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1. 分式的乘除混合运算
分式的乘除混合运算可以统一为
分式的乘除混合运算可以统一为
乘
法
运算。答案
分式的乘除混合运算可以统一为乘法运算。
解析
【分析】
解题时先回忆分式的运算规则：我们学过分式的除法法则是除以一个不等于0的分式，等于乘这个分式的倒数。因此遇到分式的乘除混合运算时，所有的除法步骤都可以转化为乘法步骤，自然就能把乘除混合运算统一为同一种运算了。
【解析】
根据分式除法的运算法则：分式除以分式，把除式的分子、分母颠倒位置后，与被除式相乘，即分式的除法运算可以转化为乘法运算。因此在分式的乘除混合运算中，可将所有除法运算全部转化为乘法运算，整个混合运算就可以统一为乘法运算。
【答案】
分式的乘除混合运算可以统一为乘法运算。
【知识点】
分式除法法则；分式乘除混合运算
【点评】
本题是基础概念考查题，重点考察分式乘除运算的转化逻辑，熟练掌握除法转乘法的规则是正确进行分式乘除混合运算的前提。
【难度系数】
0.9
解题时先回忆分式的运算规则：我们学过分式的除法法则是除以一个不等于0的分式，等于乘这个分式的倒数。因此遇到分式的乘除混合运算时，所有的除法步骤都可以转化为乘法步骤，自然就能把乘除混合运算统一为同一种运算了。
【解析】
根据分式除法的运算法则：分式除以分式，把除式的分子、分母颠倒位置后，与被除式相乘，即分式的除法运算可以转化为乘法运算。因此在分式的乘除混合运算中，可将所有除法运算全部转化为乘法运算，整个混合运算就可以统一为乘法运算。
【答案】
分式的乘除混合运算可以统一为乘法运算。
【知识点】
分式除法法则；分式乘除混合运算
【点评】
本题是基础概念考查题，重点考察分式乘除运算的转化逻辑，熟练掌握除法转乘法的规则是正确进行分式乘除混合运算的前提。
【难度系数】
0.9
2. 分式的乘方
分式乘方要把分子、分母分别
用式子表示为$(\dfrac{a}{b})^n =$
分式乘方要把分子、分母分别
乘方
。用式子表示为$(\dfrac{a}{b})^n =$
$\dfrac{a^n}{b^n}$
（$n$是正整数）。答案
分式乘方要把分子、分母分别乘方，用式子表示为$(\dfrac{a}{b})^n =\dfrac{a^n}{b^n}$（$n$是正整数）。
解析
【分析】
本题考查分式乘方的基本法则，解题时可结合乘方的意义推导：乘方是求n个相同因数乘积的运算，$(\frac{a}{b})^n$的本质是n个$\frac{a}{b}$相乘，再结合分式乘法的运算规则，即分子相乘的积作积的分子、分母相乘的积作积的分母，就能推导出分式乘方的法则和对应的表达式。
【解析】
根据乘方的定义，$(\dfrac{a}{b})^n$表示n个$\dfrac{a}{b}$相乘，即：
$(\dfrac{a}{b})^n=\underbrace{\dfrac{a}{b}×\dfrac{a}{b}×\dots×\dfrac{a}{b}}_{n个}=\dfrac{\underbrace{a×a×\dots×a}_{n个}}{\underbrace{b×b×\dots×b}_{n个}}=\dfrac{a^n}{b^n}$
由此可得：分式乘方要把分子、分母分别乘方，对应的式子为$(\dfrac{a}{b})^n=\dfrac{a^n}{b^n}$（n是正整数）。
【答案】
乘方；$\dfrac{a^n}{b^n}$
【知识点】
分式的乘方法则
【点评】
本题是对分式乘方基本概念的直接考查，属于基础题型，准确理解并熟记相关运算法则即可快速作答。
【难度系数】
0.9
本题考查分式乘方的基本法则，解题时可结合乘方的意义推导：乘方是求n个相同因数乘积的运算，$(\frac{a}{b})^n$的本质是n个$\frac{a}{b}$相乘，再结合分式乘法的运算规则，即分子相乘的积作积的分子、分母相乘的积作积的分母，就能推导出分式乘方的法则和对应的表达式。
