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1. (2026·宁波期末)如图,四边形ABCD的对角线AC,BD相交于点O,且将这个四边形分成①②③④四个三角形.若$OA:OC=OB:OD$,则下列结论中一定正确的是 (
A.①②相似
B.①③相似
C.①④相似
D.②③相似
C
)A.①②相似
B.①③相似
C.①④相似
D.②③相似
答案
1. C 解析:
∵ $\frac{OA}{OC}=\frac{OB}{OD}$,且$∠AOB=∠COD$,
∴ $△AOB∽△COD$,即①与④相似.故选 C.
∵ $\frac{OA}{OC}=\frac{OB}{OD}$,且$∠AOB=∠COD$,
∴ $△AOB∽△COD$,即①与④相似.故选 C.
2. (2026·淮安期末)如图,在△ABC中,∠A=78°,AB=4,AC=6.将△ABC沿图示中的虚线剪开,剪下的阴影三角形与原三角形不相似的是 (
C
)答案
2. C 解析:C中阴影三角形的两边之比为 2 : 3 = 4 : 6,但这两边的夹角是$∠B$,题中不能确定$∠B=78°$,
∴ 不能判定阴影三角形与原三角形相似.故选 C.
∴ 不能判定阴影三角形与原三角形相似.故选 C.
3. 新趋势 开放性试题 如图,在$△ ABC$中,$AC＞AB$,点D在AC边上(点D不与A,C重合),若再增加一个条件就能使$△ ABD ∽ △ ACB$,则这个条件可以是
$\frac{AB}{AD}=\frac{AC}{AB}$(答案不唯一)
.(只需写出一个)答案
3. $\frac{AB}{AD}=\frac{AC}{AB}$(答案不唯一) 解析:添加$\frac{AB}{AD}=\frac{AC}{AB}$,又
∵ $∠BAD=∠CAB$,
∴ $△ABD∽△ACB$.
∵ $∠BAD=∠CAB$,
∴ $△ABD∽△ACB$.
4. (南充中考)如图,在$△ ABC$中,$D$为$BC$上一点,$BC = \sqrt{3}AB = 3BD$,则$AD : AC$的值为
$\frac{\sqrt{3}}{3}$
.答案
4. $\frac{\sqrt{3}}{3}$ 解析:
∵ $BC=\sqrt{3}AB=3BD$,
∴ $\frac{BC}{AB}=\frac{AB}{DB}=\sqrt{3}$.
∵ $∠B=∠B$,
∴ $△ABC∽△DBA$,
∴ $\frac{AC}{DA}=\frac{BC}{BA}=\sqrt{3}$,
∴ $AD:AC=\frac{\sqrt{3}}{3}$.
∵ $BC=\sqrt{3}AB=3BD$,
∴ $\frac{BC}{AB}=\frac{AB}{DB}=\sqrt{3}$.
∵ $∠B=∠B$,
∴ $△ABC∽△DBA$,
∴ $\frac{AC}{DA}=\frac{BC}{BA}=\sqrt{3}$,
∴ $AD:AC=\frac{\sqrt{3}}{3}$.
5. 如图,在$△ ABC$中,点$D,E$分别在边$AB,AC$上,$∠ AED=∠ B$,AG分别交线段$DE,BC$于点$F,G$,且$AD:AC=DF:CG$. 求证:AG平分$∠ BAC$.
答案
5.
∵ $∠DAE+∠AED+∠ADE=180°$, $∠BAC+∠B+∠C=180°$, $∠AED=∠B$,
∴ $∠ADE=∠C$.在$△ADF$和$△ACG$中,$\frac{AD}{AC}=\frac{DF}{CG}$且$∠ADE=∠C$,
∴ $△ADF∽△ACG$,
∴ $∠DAF=∠CAG$,
∴ AG平分$∠BAC$.
