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1. 如图,面积为7的正方形ABCD的顶点A在数轴上,且表示的数为1.若点E在数轴上(点E在点A的右侧),且AB=AE,则点E所表示的数为()
A.$\sqrt{7}$
B.$\frac{2+\sqrt{7}}{2}$
C.$1+\sqrt{7}$
D.$\sqrt{7}+2$
A.$\sqrt{7}$
B.$\frac{2+\sqrt{7}}{2}$
C.$1+\sqrt{7}$
D.$\sqrt{7}+2$
答案
C
解析
首先，正方形ABCD的面积为7，根据正方形面积等于边长的平方，可得边长AB满足AB²=7，因此AB=√7。由题可知AB=AE，所以AE的长度为√7。已知点A在数轴上表示的数是1，点E在点A的右侧，因此点E表示的数为点A表示的数加上AE的长度，即1+√7。
2. 对非负实数$x$“四舍五入”到个位的值记为$＜x＞$，即当$n$为非负整数时，若$n-\frac{1}{2} ≤ x ＜ n+\frac{1}{2}$，则$＜x＞=n$。如$＜0.48＞=0$，$＜3.5＞=4$。若$＜x＞=\frac{9}{7}x$，则$x=$。
答案
$0$或$\frac{7}{9}$或$\frac{14}{9}$
解析
设$n = ⟨ x \rangle$，由题意可知$n$为非负整数，且满足定义不等式：
$n-\frac{1}{2} ≤ x ＜ n+\frac{1}{2}$
已知$⟨ x \rangle=\frac{9}{7}x$，即$n=\frac{9}{7}x$，变形得$x=\frac{7}{9}n$，将其代入上述不等式：
1. 解左侧不等式：
$n-\frac{1}{2} ≤ \frac{7}{9}n$
移项化简得$\frac{2n}{9} ≤ \frac{1}{2}$，解得$n ≤ 2.25$
2. 解右侧不等式：
$\frac{7}{9}n ＜ n+\frac{1}{2}$
移项化简得$-\frac{2n}{9} ＜ \frac{1}{2}$，解得$n ＞ -2.25$
结合$n$为非负整数，可得$n$的可取值为0、1、2：
当$n=0$时，$x=\frac{7}{9} × 0 = 0$，验证符合条件；
当$n=1$时，$x=\frac{7}{9} × 1 = \frac{7}{9}$，验证符合条件；
当$n=2$时，$x=\frac{7}{9} × 2 = \frac{14}{9}$，验证符合条件。
$n-\frac{1}{2} ≤ x ＜ n+\frac{1}{2}$
已知$⟨ x \rangle=\frac{9}{7}x$，即$n=\frac{9}{7}x$，变形得$x=\frac{7}{9}n$，将其代入上述不等式：
1. 解左侧不等式：
$n-\frac{1}{2} ≤ \frac{7}{9}n$
移项化简得$\frac{2n}{9} ≤ \frac{1}{2}$，解得$n ≤ 2.25$
2. 解右侧不等式：
$\frac{7}{9}n ＜ n+\frac{1}{2}$
移项化简得$-\frac{2n}{9} ＜ \frac{1}{2}$，解得$n ＞ -2.25$
结合$n$为非负整数，可得$n$的可取值为0、1、2：
当$n=0$时，$x=\frac{7}{9} × 0 = 0$，验证符合条件；
当$n=1$时，$x=\frac{7}{9} × 1 = \frac{7}{9}$，验证符合条件；
当$n=2$时，$x=\frac{7}{9} × 2 = \frac{14}{9}$，验证符合条件。
3.国际奥委会于2015年7月31日在马来西亚吉隆坡举行会议，通过投票确定2022年冬奥会举办城市.北京获得总计84张选票中的44票，得票率超过50%，取得了2022年冬奥会举办权.在这次投票中，北京得票的频数是.
答案
44
解析
根据频数的定义，频数是指一组数据中某个对象出现的次数，本题中北京获得的选票数就是北京得票的频数，由题干信息可知北京共获得44票，因此北京得票的频数为44。
4.如图,直线 $l_{1}// l_{2}$,$AQ$ 平分$∠ DAC$.若$∠ 1=50°$,$∠ 2=25°$,则$∠ 3=$.
答案
$80°$
解析
1. 由平行线的性质，因为$l_1// l_2$，两直线平行内错角相等，可得$∠ DAQ = ∠ 2 = 25°$。
2. 已知$AQ$平分$∠ DAC$，根据角平分线的定义，得$∠ DAC = 2∠ DAQ = 2×25° = 50°$。
3. 再由$l_1// l_2$，根据两直线平行同旁内角互补，可得$∠ 1 + ∠ DAC + ∠ 3 = 180°$。
4. 代入已知$∠ 1=50°$，计算得$∠ 3 = 180° - 50° - 50° = 80°$。
2. 已知$AQ$平分$∠ DAC$，根据角平分线的定义，得$∠ DAC = 2∠ DAQ = 2×25° = 50°$。
3. 再由$l_1// l_2$，根据两直线平行同旁内角互补，可得$∠ 1 + ∠ DAC + ∠ 3 = 180°$。
4. 代入已知$∠ 1=50°$，计算得$∠ 3 = 180° - 50° - 50° = 80°$。
5.如图,在平面直角坐标系中,点 A 在 x 轴上,点 C 在 y 轴上,CB // OA,且 OA=12,OC=BC=4.
