8. 如图,在$Rt△ ABC$中,$∠ ACB=90°$,D是AB边的中点,$AF ⊥ CD$于点E,交BC边于点F,连接DF,则图中与$△ ACE$相似的三角形共有 ()

A.2个
B.3个
C.4个
D.5个

8. B 解析:
∵ ∠EAC = ∠CAF, ∠AEC = ∠ACF,
∴ △ACE∽△AFC.
∵ ∠EAC+ ∠AFC = 90°, ∠ECF + ∠AFC = 90°,
∴ ∠EAC=∠ECF.
∵ ∠AEC=∠CEF,
∴ △ACE∽△CFE.
∵ D是AB边的中点,
∴ DC = DB,
∴ ∠ECF = ∠EAC = ∠B.
∵ ∠AEC=∠BCA,
∴ △ACE∽△BAC,共有3个.故选 B.

9. (2025·陕西中考)如图,正方形ABCD的边长为4,点E为AB的中点,点F在AD上,EF⊥EC,则△CEF的面积为 ()

A.10
B.8
C.5
D.4

9. C 解析:
∵ 四边形 ABCD 为正方形,
∴ AB=AD=BC=4,∠A=∠B=90°.
∵ E 为 AB 的中点,
∴ AE = BE = 2,
∴ CE=$\sqrt{BE^2+BC^2}=\sqrt{2^2+4^2}=2\sqrt{5}$.
∵ EF⊥EC,
∴ ∠AEF+∠BEC=90°,又∠BCE+∠BEC=90°,
∴ ∠AEF=∠BCE,
∴ △AEF∽△BCE,
∴ AE/BC = EF/CE,即2/4 = EF/(2√5),
∴ EF=√5,
∴ △CEF的面积=$\frac{1}{2}EF×EC=\frac{1}{2}×\sqrt{5}×2\sqrt{5}=5$.故选 C.

10. (2024·德州中考)如图,在 Rt△ABC 中, ∠ABC=90°,BD⊥AC,垂足为 D,AE 平分∠BAC,分别交 BD,BC 于点 F,E.若 AB : BC=3 : 4,则 BF : FD 为 ()

A.5:3
B.5:4
C.4:3
D.2:1

10. A 解析:
∵ AB : BC = 3 : 4,
∴ 设 AB = 3x, BC = 4x.
∵ ∠ABC=90°,
∴ AC=$\sqrt{AB^2+BC^2}=5x$,∠ABD+∠CBD=90°.
∵ BD⊥AC,
∴ ∠ADB=∠ABC=90°,∠CBD+∠C=90°,
∴ ∠C=∠ABD,
∴ △ACB∽△ABD,
∴ $\frac{AB}{AD}=\frac{AC}{AB}=\frac{5x}{3x}=\frac{5}{3}$.
∵ AE 平分∠BAC,
∴ 点 F 到 AB,AC 的距离相等,又点 A 到 BF,DF 的距离相等,
∴ $\frac{S_{△ ABF}}{S_{△ ADF}}=\frac{BF}{FD}=\frac{AB}{AD}=\frac{5}{3}$,即 BF : FD = 5 : 3.故选 A.

11. 如图,在$\odot O$中,弦$AB$与弦$CD$交于点$M$,且$CM:BM=3:2$,则$DM:AM=$.

11. 2 : 3 解析:连接 AD,BC,
∵ ∠ADM = ∠CBM,∠DAM = ∠BCM,
∴ △ADM∽△CBM,
∴ $\frac{AM}{DM}=\frac{CM}{BM}=\frac{3}{2}$,
∴ $\frac{DM}{AM}=\frac{2}{3}$.故答案为 2 : 3.

12. (2025·泸州中考)如图，梯形ABCD中，AD//BC，AB=CD=10，⊙O与梯形ABCD的各边都相切，且⊙O的面积为16π，则点B到CD的距离为。

12. $\frac{64}{5}$ 解析:设 AD,CD,BC 分别与⊙O 的切点记为点 E,F,G,连接 OE,OG,OF,过点 D 作 DH⊥BC 于点 H,过点 B 作 BK⊥CD 于点 K,过点 A 作 AM⊥BC 于点 M.
∴ OE ⊥ AD, OF ⊥ CD, OG ⊥ BC, DE = DF, CF = CG,
∴ ∠OGC=∠OED=∠DHG=∠DHC=∠BKC=90°.
∵ 梯形 ABCD 中,AD//BC,
∴ E,O,G 三点共线,
∴ 四边形 EGHD 为矩形,
∴ EG = DH, DE = HG.
∵ ⊙O 的面积为 16π,
∴ πOE²=16π,
∴ OE=4,
∴ EG=2OE=8=DH,设 DE=DF=HG=x.
∵ CD=10,
∴ CF=CG=10-x,
∴ CH=CG-HG=10-2x.
∵ 在 Rt△DHC 中,DH²+HC²=DC²,
∴ 8²+(10-2x)²=10²,解得 x=2 或 x=8(舍),
∴ CH=10-2×2=6.同理可得 AE=MG=2,BM=6,
∴ BC=BM+MG+GH+CH=6+2+2+6=16.
∵ ∠C=∠C,∠BKC=∠DHC=90°,
∴ △BKC∽△DHC,
∴ $\frac{BK}{DH}=\frac{BC}{DC}$,
∴ $\frac{BK}{8}=\frac{16}{10}$,
∴ BK=$\frac{64}{5}$,
∴ 点 B 到 CD 的距离为 $\frac{64}{5}$.

