3. 小刚用配方法解关于 $ x $ 的方程 $ 2x^2 - bx + a = 0 $，得 $ x - \frac{3}{2} = \pm \frac{\sqrt{15}}{2} $，则 $ b $ 等于（）

A.$-6$
B.$-3$
C.$6$
D.$3$

3. C

【分析】
本题可通过逆用配方法的解题步骤求解：首先将小刚得到的开平方后的等式两边平方，还原为配方法完成后的完全平方形式，再整理为一元二次方程的一般形式，最后与已知的原方程对比一次项系数，即可求出b的值。
【解析】
已知配方法解方程后得到$x - \frac{3}{2} = \pm \frac{\sqrt{15}}{2}$，
第一步，等式两边同时平方，得：
$(x - \frac{3}{2})^2 = (\pm \frac{\sqrt{15}}{2})^2$
展开左边、计算右边，得：
$x^2 - 3x + \frac{9}{4} = \frac{15}{4}$
第二步，移项合并同类项，将方程化为整式形式：
$x^2 - 3x + \frac{9}{4} - \frac{15}{4} = 0$
$x^2 - 3x - \frac{3}{2} = 0$
第三步，等式两边同时乘2，将二次项系数化为2，与原方程形式统一：
$2x^2 - 6x - 3 = 0$
将该式与原方程$2x^2 - bx + a = 0$对比一次项系数，可得：
$-b = -6$，解得$b=6$
【答案】
C
【知识点】
配方法解一元二次方程；一元二次方程系数对应
【点评】
本题主要考查配方法的逆运用，解题核心是熟练掌握配方法解方程的步骤，能够将开方后的结果还原为原方程形式，再通过系数对应求解参数，属于基础类题型。
【难度系数】
0.8

4. 一元二次方程 $2x^2 -5=4x$ 的根为

4. $x_1=\frac{2+\sqrt{14}}{2},x_2=\frac{2-\sqrt{14}}{2}$

【分析】
解本题首先需要将给定的一元二次方程整理为标准形式$ax^2+bx+c=0(a≠0)$，观察方程特征后选择公式法求解最为简便：第一步移项整理一般式，确定系数$a、b、c$的值；第二步计算判别式$\Delta=b^2-4ac$，判断根的情况；第三步代入一元二次方程求根公式计算，最后将结果化简为最简形式即可。
【解析】
首先将方程移项化为一元二次方程的一般形式：
$2x^2 -4x -5 = 0$
其中$a=2$，$b=-4$，$c=-5$。
计算判别式：
$\Delta = b^2 -4ac = (-4)^2 -4×2×(-5) = 16 + 40 = 56 ＞ 0$，因此方程有两个不相等的实数根。
代入求根公式$x=\frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}$得：
$x=\frac{4\pm\sqrt{56}}{2×2}=\frac{4\pm2\sqrt{14}}{4}=\frac{2\pm\sqrt{14}}{2}$
即方程的两个根为$x_1=\frac{2+\sqrt{14}}{2}$，$x_2=\frac{2-\sqrt{14}}{2}$。
【答案】
$x_1=\frac{2+\sqrt{14}}{2},x_2=\frac{2-\sqrt{14}}{2}$
【知识点】
1. 一元二次方程一般式
2. 公式法解一元二次方程
3. 二次根式化简
【点评】
本题是一元二次方程求解的基础题型，解题核心是先将方程整理为标准形式，再结合方程特征选择简便的求解方法，计算时要注意判别式的符号不要出错，最终结果要化为最简二次根式的形式。
【难度系数】
0.8

5. 用配方法解下列方程：
(1)$4x^2 -8x +1=0$；
(2)$3x^2 +8x -3=0$。

(1) $x_1=\frac{2+\sqrt{3}}{2},x_2=\frac{2-\sqrt{3}}{2}$
(2) $x_1=\frac{1}{3},x_2=-3$

