8. 若一个三角形的三边长之比为$5:12:13$，且周长为$60\ \mathrm{cm}$，则它的面积为$\_\_\_\_\_\_\ \mathrm{cm}^2$。

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9. 如图所示的网格是正方形网格，则$∠ PAB + ∠ PBA =$ ______$°$.(A、B、P是网格线交点)

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10. 如图,已知等腰三角形 $ ABC $ 的底边 $ BC = 20 \ \mathrm{cm} $,$ D $ 是腰 $ AB $ 上一点,且 $ CD = 16 \ \mathrm{cm} $,$ BD = 12 \ \mathrm{cm} $.
(1)求证:$ CD ⊥ AB $.
(2)求$ △ ABC $ 的腰长.

解： (1)证明：因为$CD = 16\ cm，$$BD = 12\ cm，$$BC = 20\ cm，$
$16^{2}+12^{2}=256 + 144 = 400 = 20^{2}，$
所以$CD^{2}+BD^{2}=BC^{2}，$
根据勾股定理的逆定理可知$\angle BDC = 90^{\circ}，$所以$CD\perp AB。$ (2)设$\triangle ABC$的腰长$AC = AB = x\ cm，$
则$AD = AB - DB=(x - 12)\ cm。$ 在$Rt\triangle ACD$中，由勾股定理得$AC^{2}=AD^{2}+CD^{2}，$即$x^{2}=(x - 12)^{2}+16^{2}，$ $x^{2}=x^{2}-24x + 144 + 256，$ $24x=400，$ 解得$x=\frac{50}{3}，$即$\triangle ABC$的腰长为$\frac{50}{3}\ cm。$

11. 勾股定理是一个基本的几何定理，早在我国西汉时期的数学著作《周髀算经》中就有“勾三股四弦五”的记载.如果一个直角三角形三边长都是正整数，这样的直角三角形叫作“整数直角三角形”，这三个正整数叫作一组“勾股数”.在一次“构造勾股数”的探究性学习中，老师给出了下表，其中$m$、$n$为正整数，且$m＞n$.

(1)观察表格，当$m=2,n=1$时，对应的$a$、$b$、$c$的值能否为直角三角形三边的长？说明你的理由.
(2)探究$a$、$b$、$c$与$m$、$n$之间的关系并用含$m$、$n$的代数式表示：$a=$______，$b=$______，$c=$______.
(3)以$a$、$b$、$c$为边长的三角形是否一定为直角三角形？如果是，请说明理由；如果不是，请举出反例.

$m^{2}+n^{2}$ ; $2mn$ ; $m^{2}-n^{2}$ ; 解：(1)能。理由如下：当$m = 2，$$n = 1$时，$a = 2^{2}+1^{2}=5，$$b = 4，$$c = 2^{2}-1^{2}=3。$ 因为$3^{2}+4^{2}=9 + 16 = 25 = 5^{2}，$所以$a$、$b$、$c$的值能为直角三角形三边的长。 (2)$a = m^{2}+n^{2}，$$b = 2mn，$$c = m^{2}-n^{2}。$ (3)是。理由如下：
因为$a^{2}=(m^{2}+n^{2})^{2}=m^{4}+2m^{2}n^{2}+n^{4}，$$b^{2}=(2mn)^{2}=4m^{2}n^{2}，$$c^{2}=(m^{2}-n^{2})^{2}=m^{4}-2m^{2}n^{2}+n^{4}，$ 所以$b^{2}+c^{2}=m^{4}-2m^{2}n^{2}+n^{4}+4m^{2}n^{2}=m^{4}+2m^{2}n^{2}+n^{4}=a^{2}，$所以以$a$、$b$、$c$为边长的三角形一定为直角三角形。