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9. (2025·昭通期中)若方程$(m+3)x^{m^2 -7}+(m-1)x-2=0$是关于$x$的一元二次方程，则$m=\underline{\hspace{5em}}$．
答案
3
10. 若$x_0$是方程$ax^2 + 2x + c = 0(a≠0)$的一个根，
设$M=1-ac$，$N=(ax_0 + 1)^2$，则$M$与$N$的大小
关系为$M$______$N$.（填“＞”“＜”或“=”）
设$M=1-ac$，$N=(ax_0 + 1)^2$，则$M$与$N$的大小
关系为$M$______$N$.（填“＞”“＜”或“=”）
答案
=
11. 将一些相同的“○”按如图所示的规律依次摆放,观察每个“龟图”中“○”的个数,若第$n$个“龟图”中有 245 个“○”,则可得方程为________.
答案
$n^2 - n - 240 = 0$
12. 一题多变 (1)已知$a$是方程$x^2 - 3x = 4$的一个根,求$(a^3 - 3a^2)(3 - a - \dfrac{5}{a})$的值;
(2)(遂宁中考改编)已知$m$为方程$x^2 + 3x - 2024 = 0$的一个根,求$m^3 + 2m^2 - 2027m + 2024$的值;
(3)已知$k$是方程$x^2 - x - 1 = 0$的一个根,求$k^4 - 3k - 2$的值.
(2)(遂宁中考改编)已知$m$为方程$x^2 + 3x - 2024 = 0$的一个根,求$m^3 + 2m^2 - 2027m + 2024$的值;
(3)已知$k$是方程$x^2 - x - 1 = 0$的一个根,求$k^4 - 3k - 2$的值.
答案
解：∵$a$是方程$x^2 - 3x = 4$的一个根，∴$a^2 - 3a = 4，$$3a - a^2 = - 4。$ ∴$(a^3 - 3a^2)(3 - a - \frac {5}{a})$$=a(a^2 - 3a)(3 - a - \frac {5}{a})$$=4a(3 - a - \frac {5}{a})$$=4(3a - a^2 - 5)$$=4×(- 4 - 5)$$= - 36。$ ; 解：∵$m $为$x^2 + 3x - 2024 = 0$的一个根，∴$\mathrm {m^2} + 3m - 2024 = 0，$且$m\neq 0，$∴$\mathrm {m^3} + 3\ \mathrm {m^2} - 2024m = 0，$则原式$=(\mathrm {m^3} + 3\ \mathrm {m^2} - 2024m)-(\mathrm {m^2} + 3m - 2024)$$=0 - 0 $$= 0。$ ; 解：由题意得，把$x = k$代入方程，可得$k^2 - k - 1 = 0，$即$k^2 = k + 1。$ ∴$k^4 - 3k - 2=(k^2)^2 - 3k - 2$$=(k + 1)^2 - 3k - 2$$=k^2 + k - 1 $$= 0。$
13. 已知下面三个关于$ x $的一元二次方程$ ax^2 + 2bx + c = 1, bx^2 + 2cx + a = -3, cx^2 + 2ax + b = 2 $恰好有一个相同的正实数根,则$ a + b + c $的值为______.