【分析】
配方法解一元二次方程的核心是将方程变形为$(x+m)^2=n$（$n≥0$）的形式，再通过开平方求解，通用解题步骤为：①将二次项系数化为1；②移项，把常数项移到方程右侧；③配方，方程左右两边同时加上一次项系数一半的平方，将左侧化为完全平方式；④开平方求出方程的根。我们按照该步骤分别求解两个方程即可。
【解析】
(1) 解方程$4x^2 -8x +1=0$：
第一步：二次项系数化为1，方程两边同时除以4，得：
$x^2 - 2x + \frac{1}{4}=0$
第二步：移项，将常数项移到等号右侧：
$x^2 -2x = -\frac{1}{4}$
第三步：配方，一次项系数为$-2$，其一半的平方为$(-1)^2=1$，方程两边同时加1：
$x^2 -2x +1 = -\frac{1}{4} +1$
左侧化为完全平方式，得：
$(x-1)^2 = \frac{3}{4}$
第四步：开平方，得：
$x-1 = \pm \frac{\sqrt{3}}{2}$
解得：$x_1=1+\frac{\sqrt{3}}{2}=\frac{2+\sqrt{3}}{2}$，$x_2=1-\frac{\sqrt{3}}{2}=\frac{2-\sqrt{3}}{2}$
(2) 解方程$3x^2 +8x -3=0$：
第一步：二次项系数化为1，方程两边同时除以3，得：
$x^2 + \frac{8}{3}x -1=0$
第二步：移项，将常数项移到等号右侧：
$x^2 + \frac{8}{3}x = 1$
第三步：配方，一次项系数为$\frac{8}{3}$，其一半的平方为$(\frac{4}{3})^2=\frac{16}{9}$，方程两边同时加$\frac{16}{9}$：
$x^2 + \frac{8}{3}x + \frac{16}{9} = 1 + \frac{16}{9}$
左侧化为完全平方式，得：
$(x+\frac{4}{3})^2 = \frac{25}{9}$
第四步：开平方，得：
$x+\frac{4}{3} = \pm \frac{5}{3}$
解得：$x_1=-\frac{4}{3}+\frac{5}{3}=\frac{1}{3}$，$x_2=-\frac{4}{3}-\frac{5}{3}=-3$
【答案】
(1) $x_1=\frac{2+\sqrt{3}}{2},x_2=\frac{2-\sqrt{3}}{2}$
(2) $x_1=\frac{1}{3},x_2=-3$
【知识点】
配方法解一元二次方程、完全平方公式、开平方运算
【点评】
本题是配方法解一元二次方程的基础题型，解题时需严格遵循配方法的步骤，注意二次项系数化为1时不要漏除常数项，配方时等式两边需同时加相同的数保证等式成立，开平方时注意有正负两个根，避免漏解。
【难度系数】
0.8

6. (2026上海期中)解方程 $2x^2 - 3x + \frac{1}{2}=0$，
乐乐的解答过程如下：
解:①移项,得 $2x^2 - 3x=-\frac{1}{2}$，
②将二次项系数化为1,得 $x^2 - \frac{3}{2}x=-\frac{1}{4}$，
③配方,得 $(x-\frac{3}{2})^2=-\frac{1}{4}+\frac{9}{4}$，
④两边开平方,得 $x-\frac{3}{2}=\sqrt{2}$ 或 $x-\frac{3}{2}=-\sqrt{2}$，
⑤$\therefore x_1=\sqrt{2}+\frac{3}{2},x_2=-\sqrt{2}+\frac{3}{2}$。
(1)乐乐的解答过程从第步开始出错的；
(2)请写出正确的完整的解答过程。

6. (1) ③
(2) 解:$2x^2 - 3x + \frac{1}{2}=0$，
移项,得 $2x^2 - 3x=-\frac{1}{2}$，
将二次项系数化为1,得 $x^2 - \frac{3}{2}x=-\frac{1}{4}$，
配方,得 $x^2 - \frac{3}{2}x + \frac{9}{16}=-\frac{1}{4}+\frac{9}{16}$，
即$(x-\frac{3}{4})^2=\frac{5}{16}$，
两边开平方,得 $x-\frac{3}{4}=\pm\frac{\sqrt{5}}{4}$，
$\therefore x=\frac{3}{4}\pm\frac{\sqrt{5}}{4}$，
即$x_1=\frac{3+\sqrt{5}}{4},x_2=\frac{3-\sqrt{5}}{4}$。

