练习七
一、选择题
1. 下列各式是最简二次根式的是 （）

A.$\sqrt{3}$
B.$\sqrt{4}$
C.$\sqrt{\dfrac{1}{2}}$
D.$\sqrt{0.8}$

A

最简二次根式需同时满足两个条件：1. 被开方数不含分母；2. 被开方数中不含能开得尽方的因数或因式。逐一分析选项：
B选项：√4的被开方数4是能开得尽方的数，√4=2，不符合要求；
C选项：被开方数是分数1/2，含分母，不符合要求；
D选项：0.8可化为分数4/5，被开方数含分母，不符合要求；
A选项：√3的被开方数3是整数，且没有能开得尽方的因数，符合最简二次根式的定义。

2. $\sqrt{2026}$的值介于 （）

A.30与35之间
B.35与40之间
C.40与45之间
D.45与50之间

D

要确定$\sqrt{2026}$的范围，可通过计算整数的平方对比：
1. 计算得$45^2=2025$，$50^2=2500$；
2. 可得$2025 ＜ 2026 ＜ 2500$，对不等式同时开算术平方根，不等号方向不变，即$\sqrt{2025}＜\sqrt{2026}＜\sqrt{2500}$，化简得$45＜\sqrt{2026}＜50$，因此$\sqrt{2026}$介于45与50之间。

3. 下列计算正确的是 （）

A.$\sqrt{2}+\sqrt{3}=\sqrt{5}$
B.$2\sqrt{3}-\sqrt{3}=2$
C.$\sqrt{2}×\sqrt{3}=\sqrt{6}$
D.$\sqrt{12}÷3=2$

C

逐个验证选项：
1. 选项A：$\sqrt{2}$和$\sqrt{3}$不是同类二次根式，不能直接合并相加，计算错误。
2. 选项B：根据同类二次根式减法法则，$2\sqrt{3}-\sqrt{3}=\sqrt{3}≠2$，计算错误。
3. 选项C：根据二次根式乘法法则$\sqrt{a}·\sqrt{b}=\sqrt{ab}(a≥0,b≥0)$，$\sqrt{2}×\sqrt{3}=\sqrt{2×3}=\sqrt{6}$，计算正确。
4. 选项D：化简得$\sqrt{12}=2\sqrt{3}$，$\sqrt{12}÷3=\frac{2\sqrt{3}}{3}≠2$，计算错误。
综上只有C选项计算正确。

4. 已知 $ a = \dfrac{4}{\sqrt{5} - 3}, b = \sqrt{5} + 3 $，则 $ a $ 与 $ b $ 的关系是 （）

A.互为相反数
B.相等
C.互为倒数
D.互为负倒数

A

先对a进行分母有理化，分子分母同乘$\sqrt{5}+3$：
$a=\dfrac{4(\sqrt{5}+3)}{(\sqrt{5}-3)(\sqrt{5}+3)}=\dfrac{4(\sqrt{5}+3)}{(\sqrt{5})^2-3^2}=\dfrac{4(\sqrt{5}+3)}{5-9}=\dfrac{4(\sqrt{5}+3)}{-4}=-\sqrt{5}-3$
计算$a+b=(-\sqrt{5}-3)+(\sqrt{5}+3)=0$，符合互为相反数的定义，因此a与b互为相反数。

5. 已知$x=2-\sqrt{10}$，代数式$x^2 - 4x - 6$的值为________.

$0$

我们可以通过配方法简化计算，步骤如下：
1. 由已知$x=2-\sqrt{10}$，移项可得$x-2=-\sqrt{10}$。
2. 对代数式$x^2-4x-6$进行配方变形：
$x^2-4x-6=(x^2-4x+4)-4-6=(x-2)^2-10$
3. 把$x-2=-\sqrt{10}$代入变形后的式子：
原式$=(-\sqrt{10})^2 -10=10-10=0$

6. 计算$\sqrt{12} × \sqrt{6} - \sqrt{18}$的结果是________.

$3\sqrt{2}$

先根据二次根式的乘法法则计算乘法部分，再将二次根式化为最简形式，最后合并同类二次根式：
1. 由二次根式乘法法则$\sqrt{a}·\sqrt{b}=\sqrt{ab}\ (a≥0,b≥0)$，得$\sqrt{12}×\sqrt{6}=\sqrt{12×6}=\sqrt{72}$；
2. 化简二次根式：$\sqrt{72}=6\sqrt{2}$，$\sqrt{18}=3\sqrt{2}$；
3. 代入原式计算：$\sqrt{12}×\sqrt{6}-\sqrt{18}=6\sqrt{2}-3\sqrt{2}=3\sqrt{2}$。

7. 若正方形的边长为$a$，$a=\sqrt{5}+2$，则该正方形的面积为________.