【解析】
根据乘方的定义，$(\dfrac{a}{b})^n$表示n个$\dfrac{a}{b}$相乘，即：
$(\dfrac{a}{b})^n=\underbrace{\dfrac{a}{b}×\dfrac{a}{b}×\dots×\dfrac{a}{b}}_{n个}=\dfrac{\underbrace{a×a×\dots×a}_{n个}}{\underbrace{b×b×\dots×b}_{n个}}=\dfrac{a^n}{b^n}$
由此可得：分式乘方要把分子、分母分别乘方，对应的式子为$(\dfrac{a}{b})^n=\dfrac{a^n}{b^n}$（n是正整数）。
【答案】
乘方；$\dfrac{a^n}{b^n}$
【知识点】
分式的乘方法则
【点评】
本题是对分式乘方基本概念的直接考查，属于基础题型，准确理解并熟记相关运算法则即可快速作答。
【难度系数】
0.9
典例1 计算：
(1) $-\dfrac{x-y}{x+2y} ÷ \dfrac{x^2 - y^2}{x^2 + 4xy + 4y^2} · \dfrac{x-y}{x+2y}$；
(2) $\dfrac{m^2 - n^2}{(m-n)^2} · \dfrac{(n-m)^2}{m^2n^2} ÷ \dfrac{m+n}{m}$。
(1) $-\dfrac{x-y}{x+2y} ÷ \dfrac{x^2 - y^2}{x^2 + 4xy + 4y^2} · \dfrac{x-y}{x+2y}$；
(2) $\dfrac{m^2 - n^2}{(m-n)^2} · \dfrac{(n-m)^2}{m^2n^2} ÷ \dfrac{m+n}{m}$。
答案
解 (1) $-\dfrac{x-y}{x+2y} ÷ \dfrac{x^2 - y^2}{x^2 +4xy +4y^2} · \dfrac{x-y}{x+2y} = -\dfrac{x-y}{x+2y} · \dfrac{(x+2y)^2}{(x+y)(x-y)} · \dfrac{x-y}{x+2y} = -\dfrac{x-y}{x+y}$。
(2) $\dfrac{m^2 -n^2}{(m-n)^2} · \dfrac{(n-m)^2}{m^2n^2} ÷ \dfrac{m+n}{m} = \dfrac{(m+n)(m-n)}{(m-n)^2} · \dfrac{(m-n)^2}{m^2n^2} · \dfrac{m}{m+n} = \dfrac{m-n}{mn^2}$。
(2) $\dfrac{m^2 -n^2}{(m-n)^2} · \dfrac{(n-m)^2}{m^2n^2} ÷ \dfrac{m+n}{m} = \dfrac{(m+n)(m-n)}{(m-n)^2} · \dfrac{(m-n)^2}{m^2n^2} · \dfrac{m}{m+n} = \dfrac{m-n}{mn^2}$。
解析
【分析】
分式乘除混合运算的核心是先统一为乘法运算，再通过因式分解、约分得到最简结果：①先根据“除以一个分式等于乘以这个分式的倒数”，将所有除法运算转化为乘法运算；②对分子、分母中的多项式利用乘法公式因式分解，注意互为相反数的偶次幂相等（如$(n-m)^2=(m-n)^2$）；③约去分子分母的公因式，最终化简为最简分式。
针对(1)：先将除法转为乘法，再用平方差公式分解$x^2-y^2$，完全平方公式分解$x^2+4xy+4y^2$，之后约分计算。
针对(2)：先将除法转为乘法，用平方差公式分解$m^2-n^2$，将$(n-m)^2$转化为$(m-n)^2$，再约分计算。
【解析】
(1) 首先将除法转化为乘法，再因式分解后约分：