13. (2024·湖北中考节选)如图,二次函数$y=-x^2+bx+3$的图象交x轴于$A(-1,0)$和B,交y轴于C.
(1)求b的值;
(2)M为函数图象上一点,满足$∠ MAB = ∠ ACO$,求点M的横坐标.

13. (1)
∵ 二次函数$y=-x^2+bx+3$的图象交x轴于A(-1,0),
∴ 0=-1-b+3,解得b=2.
(2)
∵ b=2,
∴ $y=-x^2+2x+3=-(x-1)^2+4$,令 y=0,则$-(x-1)^2+4=0$,解得 x=-1 或 x=3,令 x=0,则 y=3,
∴ A(-1,0),B(3,0),C(0,3),作 MN⊥x 轴于点 N,设 M(m,-m²+2m+3),当 M 点在 x 轴上方时,如图①.
∵ ∠MAB=∠ACO,
∴ △MAN∽△ACO,
∴ $\frac{OC}{OA}=\frac{AN}{MN}$,即$\frac{3}{1}=\frac{m+1}{-m^2+2m+3}$,解得 m=$\frac{8}{3}$或 m=-1(舍去);
当点 M 在 x 轴下方时,如图②.
∵ ∠MAB=∠ACO,
∴ △MAN∽△ACO,
∴ $\frac{OC}{OA}=\frac{AN}{MN}$,即$\frac{3}{1}=\frac{m+1}{-(-m^2+2m+3)}$,解得 m=$\frac{10}{3}$或 m=-1(舍去).综上,点 M 的横坐标为$\frac{8}{3}$或$\frac{10}{3}$.

14. (2025·武汉中考)如图,四边形ABCD是正方形,点E在边CD上,点F在边BC的延长线上,DE=CF,射线AE交对角线BD于点G,交线段DF于点H.
(1)求证:DH=GH.(温馨提示:若思考有困难,可尝试证明$△ ADE ≌ △ DCF$)
(2)求证:$AG · EH = EG · GH$.
(3)若$\frac{GE}{EH}=n$,直接写出$\frac{DH}{DF}$的值(用含n的式子表示).

14. (1)
∵ 四边形 ABCD 是正方形,
∴ AD = DC, ∠ADC = ∠BCD = 90°, ∠ADB = ∠CDB = 45°,
∴ ∠ADC = ∠DCF = 90°.
∵ DE = CF,
∴ △ADE ≌ △DCF(SAS),
∴ ∠DAE = ∠CDF,
∴ ∠EAD + ∠ADB = ∠CDF + ∠CDB,即∠HDG = ∠HGD,
∴ DH = GH.
(2)
∵ 四边形 ABCD 是正方形,
∴ AB // DC, AB = AD,
∴ ∠BAG = ∠DEG, ∠ABG = ∠EDG,
∴ △ABG∽△EDG,
∴ $\frac{AG}{EG}=\frac{AB}{DE}=\frac{AD}{DE}$.
∵ ∠HDE = ∠HAD, ∠DHE = ∠AHD,
∴ △HDE∽△HAD,
∴ $\frac{DH}{EH}=\frac{AD}{DE}$,
∴ $\frac{AG}{EG}=\frac{DH}{EH}$.
∵ DH = GH,
∴ $\frac{AG}{EG}=\frac{GH}{EH}$,
∴ AG · EH = EG · GH.
(3) $\frac{DH}{DF}=\frac{n+1}{n^2+2n}$. 解析:
∵ $\frac{AG}{EG}=\frac{GH}{EH}$,$\frac{GE}{EH}=n$,
∴ $\frac{GE}{EH}=n=\frac{AG}{GH}$,设EH=a,
∴ EG=an,
∴ GH=DH=an+a=a(n+1),AG = $\frac{AG}{GH}·GH = n·a(n+1)=a(n^2+n)$,
∴ AE=AG+GE=a(n²+2n),由(1)得△ADE≌△DCF,
∴ AE=DF=a(n²+2n),
∴ $\frac{DH}{DF}=\frac{a(n+1)}{a(n^2+2n)}=\frac{n+1}{n^2+2n}$.