∵ $∠DAE+∠AED+∠ADE=180°$, $∠BAC+∠B+∠C=180°$, $∠AED=∠B$,
∴ $∠ADE=∠C$.在$△ADF$和$△ACG$中,$\frac{AD}{AC}=\frac{DF}{CG}$且$∠ADE=∠C$,
∴ $△ADF∽△ACG$,
∴ $∠DAF=∠CAG$,
∴ AG平分$∠BAC$.
6. (2026·保定期中)如图,在直角梯形ABCD中,AD//BC,∠ABC=90°,AB=8,AD=3,BC=4,点P为AB边上一动点,若△PAD与△PBC是相似三角形,则满足条件的点P有 (
A.1个
B.2个
C.3个
D.4个
C
)A.1个
B.2个
C.3个
D.4个
答案
6. C 解析:
∵ 在直角梯形 ABCD 中, $∠B = 90°,AD // BC$,
∴ $∠A=180°-∠B=90°$,
∴ $∠PAD=∠PBC=90°$.
∵ $AB = 8$, $AD=3,BC=4$,设AP的长为x,则BP的长为$(8-x)$.若AB边上存在点 P,使得$△PAD$与$△PBC$相似,则分两种情况:①若$△APD∽△BPC$,则$AP:BP=AD:BC$,即$x:(8-x)=3:4$,解得$x=\frac{24}{7}$;②若$△APD∽△BCP$,则$AP:BC=AD:BP$,即$x:4=3:(8-x)$,解得$x=2$或$x=6$.
∴ 满足条件的点 P 有 3 个.故选 C.
∵ 在直角梯形 ABCD 中, $∠B = 90°,AD // BC$,
∴ $∠A=180°-∠B=90°$,
∴ $∠PAD=∠PBC=90°$.
∵ $AB = 8$, $AD=3,BC=4$,设AP的长为x,则BP的长为$(8-x)$.若AB边上存在点 P,使得$△PAD$与$△PBC$相似,则分两种情况:①若$△APD∽△BPC$,则$AP:BP=AD:BC$,即$x:(8-x)=3:4$,解得$x=\frac{24}{7}$;②若$△APD∽△BCP$,则$AP:BC=AD:BP$,即$x:4=3:(8-x)$,解得$x=2$或$x=6$.
∴ 满足条件的点 P 有 3 个.故选 C.
7. 如图,在$△ ABC$中,$AB=AC=3$,$BC=4$,点$D$,$E$分别是边$AB$,$BC$上的点,连接$DE$,将$△ BDE$沿$DE$翻折得到$△ FDE$,点$B$的对称点$F$恰好落在边$AC$上,若以点$C$,$E$,$F$为顶点的三角形与$△ ABC$相似,则$BE$的长为
$\frac{12}{7}$或2
.答案
7. $\frac{12}{7}$或2 解析:
∵ 将$△BDE$沿 DE 翻折得到$△FDE$,
∴ $BE=EF$.
∵ $BC=4$,
∴ $CE=4-BE$.
∵ 以点 C,E,F 为顶点的三角形与$△ABC$相似,
∴ $\frac{CE}{BC}=\frac{EF}{AB}$或$\frac{CE}{AC}=\frac{EF}{AB}$,即$\frac{4-BE}{4}=\frac{BE}{3}$或$\frac{4-BE}{3}=\frac{BE}{3}$,解得$BE=\frac{12}{7}$或2.
∵ 将$△BDE$沿 DE 翻折得到$△FDE$,
∴ $BE=EF$.
∵ $BC=4$,
∴ $CE=4-BE$.
∵ 以点 C,E,F 为顶点的三角形与$△ABC$相似,
∴ $\frac{CE}{BC}=\frac{EF}{AB}$或$\frac{CE}{AC}=\frac{EF}{AB}$,即$\frac{4-BE}{4}=\frac{BE}{3}$或$\frac{4-BE}{3}=\frac{BE}{3}$,解得$BE=\frac{12}{7}$或2.