$\begin{aligned}-\dfrac{x-y}{x+2y} ÷ \dfrac{x^2 - y^2}{x^2 + 4xy + 4y^2} · \dfrac{x-y}{x+2y}&=-\dfrac{x-y}{x+2y} · \dfrac{(x+2y)^2}{(x+y)(x-y)} · \dfrac{x-y}{x+2y}\\&=-\dfrac{(x-y)(x+2y)^2(x-y)}{(x+2y)(x+y)(x-y)(x+2y)}\\&=-\dfrac{x-y}{x+y}\end{aligned}$
(2) 同理先转化为乘法运算，利用$(n-m)^2=(m-n)^2$变形后因式分解约分：
$\begin{aligned}\dfrac{m^2 - n^2}{(m-n)^2} · \dfrac{(n-m)^2}{m^2n^2} ÷ \dfrac{m+n}{m}&=\dfrac{(m+n)(m-n)}{(m-n)^2} · \dfrac{(m-n)^2}{m^2n^2} · \dfrac{m}{m+n}\\&=\dfrac{(m+n)(m-n)(m-n)^2·m}{(m-n)^2·m^2n^2·(m+n)}\\&=\dfrac{m-n}{mn^2}\end{aligned}$
【答案】
(1) $-\dfrac{x-y}{x+y}$；(2) $\dfrac{m-n}{mn^2}$
【知识点】
分式乘除混合运算、因式分解、分式约分
【点评】
本题是分式乘除运算的基础题型，解题的关键是牢记运算顺序，熟练掌握因式分解的常用公式，计算时要注意符号处理以及偶次幂的非负性带来的式子变形，避免因细节失误丢分。
【难度系数】
0.7
分式乘除混合运算的核心是先统一为乘法运算，再通过因式分解、约分得到最简结果：①先根据“除以一个分式等于乘以这个分式的倒数”，将所有除法运算转化为乘法运算；②对分子、分母中的多项式利用乘法公式因式分解，注意互为相反数的偶次幂相等（如$(n-m)^2=(m-n)^2$）；③约去分子分母的公因式，最终化简为最简分式。
针对(1)：先将除法转为乘法，再用平方差公式分解$x^2-y^2$，完全平方公式分解$x^2+4xy+4y^2$，之后约分计算。
针对(2)：先将除法转为乘法，用平方差公式分解$m^2-n^2$，将$(n-m)^2$转化为$(m-n)^2$，再约分计算。
【解析】
(1) 首先将除法转化为乘法，再因式分解后约分：
$\begin{aligned}-\dfrac{x-y}{x+2y} ÷ \dfrac{x^2 - y^2}{x^2 + 4xy + 4y^2} · \dfrac{x-y}{x+2y}&=-\dfrac{x-y}{x+2y} · \dfrac{(x+2y)^2}{(x+y)(x-y)} · \dfrac{x-y}{x+2y}\\&=-\dfrac{(x-y)(x+2y)^2(x-y)}{(x+2y)(x+y)(x-y)(x+2y)}\\&=-\dfrac{x-y}{x+y}\end{aligned}$
(2) 同理先转化为乘法运算，利用$(n-m)^2=(m-n)^2$变形后因式分解约分：
$\begin{aligned}\dfrac{m^2 - n^2}{(m-n)^2} · \dfrac{(n-m)^2}{m^2n^2} ÷ \dfrac{m+n}{m}&=\dfrac{(m+n)(m-n)}{(m-n)^2} · \dfrac{(m-n)^2}{m^2n^2} · \dfrac{m}{m+n}\\&=\dfrac{(m+n)(m-n)(m-n)^2·m}{(m-n)^2·m^2n^2·(m+n)}\\&=\dfrac{m-n}{mn^2}\end{aligned}$
【答案】
(1) $-\dfrac{x-y}{x+y}$；(2) $\dfrac{m-n}{mn^2}$
【知识点】
分式乘除混合运算、因式分解、分式约分
【点评】
本题是分式乘除运算的基础题型，解题的关键是牢记运算顺序，熟练掌握因式分解的常用公式，计算时要注意符号处理以及偶次幂的非负性带来的式子变形，避免因细节失误丢分。
【难度系数】
0.7
举一反三 计算：
答案
解 $\dfrac{a-1}{a-2} · \dfrac{a^2 -4}{a^2 -2a +1} ÷ \dfrac{1}{a^2 -1}$
