = √11 -3。
3. 代入式子计算：
将a=2，b=√11 -3代入(√11 +a)(b+1)：
原式=(√11 + 2)(√11 - 3 + 1)
=(√11 + 2)(√11 - 2)
利用平方差公式计算得：(√11)² - 2² = 11 - 4 = 7。