登录
数据的
波动与
分组
{
方差{
公式：
意义：①方差越大，数据的波动
②方差越小，数
的波动
四分位数：第一四分位数、第二四分位数、第三四分位数这三个数把一组据分为四个部分
波动与
分组
{
方差{
公式：
$s^2=\frac{1}{n}[(x_1-\overline{x})^2+(x_2-\overline{x})^2+\dots+(x_n-\overline{x})^2]$
意义：①方差越大，数据的波动
越大
②方差越小，数
的波动越小
四分位数：第一四分位数、第二四分位数、第三四分位数这三个数把一组据分为四个部分
答案
公式：$s^2=\frac{1}{n}[(x_1-\overline{x})^2+(x_2-\overline{x})^2+\dots+(x_n-\overline{x})^2]$
意义：①方差越大，数据的波动越大
②方差越小，数据的波动越小
意义：①方差越大，数据的波动越大
②方差越小，数据的波动越小
解析
【分析】
解题时先回忆方差的相关基础概念：1. 方差的定义是一组数据中各数据与它们的平均数的差的平方的平均数，根据这个定义就能推导写出方差的计算公式；2. 方差是用来衡量一组数据波动大小的统计量，方差的大小和数据波动程度呈正相关，据此就能填写方差的意义相关内容。
【解析】
1. 方差公式推导：设一组数据为$x_1,x_2,\dots,x_n$，它们的平均数为$\overline{x}$，根据方差的定义，即各数据与平均数差的平方的平均值，可得方差公式为$s^2=\frac{1}{n}[(x_1-\overline{x})^2+(x_2-\overline{x})^2+\dots+(x_n-\overline{x})^2]$，其中$s^2$表示方差，$n$为数据个数。
2. 方差意义分析：方差反映的是数据偏离平均数的平均程度，若方差越大，说明数据整体偏离平均数的程度越高，数据分布越分散，因此数据的波动越大；若方差越小，说明数据整体更集中在平均数附近，分布越紧凑，因此数据的波动越小。
【答案】
公式：$s^2=\frac{1}{n}[(x_1-\overline{x})^2+(x_2-\overline{x})^2+\dots+(x_n-\overline{x})^2]$
意义：①越大；②越小
【知识点】
方差的计算公式、方差的意义、统计量的含义
【点评】
本题属于基础概念考查题，核心是对统计中方差相关基础知识点的记忆与理解，是数据分析板块的入门内容，熟练掌握该知识点能够为后续处理更复杂的统计分析问题打好基础。
【难度系数】
0.9
解题时先回忆方差的相关基础概念：1. 方差的定义是一组数据中各数据与它们的平均数的差的平方的平均数，根据这个定义就能推导写出方差的计算公式；2. 方差是用来衡量一组数据波动大小的统计量，方差的大小和数据波动程度呈正相关，据此就能填写方差的意义相关内容。
【解析】
1. 方差公式推导：设一组数据为$x_1,x_2,\dots,x_n$，它们的平均数为$\overline{x}$，根据方差的定义，即各数据与平均数差的平方的平均值，可得方差公式为$s^2=\frac{1}{n}[(x_1-\overline{x})^2+(x_2-\overline{x})^2+\dots+(x_n-\overline{x})^2]$，其中$s^2$表示方差，$n$为数据个数。
2. 方差意义分析：方差反映的是数据偏离平均数的平均程度，若方差越大，说明数据整体偏离平均数的程度越高，数据分布越分散，因此数据的波动越大；若方差越小，说明数据整体更集中在平均数附近，分布越紧凑，因此数据的波动越小。
【答案】
公式：$s^2=\frac{1}{n}[(x_1-\overline{x})^2+(x_2-\overline{x})^2+\dots+(x_n-\overline{x})^2]$
意义：①越大；②越小
【知识点】
方差的计算公式、方差的意义、统计量的含义
【点评】
本题属于基础概念考查题，核心是对统计中方差相关基础知识点的记忆与理解，是数据分析板块的入门内容，熟练掌握该知识点能够为后续处理更复杂的统计分析问题打好基础。
【难度系数】
0.9
1. 如图1是小强某次练习射击成绩的箱线图，则这组数据的下四分位数是（
A.8.5
B.7
C.6
D.5
C
）。A.8.5
B.7
C.6
D.5
答案
1.C
解析
【分析】
解题时首先回忆箱线图的基本构成：箱线图从左到右依次对应五个统计量，分别是最小值、下四分位数（第25百分位数）、中位数、上四分位数、最大值，其中下四分位数对应箱形的左边界。明确这个对应关系后，直接读取题图中箱形左边界的数值即可得到答案。
【解析】
箱线图的五个关键统计量按从左到右的顺序依次为：最小值、下四分位数、中位数、上四分位数、最大值，下四分位数对应箱体的左侧边缘。
根据题图可知，箱体左侧边缘对应的数值为6，因此这组数据的下四分位数是6。