$=\dfrac{a-1}{a-2} · \dfrac{(a+2)(a-2)}{(a-1)^2} · (a+1) · (a-1)$
$=(a+2)(a+1)$
$=a^2+3a+2.$
$=\dfrac{a-1}{a-2} · \dfrac{(a+2)(a-2)}{(a-1)^2} · (a+1) · (a-1)$
$=(a+2)(a+1)$
$=a^2+3a+2.$
解析
【分析】
这是分式乘除混合运算的常规计算题，解题思路分三步开展：首先根据分式除法的运算规则，把除法转化为乘法，即除以$\frac{1}{a^2-1}$等于乘$a^2-1$；其次对式子中所有可因式分解的多项式进行分解：$a^2-4$是平方差形式，可分解为$(a+2)(a-2)$，$a^2-2a+1$是完全平方式，可分解为$(a-1)^2$，$a^2-1$是平方差形式，可分解为$(a+1)(a-1)$；最后将分子分母的公因式约去，再把剩余的因式相乘化简即可得到结果。
【解析】
首先将除法运算转化为乘法运算：
$\dfrac{a-1}{a-2} · \dfrac{a^2 -4}{a^2 -2a +1} ÷ \dfrac{1}{a^2 -1} = \dfrac{a-1}{a-2} · \dfrac{a^2 -4}{a^2 -2a +1} · (a^2 -1)$
对分子分母中的多项式因式分解：
$= \dfrac{a-1}{a-2} · \dfrac{(a+2)(a-2)}{(a-1)^2} · (a+1)(a-1)$
约去分子分母的公因式$a-2$和$(a-1)^2$：
$=(a+2)(a+1)$
展开整式乘积：
$=a^2 + 3a + 2$
【答案】
$a^2+3a+2$
【知识点】
分式乘除运算、因式分解、乘法公式
【点评】
本题属于分式运算的基础题型，核心是先统一运算为乘法，再通过因式分解、约分完成化简，计算时要注意因式分解的正确性，避免因分解失误导致结果错误。
【难度系数】
0.7
这是分式乘除混合运算的常规计算题，解题思路分三步开展：首先根据分式除法的运算规则，把除法转化为乘法，即除以$\frac{1}{a^2-1}$等于乘$a^2-1$；其次对式子中所有可因式分解的多项式进行分解：$a^2-4$是平方差形式，可分解为$(a+2)(a-2)$，$a^2-2a+1$是完全平方式，可分解为$(a-1)^2$，$a^2-1$是平方差形式，可分解为$(a+1)(a-1)$；最后将分子分母的公因式约去，再把剩余的因式相乘化简即可得到结果。
【解析】
首先将除法运算转化为乘法运算：
$\dfrac{a-1}{a-2} · \dfrac{a^2 -4}{a^2 -2a +1} ÷ \dfrac{1}{a^2 -1} = \dfrac{a-1}{a-2} · \dfrac{a^2 -4}{a^2 -2a +1} · (a^2 -1)$
对分子分母中的多项式因式分解：
$= \dfrac{a-1}{a-2} · \dfrac{(a+2)(a-2)}{(a-1)^2} · (a+1)(a-1)$
约去分子分母的公因式$a-2$和$(a-1)^2$：
$=(a+2)(a+1)$
展开整式乘积：
$=a^2 + 3a + 2$
【答案】
$a^2+3a+2$
【知识点】
分式乘除运算、因式分解、乘法公式
【点评】
本题属于分式运算的基础题型，核心是先统一运算为乘法，再通过因式分解、约分完成化简，计算时要注意因式分解的正确性，避免因分解失误导致结果错误。
【难度系数】
0.7
典例2 计算：
(1) $( \dfrac{a^2b}{c^2} )^3 · ( \dfrac{-c^2}{a^2b} ) ÷ ( \dfrac{bc}{a} )^4$；
(2) $\dfrac{a-b}{a} · ( \dfrac{b}{b-a} )^2 ÷ \dfrac{b^2}{a^2}$。
规律方法 在一个算式中同时含有分式的乘方、乘法、除法时，应先算乘方，再算乘除，有多项式时应先进行因式分解，再约分。