【分析】
（1）判断错误步骤需结合配方法的核心要求：配方时，方程左右两边要同时加一次项系数一半的平方，完全平方式中常数项是一次项系数的一半。观察乐乐的步骤，第③步将完全平方式写为$(x-\frac{3}{2})^2$，错误使用了完整的一次项系数作为常数项，因此从第③步开始出错。
（2）正确解题遵循配方法的标准步骤：先移项将常数项移到等号右侧，再将二次项系数化为1，随后正确配方，等号两边加一次项系数一半的平方，将左侧化为完全平方式，最后开平方求出方程的解即可。
【解析】
(1) 逐一核对解题步骤：
第①步移项，把常数项$\frac{1}{2}$移到等号右侧，得$2x^2 - 3x=-\frac{1}{2}$，操作正确；
第②步两边同除以二次项系数2，得$x^2 - \frac{3}{2}x=-\frac{1}{4}$，操作正确；
第③步配方时，一次项系数为$-\frac{3}{2}$，它的一半是$-\frac{3}{4}$，应加$(\frac{3}{4})^2=\frac{9}{16}$，乐乐错误添加$(\frac{3}{2})^2=\frac{9}{4}$，完全平方式书写错误，因此从第③步开始出错。
(2) 正确解答过程：
$2x^2 - 3x + \frac{1}{2}=0$
移项，得 $2x^2 - 3x=-\frac{1}{2}$
将二次项系数化为1，得 $x^2 - \frac{3}{2}x=-\frac{1}{4}$
配方，两边同时加$(\frac{3}{4})^2$，得 $x^2 - \frac{3}{2}x + \frac{9}{16}=-\frac{1}{4}+\frac{9}{16}$
即$(x-\frac{3}{4})^2=\frac{5}{16}$
两边开平方，得 $x-\frac{3}{4}=\pm\frac{\sqrt{5}}{4}$
$\therefore x=\frac{3}{4}\pm\frac{\sqrt{5}}{4}$
即$x_1=\frac{3+\sqrt{5}}{4},x_2=\frac{3-\sqrt{5}}{4}$
【答案】
(1) $\boxed{③}$
(2) 方程的解为$\boxed{x_1=\frac{3+\sqrt{5}}{4},x_2=\frac{3-\sqrt{5}}{4}}$，完整解答过程见上述解析。
【知识点】
配方法解一元二次方程，完全平方公式
【点评】
本题重点考查配方法解一元二次方程的步骤掌握情况，易错点是配方环节容易混淆添加的常数项，只要牢记配方时要加“一次项系数一半的平方”这一核心要求，就能顺利解答。
【难度系数】
0.75

7. 若方程$2x^2 +8x -32=0$能配方成$(x+p)^2 + q=0$的形式，则直线$y=px+q$不经过的象限是第象限.

7. 二

【分析】
解题分为两个步骤：第一步先对给定的一元二次方程进行配方，将其变形为$(x+p)^2 + q=0$的形式，即可求出p、q的数值；第二步把p、q代入直线解析式$y=px+q$，根据一次函数的系数与图象的对应关系，判断直线经过的象限，就能得出不经过的象限。
【解析】
1. 对一元二次方程配方：
对$2x^2 +8x -32=0$两边同时除以2，化简得：
$x^2 +4x -16=0$
移项，将常数项移到等号右侧：
$x^2 +4x =16$
配方：等式两边同时加一次项系数一半的平方$(\frac{4}{2})^2=4$，得：
$x^2 +4x +4 =16+4$
左边整理为完全平方形式：
$(x+2)^2 =20$
移项得$(x+2)^2 -20=0$，和$(x+p)^2 + q=0$对比可得：$p=2$，$q=-20$。
2. 判断直线经过的象限：
直线解析式为$y=2x-20$，其中一次项系数$k=2＞0$，说明直线从左到右上升，经过第一、三象限；常数项$b=-20＜0$，说明直线与y轴交于负半轴，直线还经过第四象限。
因此直线不经过第二象限。
【答案】
二
【知识点】
配方法解一元二次方程；一次函数的图象与性质
【点评】
本题属于基础综合题，既考查了一元二次方程的配方步骤，也考查了一次函数系数和图象的对应关系，掌握基础知识点即可快速解答。
【难度系数】
0.7

8.已知关于$x$的一元二次方程$(a-1)x^2 -2x +a^2 +1=0$.
(1)若该方程的一个根是1,求$a$的值;
(2)在(1)的条件下,用配方法解该方程.

8. (1) 将 $x=1$ 代入原方程,得 $(a-1)-2+a^2+1=0$.
整理,得 $a^2+a-2=0$.
解得 $a_1=1,a_2=-2$.
$\because a-1≠0$,
$\therefore a≠1$.
$\therefore a$ 的值为 $-2$.
(2) 将 $a=-2$ 代入方程,得 $-3x^2-2x+5=0$.
即 $x^2+\frac{2}{3}x=\frac{5}{3}$.
配方,得 $(x+\frac{1}{3})^2=\frac{16}{9}$.
根据平方根的意义,得 $x+\frac{1}{3}=\pm\frac{4}{3}$.
$\therefore x_1=1,x_2=-\frac{5}{3}$.

