23. (11分) O为直线AB上一点,过点O作射线OC,使∠BOC=60°,将一直角三角板按图10①所示摆放(∠MON=90°)。
(1)将图10①中的三角板绕点O按每秒10°的速度沿逆时针方向旋转一周,在旋转的过程中,当ON所在直线平分∠AOC时,求三角板旋转的时间t的值。
(2)将图10①中的三角板绕点O旋转一定的角度得到图10②,使边OM恰好平分∠BOC,问:ON是否平分∠AOC?请说明理由。
(3)将图10①中的三角板绕点O旋转一定的角度得到图10③,使边ON在∠BOC的内部,则∠BOM与∠NOC之间存在怎样的数量关系?请说明理由。

解：
(1) 由题意得，$∠ AOC = 180° - ∠ BOC = 180° - 60° = 120°$。
当ON所在直线平分$∠ AOC$时，分两种情况：
① 当ON的反向延长线平分$∠ AOC$时，ON逆时针旋转的角度为$180° - \frac{1}{2}∠ AOC = 120°$，
则$t = \frac{120°}{10°/\mathrm{s}} = 12\ \mathrm{s}$；
② 当ON作为射线本身平分$∠ AOC$时，ON逆时针旋转的角度为$180° + \frac{1}{2}∠ AOC = 240°$，
则$t = \frac{240°}{10°/\mathrm{s}} = 24\ \mathrm{s}$。
综上，$t$的值为12或24。
(2) ON平分$∠ AOC$，理由如下：
因为$∠ MON = 90°$，所以$∠ AON + ∠ BOM = 180° - 90° = 90°$，$∠ NOC + ∠ COM = 90°$。
又因为OM平分$∠ BOC$，所以$∠ BOM = ∠ COM$，
根据等角的余角相等，可得$∠ AON = ∠ NOC$，即ON平分$∠ AOC$。
(3) $∠ BOM - ∠ NOC = 30°$，理由如下：
因为$∠ MON = 90°$，$∠ BOC = 60°$，
所以$∠ BOM = ∠ MON - ∠ BON = 90° - ∠ BON$，
$∠ NOC = ∠ BOC - ∠ BON = 60° - ∠ BON$，
两式相减得：$∠ BOM - ∠ NOC = (90° - ∠ BON) - (60° - ∠ BON) = 30°$，
即$∠ BOM$与$∠ NOC$的数量关系为$∠ BOM - ∠ NOC = 30°$。