$9+4\sqrt{5}$

根据正方形的面积公式，正方形面积等于边长的平方，将边长$a=\sqrt{5}+2$代入，利用完全平方公式$(m+n)^2=m^2+2mn+n^2$计算：
$S=a^2=(\sqrt{5}+2)^2=(\sqrt{5})^2 + 2×\sqrt{5}×2 + 2^2=5 + 4\sqrt{5} + 4=9+4\sqrt{5}$

8. 当$2＜ a＜ 3$时，化简：$|a-2|-\sqrt{(a-3)^2}=$______.

$2a-5$

1. 判断代数式符号：已知$2＜ a＜ 3$，可得$a-2＞0$，$a-3＜0$。
2. 根据性质化简：正数的绝对值是它本身，因此$|a-2|=a-2$；由二次根式性质$\sqrt{x^2}=|x|$，可得$\sqrt{(a-3)^2}=|a-3|$，负数的绝对值是它的相反数，因此$|a-3|=3-a$。
3. 代入计算：
$\begin{aligned}原式&=(a-2)-(3-a)\\&=a-2-3+a\\&=2a-5\end{aligned}$

三、解答题
9. 计算：
(1) $\sqrt{24} × 4\sqrt{\frac{1}{2}} ÷ \sqrt{48}$
(2) $4\sqrt{5} + \sqrt{45} - \sqrt{8} + 4\sqrt{2}$
(3) $(\sqrt{2} - \sqrt{3})^2 + \sqrt{8} ÷ \sqrt{3}$
(4) $(2 - \sqrt{3})^{2026} · (2 + \sqrt{3})^{2027} - (2\sqrt{3} - 1)^2$
(5) $\frac{2}{3}\sqrt{9x} + $$\sqrt{\frac{x}{4}} - 2x\sqrt{\frac{1}{x}}$
(6) $\frac{1}{\sqrt{2} + 1} + $$\frac{1}{\sqrt{3} + \sqrt{2}} + \frac{1}{2 + \sqrt{3}}$

(1) $\boldsymbol{2}$
(2) $\boldsymbol{7\sqrt{5}+2\sqrt{2}}$
(3) $\boldsymbol{5-\frac{4\sqrt{6}}{3}}$
(4) $\boldsymbol{5\sqrt{3}-11}$
(5) $\boldsymbol{3\sqrt{x}}$
(6) $\boldsymbol{1}$

(1) 根据二次根式乘除运算法则，将系数和根号部分分别运算：
原式$=4×\sqrt{24×\frac{1}{2}÷48}=4×\sqrt{\frac{1}{4}}=4×\frac{1}{2}=2$
(2) 先将所有二次根式化为最简二次根式，再合并同类二次根式：
原式$=4\sqrt{5}+3\sqrt{5}-2\sqrt{2}+4\sqrt{2}=(4+3)\sqrt{5}+(-2+4)\sqrt{2}=7\sqrt{5}+2\sqrt{2}$
(3) 利用完全平方公式展开平方项，再计算二次根式除法，最后合并：
原式$=(\sqrt{2})^2-2×\sqrt{2}×\sqrt{3}+(\sqrt{3})^2+\sqrt{\frac{8}{3}}=2-2\sqrt{6}+3+\frac{2\sqrt{6}}{3}=5-\frac{4\sqrt{6}}{3}$
(4) 逆用积的乘方公式简化高次幂部分，再展开完全平方，最后合并：
原式$=[(2-\sqrt{3})(2+\sqrt{3})]^{2026}×(2+\sqrt{3})-(12-4\sqrt{3}+1)=1^{2026}×(2+\sqrt{3})-13+4\sqrt{3}=5\sqrt{3}-11$
(5) 将每一项化为最简二次根式，再合并同类二次根式：
原式$=\frac{2}{3}×3\sqrt{x}+6×\frac{\sqrt{x}}{2}-2x×\frac{\sqrt{x}}{x}=2\sqrt{x}+3\sqrt{x}-2\sqrt{x}=3\sqrt{x}$
(6) 对每一项做分母有理化，利用平方差公式消去根号后合并化简：
原式$=(\sqrt{2}-1)+(\sqrt{3}-\sqrt{2})+(2-\sqrt{3})=1$