【答案】
C
【知识点】
箱线图的识别；四分位数的概念
【点评】
本题属于基础概念考查题，重点考察对箱线图各部分对应统计量的记忆，熟练掌握箱线图的结构即可快速得分。
【难度系数】
0.8
解题时首先回忆箱线图的基本构成：箱线图从左到右依次对应五个统计量，分别是最小值、下四分位数（第25百分位数）、中位数、上四分位数、最大值，其中下四分位数对应箱形的左边界。明确这个对应关系后，直接读取题图中箱形左边界的数值即可得到答案。
【解析】
箱线图的五个关键统计量按从左到右的顺序依次为：最小值、下四分位数、中位数、上四分位数、最大值，下四分位数对应箱体的左侧边缘。
根据题图可知，箱体左侧边缘对应的数值为6，因此这组数据的下四分位数是6。
【答案】
C
【知识点】
箱线图的识别；四分位数的概念
【点评】
本题属于基础概念考查题，重点考察对箱线图各部分对应统计量的记忆，熟练掌握箱线图的结构即可快速得分。
【难度系数】
0.8
2. 计算某一组数据的方差算式如下：$s^2=\frac{(x_1 -10)^2 + (x_2 -10)^2 + \dots + (x_5 -10)^2}{5}=2$，根据该算式，得到下列结论：①一共有5个数据；②该数据的平均数是10；③该数据的标准差是$\sqrt{2}$；④若添加一个数据10，新数据的方差不变。其中正确的结论有（
A.1个
B.2个
C.3个
D.4个
C
）。A.1个
B.2个
C.3个
D.4个
答案
2.C
解析
【分析】
解题时先回忆方差的计算公式：$s^2=\frac{1}{n}[(x_1-\overline{x})^2+(x_2-\overline{x})^2+\dots+(x_n-\overline{x})^2]$，其中$n$是数据总个数，$\overline{x}$是这组数据的平均数，标准差是方差的算术平方根。对照题目给出的方差算式，逐个判断4个结论的正误，最后统计正确结论的个数即可得到答案。
【解析】
我们逐个分析4个结论：
1. 题干方差算式的分母为5，分子中包含$x_1$到$x_5$共5个数据，说明这组数据总个数是5，结论①正确；
2. 方差公式中每个数据减去的数值就是该组数据的平均数，算式中每个数据减10，说明数据的平均数是10，结论②正确；
3. 标准差是方差的算术平方根，已知方差$s^2=2$，因此标准差为$\sqrt{2}$，结论③正确；
4. 先计算原数据的差方和：由$s^2=2$可得$(x_1 -10)^2 + (x_2 -10)^2 + \dots + (x_5 -10)^2=2×5=10$。添加数据10后，新数据的平均数仍为10，新方差为$\frac{10+(10-10)^2}{6}=\frac{5}{3}≠2$，方差发生了变化，结论④错误。
综上，正确的结论有①②③，共3个。
【答案】
C
【知识点】
方差的定义，标准差的定义，方差的变化规律
【点评】
本题核心考查对方差公式各部分含义的理解，易错点是误认为添加和平均数相等的新数据时方差不变，实际计算可知这类情况会使方差变小。
【难度系数】
0.7
解题时先回忆方差的计算公式：$s^2=\frac{1}{n}[(x_1-\overline{x})^2+(x_2-\overline{x})^2+\dots+(x_n-\overline{x})^2]$，其中$n$是数据总个数，$\overline{x}$是这组数据的平均数，标准差是方差的算术平方根。对照题目给出的方差算式，逐个判断4个结论的正误，最后统计正确结论的个数即可得到答案。
【解析】
我们逐个分析4个结论：
1. 题干方差算式的分母为5，分子中包含$x_1$到$x_5$共5个数据，说明这组数据总个数是5，结论①正确；
2. 方差公式中每个数据减去的数值就是该组数据的平均数，算式中每个数据减10，说明数据的平均数是10，结论②正确；
3. 标准差是方差的算术平方根，已知方差$s^2=2$，因此标准差为$\sqrt{2}$，结论③正确；
4. 先计算原数据的差方和：由$s^2=2$可得$(x_1 -10)^2 + (x_2 -10)^2 + \dots + (x_5 -10)^2=2×5=10$。添加数据10后，新数据的平均数仍为10，新方差为$\frac{10+(10-10)^2}{6}=\frac{5}{3}≠2$，方差发生了变化，结论④错误。
综上，正确的结论有①②③，共3个。
【答案】
C
【知识点】
方差的定义，标准差的定义，方差的变化规律
【点评】
本题核心考查对方差公式各部分含义的理解，易错点是误认为添加和平均数相等的新数据时方差不变，实际计算可知这类情况会使方差变小。
【难度系数】
0.7
3. 六座山峰的海拔高度分别为1 300 m，1 498 m，1 491 m，1 532 m，1 612 m，1 884 m，则这六座山峰的海拔高度的第一四分位数和第三四分位数分别是