答案
0
14. 改编题 阅读下列材料：
①关于 $ x $ 的方程 $ x^2 - 3x + 1 = 0 \ (x ≠ 0) $，
方程两边同时乘 $ \frac{1}{x} $ 得 $ x - 3 + \frac{1}{x} = 0 $，即 $ x + \frac{1}{x} = 3 $，
$ ( x + \frac{1}{x} )^2 = x^2 + \frac{1}{x^2} + 2 · x · \frac{1}{x} = x^2 + \frac{1}{x^2} + 2 $，
$ x^2 + \frac{1}{x^2} = ( x + \frac{1}{x} )^2 - 2 = 3^2 - 2 = 7 $。
② $ A^3 + B^3 = (A + B)(A^2 - AB + B^2) $；$ A^3 - B^3 = (A - B)(A^2 + AB + B^2) $。
根据以上材料，解答下列问题：
(1) $ x^2 - 4x + 1 = 0 \ (x ≠ 0) $，$ x^2 + \frac{1}{x^2} = \_\_\_\_\_\_ $，$ x^4 + \frac{1}{x^4} = \_\_\_\_\_\_ $；
(2) 若关于 $ m $ 的一元二次方程 $ \sqrt{7} nm^2 - mn^2 - 2 = 0 \ (n ≠ 0) $ 的一个根为 2，求 $ n^3 + \frac{1}{n^3} $ 的值；
(3) 关于 $ x $ 的一元二次方程 $ ax^2 + bx = c \ (ac ≠ 0) $ 的一个实数根为 2025，则方程 $ cx^2 + bx = a $ 一定有一个实数根为 ______。
①关于 $ x $ 的方程 $ x^2 - 3x + 1 = 0 \ (x ≠ 0) $，
方程两边同时乘 $ \frac{1}{x} $ 得 $ x - 3 + \frac{1}{x} = 0 $，即 $ x + \frac{1}{x} = 3 $，
$ ( x + \frac{1}{x} )^2 = x^2 + \frac{1}{x^2} + 2 · x · \frac{1}{x} = x^2 + \frac{1}{x^2} + 2 $，
$ x^2 + \frac{1}{x^2} = ( x + \frac{1}{x} )^2 - 2 = 3^2 - 2 = 7 $。
② $ A^3 + B^3 = (A + B)(A^2 - AB + B^2) $；$ A^3 - B^3 = (A - B)(A^2 + AB + B^2) $。
根据以上材料，解答下列问题：
(1) $ x^2 - 4x + 1 = 0 \ (x ≠ 0) $，$ x^2 + \frac{1}{x^2} = \_\_\_\_\_\_ $，$ x^4 + \frac{1}{x^4} = \_\_\_\_\_\_ $；
(2) 若关于 $ m $ 的一元二次方程 $ \sqrt{7} nm^2 - mn^2 - 2 = 0 \ (n ≠ 0) $ 的一个根为 2，求 $ n^3 + \frac{1}{n^3} $ 的值；
(3) 关于 $ x $ 的一元二次方程 $ ax^2 + bx = c \ (ac ≠ 0) $ 的一个实数根为 2025，则方程 $ cx^2 + bx = a $ 一定有一个实数根为 ______。
答案
14
; 194
; 解：$(2)$∵若关于$m $的一元二次方程$\sqrt 7nm²-mn²-2=0$的一个根为$2$$4\sqrt 7n-2n²-2=0$方程两边同时乘$\frac {1}{n}，$得$4\sqrt 7-2n-\frac {2}{n}=0$即$n+\frac {1}{n}=2\sqrt 7$两边平方得$n²+\frac 1{n^2}+2=28，$$n^2+\frac {1}{n²}=26$由题中公式可得$n³+\frac 1{n^3}$$=(n+\frac 1{n}) (n²-1+\frac 1{n^2})$$=2\sqrt 7×25=50\sqrt 7$ ; $-\frac{1}{2025}$
; 194
; 解：$(2)$∵若关于$m $的一元二次方程$\sqrt 7nm²-mn²-2=0$的一个根为$2$$4\sqrt 7n-2n²-2=0$方程两边同时乘$\frac {1}{n}，$得$4\sqrt 7-2n-\frac {2}{n}=0$即$n+\frac {1}{n}=2\sqrt 7$两边平方得$n²+\frac 1{n^2}+2=28，$$n^2+\frac {1}{n²}=26$由题中公式可得$n³+\frac 1{n^3}$$=(n+\frac 1{n}) (n²-1+\frac 1{n^2})$$=2\sqrt 7×25=50\sqrt 7$ ; $-\frac{1}{2025}$