(1)直接写出点 A,B,C 的坐标.
(2)若动点 P 从原点 O 出发沿 x 轴以每秒 2 个单位长度的速度向右运动,当直线 PC 把四边形 OABC 分成面积相等的两部分时,求点 P 的运动时间.
(3)在(2)的条件下,在 y 轴上是否存在一点 Q,连接 PQ,使△CPQ 的面积与四边形 OABC 的面积相等?若存在,求点 Q 的坐标;若不存在,请说明理由.
(1)直接写出点 A,B,C 的坐标.
(2)若动点 P 从原点 O 出发沿 x 轴以每秒 2 个单位长度的速度向右运动,当直线 PC 把四边形 OABC 分成面积相等的两部分时,求点 P 的运动时间.
(3)在(2)的条件下,在 y 轴上是否存在一点 Q,连接 PQ,使△CPQ 的面积与四边形 OABC 的面积相等?若存在,求点 Q 的坐标;若不存在,请说明理由.
答案
(1) $A(12,0)$，$B(4,4)$，$C(0,4)$
(2) 点P的运动时间为2秒
(3) 存在符合条件的点Q，坐标为$(0,20)$或$(0,-12)$
(2) 点P的运动时间为2秒
(3) 存在符合条件的点Q，坐标为$(0,20)$或$(0,-12)$
解析
(1) 根据点的位置和已知线段长度推导坐标：
点A在x轴上，OA=12，因此A的坐标为(12, 0)；
点C在y轴上，OC=4，因此C的坐标为(0, 4)；
由CB//OA（即CB平行x轴），BC=4，可知点B的纵坐标与C相同为4，横坐标为4，因此B的坐标为(4, 4)。
(2) 先计算直角梯形OABC的总面积：
根据梯形面积公式$S=\frac{1}{2}×(上底+下底)×高$，代入上底BC=4，下底OA=12，高OC=4，得$S_{OABC}=\frac{1}{2}×(4+12)×4=32$。
直线PC把四边形分成面积相等的两部分，则每部分面积为$32÷2=16$。
设OP的长度为x，由P在x轴上，CB//OP，可知四边形OPCB是梯形，代入面积公式得：
$\frac{1}{2}×(x+4)×4=16$，解得x=4。
已知P的运动速度为每秒2个单位长度，因此运动时间$t=4÷2=2$秒。
(3) 由(2)得点P坐标为(4, 0)，设y轴上点Q的坐标为(0, y)：
C、Q都在y轴上，线段CQ的长度为$|y-4|$，△CPQ以CQ为底时，对应的高为点P到y轴的距离，即4。
根据题意$S_{△ CPQ}=S_{OABC}=32$，代入三角形面积公式：
$\frac{1}{2}×|y-4|×4=32$，化简得$|y-4|=16$，解得y=20或y=-12，因此存在符合条件的点Q。
点A在x轴上，OA=12，因此A的坐标为(12, 0)；
点C在y轴上，OC=4，因此C的坐标为(0, 4)；
由CB//OA（即CB平行x轴），BC=4，可知点B的纵坐标与C相同为4，横坐标为4，因此B的坐标为(4, 4)。
(2) 先计算直角梯形OABC的总面积：
根据梯形面积公式$S=\frac{1}{2}×(上底+下底)×高$，代入上底BC=4，下底OA=12，高OC=4，得$S_{OABC}=\frac{1}{2}×(4+12)×4=32$。
直线PC把四边形分成面积相等的两部分，则每部分面积为$32÷2=16$。
设OP的长度为x，由P在x轴上，CB//OP，可知四边形OPCB是梯形，代入面积公式得：
$\frac{1}{2}×(x+4)×4=16$，解得x=4。
已知P的运动速度为每秒2个单位长度，因此运动时间$t=4÷2=2$秒。
(3) 由(2)得点P坐标为(4, 0)，设y轴上点Q的坐标为(0, y)：
C、Q都在y轴上，线段CQ的长度为$|y-4|$，△CPQ以CQ为底时，对应的高为点P到y轴的距离，即4。
根据题意$S_{△ CPQ}=S_{OABC}=32$，代入三角形面积公式：
$\frac{1}{2}×|y-4|×4=32$，化简得$|y-4|=16$，解得y=20或y=-12，因此存在符合条件的点Q。