1 491，1 612
.答案
3. 1 491，1 612
解析
【分析】
要计算一组数据的第一四分位数和第三四分位数，解题思路如下：第一步先将数据按照从小到大的顺序排列，这是计算百分位数的前提；第二步根据数据总个数n，分别计算第25百分位（第一四分位数）和第75百分位（第三四分位数）对应的位置i = n×对应百分率；第三步根据位置i的取值规则确定最终的四分位数：若i不是整数，向上取整后对应位置的数就是所求四分位数；若i是整数，则取第i个和第i+1个数据的平均数作为四分位数。按照这个步骤即可求得结果。
【解析】
1. 先将六座山峰的海拔高度按从小到大的顺序排列：1300 m，1491 m，1498 m，1532 m，1612 m，1884 m，总数据个数n=6。
2. 计算第一四分位数的位置：$i_1 = 6×25\% = 1.5$，1.5不是整数，向上取整为2，对应排序后的第2个数据，即1491 m。
3. 计算第三四分位数的位置：$i_3 = 6×75\% = 4.5$，4.5不是整数，向上取整为5，对应排序后的第5个数据，即1612 m。
【答案】
1491，1612
【知识点】
数据排序；四分位数计算；百分位数概念
【点评】
本题属于基础类题型，核心考查四分位数的计算步骤，解题的关键是先正确排序，再按规则确定四分位数的位置，只要牢记计算规则就不易出错。
【难度系数】
0.7
要计算一组数据的第一四分位数和第三四分位数，解题思路如下：第一步先将数据按照从小到大的顺序排列，这是计算百分位数的前提；第二步根据数据总个数n，分别计算第25百分位（第一四分位数）和第75百分位（第三四分位数）对应的位置i = n×对应百分率；第三步根据位置i的取值规则确定最终的四分位数：若i不是整数，向上取整后对应位置的数就是所求四分位数；若i是整数，则取第i个和第i+1个数据的平均数作为四分位数。按照这个步骤即可求得结果。
【解析】
1. 先将六座山峰的海拔高度按从小到大的顺序排列：1300 m，1491 m，1498 m，1532 m，1612 m，1884 m，总数据个数n=6。
2. 计算第一四分位数的位置：$i_1 = 6×25\% = 1.5$，1.5不是整数，向上取整为2，对应排序后的第2个数据，即1491 m。
3. 计算第三四分位数的位置：$i_3 = 6×75\% = 4.5$，4.5不是整数，向上取整为5，对应排序后的第5个数据，即1612 m。
【答案】
1491，1612
【知识点】
数据排序；四分位数计算；百分位数概念
【点评】
本题属于基础类题型，核心考查四分位数的计算步骤，解题的关键是先正确排序，再按规则确定四分位数的位置，只要牢记计算规则就不易出错。
【难度系数】
0.7
4. 甲、乙两人在某次投掷实心球比赛中，各投掷10次，其落地位置如图2所示. 已知两人10次投掷的平均成绩相同，则甲、乙两人中成绩稳定性更好的是
乙
.（填“甲”或“乙”）答案
4. 乙
解析
【分析】
要判断两人谁的成绩稳定性更好，首先明确判断依据：在平均成绩相同的前提下，数据的波动越小（离散程度越低），成绩稳定性越强。本题中不需要计算方差，可直接通过观察投掷落地位置的分布情况判断波动大小：落地位置越集中，说明成绩波动越小。接下来对比甲、乙两人的落点分布即可得到答案。
【解析】
判断成绩稳定性的核心是看成绩的波动程度，当平均成绩相同时，波动越小，稳定性越好。观察两人10次投掷的落地位置可知：甲的落地位置分布更为分散，说明甲的成绩波动大；乙的落地位置更集中，说明乙的成绩波动更小，因此乙的成绩稳定性更好。
【答案】
乙
【知识点】
1. 方差的意义
2. 数据稳定性判断
【点评】
本题结合投掷实心球的实际场景，考查数据稳定性的判断方法，无需复杂计算，只要掌握“平均成绩相同时，数据波动越小稳定性越强”的规律，通过观察数据离散程度即可快速解题，是对基础概念应用能力的考查。
【难度系数】
0.8
要判断两人谁的成绩稳定性更好，首先明确判断依据：在平均成绩相同的前提下，数据的波动越小（离散程度越低），成绩稳定性越强。本题中不需要计算方差，可直接通过观察投掷落地位置的分布情况判断波动大小：落地位置越集中，说明成绩波动越小。接下来对比甲、乙两人的落点分布即可得到答案。
【解析】
判断成绩稳定性的核心是看成绩的波动程度，当平均成绩相同时，波动越小，稳定性越好。观察两人10次投掷的落地位置可知：甲的落地位置分布更为分散，说明甲的成绩波动大；乙的落地位置更集中，说明乙的成绩波动更小，因此乙的成绩稳定性更好。
【答案】
乙
【知识点】
1. 方差的意义
2. 数据稳定性判断
【点评】
本题结合投掷实心球的实际场景，考查数据稳定性的判断方法，无需复杂计算，只要掌握“平均成绩相同时，数据波动越小稳定性越强”的规律，通过观察数据离散程度即可快速解题，是对基础概念应用能力的考查。
【难度系数】
0.8