举一反三 计算：
(1) $( \dfrac{a^2b}{-c} )^2 · ( \dfrac{c^2}{-ab} )^3 ÷ ( \dfrac{bc}{a} )^4$；
(2) $\dfrac{m - m^2}{m^2 -1} ÷ \dfrac{m}{m-1} · ( \dfrac{m+1}{m-1} )^2$。
典例解析
典例1
解 (1) $-\dfrac{x-y}{x+2y} ÷ \dfrac{x^2 - y^2}{x^2 +4xy +4y^2} · \dfrac{x-y}{x+2y} = -\dfrac{x-y}{x+2y} · \dfrac{(x+2y)^2}{(x+y)(x-y)} · \dfrac{x-y}{x+2y} = -\dfrac{x-y}{x+y}$。
(2) $\dfrac{m^2 -n^2}{(m-n)^2} · \dfrac{(n-m)^2}{m^2n^2} ÷ \dfrac{m+n}{m} = \dfrac{(m+n)(m-n)}{(m-n)^2} · \dfrac{(m-n)^2}{m^2n^2} · \dfrac{m}{m+n} = \dfrac{m-n}{mn^2}$。
(1) $( \dfrac{a^2b}{c^2} )^3 · ( \dfrac{-c^2}{a^2b} ) ÷ ( \dfrac{bc}{a} )^4$；
(2) $\dfrac{a-b}{a} · ( \dfrac{b}{b-a} )^2 ÷ \dfrac{b^2}{a^2}$。
规律方法 在一个算式中同时含有分式的乘方、乘法、除法时，应先算乘方，再算乘除，有多项式时应先进行因式分解，再约分。
举一反三 计算：
(1) $( \dfrac{a^2b}{-c} )^2 · ( \dfrac{c^2}{-ab} )^3 ÷ ( \dfrac{bc}{a} )^4$；
(2) $\dfrac{m - m^2}{m^2 -1} ÷ \dfrac{m}{m-1} · ( \dfrac{m+1}{m-1} )^2$。
典例解析
典例1
解 (1) $-\dfrac{x-y}{x+2y} ÷ \dfrac{x^2 - y^2}{x^2 +4xy +4y^2} · \dfrac{x-y}{x+2y} = -\dfrac{x-y}{x+2y} · \dfrac{(x+2y)^2}{(x+y)(x-y)} · \dfrac{x-y}{x+2y} = -\dfrac{x-y}{x+y}$。
(2) $\dfrac{m^2 -n^2}{(m-n)^2} · \dfrac{(n-m)^2}{m^2n^2} ÷ \dfrac{m+n}{m} = \dfrac{(m+n)(m-n)}{(m-n)^2} · \dfrac{(m-n)^2}{m^2n^2} · \dfrac{m}{m+n} = \dfrac{m-n}{mn^2}$。
答案
举一反三解：
(1) 原式$=\dfrac{a^4b^2}{c^2} · \dfrac{c^6}{(-a)^3b^3} · \dfrac{a^4}{b^4c^4} = -\dfrac{a^5}{b^5}.$
(2) 原式$=\dfrac{-m(m-1)}{(m+1)(m-1)} · \dfrac{m-1}{m} · \dfrac{(m+1)^2}{(m-1)^2} = \dfrac{-m}{m+1} · \dfrac{m-1}{m} · \dfrac{(m+1)^2}{(m-1)^2} = -\dfrac{m+1}{m-1}.$
(1) 原式$=\dfrac{a^4b^2}{c^2} · \dfrac{c^6}{(-a)^3b^3} · \dfrac{a^4}{b^4c^4} = -\dfrac{a^5}{b^5}.$
(2) 原式$=\dfrac{-m(m-1)}{(m+1)(m-1)} · \dfrac{m-1}{m} · \dfrac{(m+1)^2}{(m-1)^2} = \dfrac{-m}{m+1} · \dfrac{m-1}{m} · \dfrac{(m+1)^2}{(m-1)^2} = -\dfrac{m+1}{m-1}.$
解析
【分析】
解决分式的乘除与乘方混合运算类题目，首先遵循运算顺序：先算乘方，再算乘除，同级运算从左到右进行。具体思考步骤：1. 利用分式乘方法则（分子分母分别乘方）计算所有乘方项，注意负号的正负判断；2. 将除法运算统一转化为乘法运算（除以一个分式等于乘这个分式的倒数）；3. 若分子或分母含有多项式，先对多项式因式分解；4. 约去分子分母的所有公因式，将结果化为最简分式即可。
【解析】
(1) 先计算各乘方项，再将除法转为乘法：
原式$=\dfrac{a^4b^2}{c^2} · \dfrac{-c^6}{a^3b^3} · \dfrac{a^4}{b^4c^4}$
判断结果符号为负，再对分子分母的公因式约分：
分子的$a^4·a^4$与分母的$a^3$约后剩$a^5$，分子的$c^6$与分母的$c^2·c^4$约去，分子的$b^2$与分母的$b^3·b^4$约后分母剩$b^5$，最终得$-\dfrac{a^5}{b^5}$。
(2) 先对多项式因式分解，再计算乘方、将除法转为乘法：
原式$=\dfrac{-m(m-1)}{(m+1)(m-1)} · \dfrac{m-1}{m} · \dfrac{(m+1)^2}{(m-1)^2}$
逐步约分：先约去分子分母的公因式$m(m-1)$，得$\dfrac{-1}{m+1} · \dfrac{(m+1)^2}{m-1}$，再约去公因式$m+1$，最终得$-\dfrac{m+1}{m-1}$。
【答案】
(1) $\boxed{-\dfrac{a^5}{b^5}}$
(2) $\boxed{-\dfrac{m+1}{m-1}}$
【知识点】
分式乘方运算、分式乘除混合运算、约分
【点评】
本题是分式运算的基础典型题，解题核心是严格遵循运算顺序，注意负号的判断，多项式因式分解要准确，约分要彻底，最终结果需化为最简分式。
【难度系数】
0.7
解决分式的乘除与乘方混合运算类题目，首先遵循运算顺序：先算乘方，再算乘除，同级运算从左到右进行。具体思考步骤：1. 利用分式乘方法则（分子分母分别乘方）计算所有乘方项，注意负号的正负判断；2. 将除法运算统一转化为乘法运算（除以一个分式等于乘这个分式的倒数）；3. 若分子或分母含有多项式，先对多项式因式分解；4. 约去分子分母的所有公因式，将结果化为最简分式即可。
【解析】
(1) 先计算各乘方项，再将除法转为乘法：
原式$=\dfrac{a^4b^2}{c^2} · \dfrac{-c^6}{a^3b^3} · \dfrac{a^4}{b^4c^4}$
判断结果符号为负，再对分子分母的公因式约分：
分子的$a^4·a^4$与分母的$a^3$约后剩$a^5$，分子的$c^6$与分母的$c^2·c^4$约去，分子的$b^2$与分母的$b^3·b^4$约后分母剩$b^5$，最终得$-\dfrac{a^5}{b^5}$。
(2) 先对多项式因式分解，再计算乘方、将除法转为乘法：
原式$=\dfrac{-m(m-1)}{(m+1)(m-1)} · \dfrac{m-1}{m} · \dfrac{(m+1)^2}{(m-1)^2}$
逐步约分：先约去分子分母的公因式$m(m-1)$，得$\dfrac{-1}{m+1} · \dfrac{(m+1)^2}{m-1}$，再约去公因式$m+1$，最终得$-\dfrac{m+1}{m-1}$。
【答案】
(1) $\boxed{-\dfrac{a^5}{b^5}}$
(2) $\boxed{-\dfrac{m+1}{m-1}}$
【知识点】
分式乘方运算、分式乘除混合运算、约分
【点评】
本题是分式运算的基础典型题，解题核心是严格遵循运算顺序，注意负号的判断，多项式因式分解要准确，约分要彻底，最终结果需化为最简分式。
【难度系数】
0.7