【分析】
(1) 已知方程的一个根为1，根据一元二次方程根的定义，将x=1代入原方程可得到关于a的方程，求解后需注意一元二次方程的二次项系数不能为0，要对求出的a值进行取舍；(2) 代入a=-2得到具体方程后，按配方法的标准步骤求解：先将二次项系数化为1，把常数项移到等号右侧，再给等号两边同时加一次项系数一半的平方，将左侧配成完全平方式，最后开方计算即可。
【解析】
(1) 将 $x=1$ 代入原方程，得 $(a-1)-2+a^2+1=0$，
整理得 $a^2+a-2=0$，
解得 $a_1=1,a_2=-2$。
$\because$ 原方程是一元二次方程，二次项系数 $a-1≠0$，即 $a≠1$，
$\therefore a$ 的值为 $-2$。
(2) 将 $a=-2$ 代入原方程，得 $-3x^2-2x+5=0$，
二次项系数化为1并移项，得 $x^2+\frac{2}{3}x=\frac{5}{3}$，
配方，两边同时加 $(\frac{1}{3})^2$，得 $x^2+\frac{2}{3}x+(\frac{1}{3})^2=\frac{5}{3}+\frac{1}{9}$，即 $(x+\frac{1}{3})^2=\frac{16}{9}$，
根据平方根的意义，得 $x+\frac{1}{3}=\pm\frac{4}{3}$，
解得 $x_1=1,x_2=-\frac{5}{3}$。
【答案】
(1) $a=-2$；(2) $x_1=1,x_2=-\frac{5}{3}$
【知识点】
一元二次方程的定义，一元二次方程的根的定义，配方法解一元二次方程
【点评】
本题属于一元二次方程基础题，解题时要注意不要忽略一元二次方程二次项系数不为0的隐含条件，避免多解错误；配方法是解一元二次方程的基础方法，需要熟练掌握其操作步骤。
【难度系数】
0.7

9.由点$P(14,1),A(a,0),B(0,a)$确定的$△ PAB$的面积为18.
(1)如图,若$0＜a＜14$,求$a$的值;
(2)如果$a＞14$,请画图并求$a$的值.

9. (1) 当 $0＜a＜14$ 时,
如图,作 $PD⊥ x$ 轴于点 $D$,
$\because P(14,1),A(a,0),B(0,a)$,
$\therefore PD=1,OD=14,OA=a,OB=a$,
$\therefore S_{△ PAB}=S_{梯形OBPD}-S_{△ OAB}-S_{△ ADP}$
$=\frac{1}{2}×14(a+1)-\frac{1}{2}a^2-\frac{1}{2}×1×(14-a)$
$=18$,
解得 $a_1=3,a_2=12$。

(2) 如图,当 $a＞14$ 时,
作 $PD⊥ x$ 轴于点 $D$,
$\because P(14,1),A(a,0),B(0,a)$,
$\therefore PD=1,OD=14,OA=a,OB=a$,
$\therefore S_{△ PAB}=S_{△ OAB}-S_{梯形OBPD}-S_{△ ADP}$
$=\frac{1}{2}a^2-\frac{1}{2}×14(a+1)-\frac{1}{2}×1×(a-14)=18$,
解得 $a_1=\frac{15+3\sqrt{41}}{2},a_2=\frac{15-3\sqrt{41}}{2}$(不合题意,舍去),
$\therefore a=\frac{15+3\sqrt{41}}{2}$。

【分析】
本题是平面直角坐标系中结合三角形面积求参数的问题，需用割补法将不规则的△PAB面积转化为规则图形面积的和差求解，分两种情况讨论：
1. 当0＜a＜14时，点A在点P向x轴作垂线的垂足D左侧，此时△PAB的面积等于梯形OBPD的面积减去△OAB和△ADP的面积，据此列方程求解，再结合a的范围取符合条件的根；
2. 当a＞14时，点A在点D右侧，此时△PAB的面积等于△OAB的面积减去梯形OBPD和△ADP的面积，列方程求解后舍去不符合a＞14的根即可。
【解析】
(1) 当$0＜a＜14$时，作$PD⊥ x$轴于点$D$，
$\because P(14,1),A(a,0),B(0,a)$，
$\therefore PD=1,OD=14,OA=a,OB=a$，
根据割补法可得：
$S_{△ PAB}=S_{梯形OBPD}-S_{△ OAB}-S_{△ ADP}$
代入面积公式得：
$\frac{1}{2}×14(a+1)-\frac{1}{2}a^2-\frac{1}{2}×1×(14-a)=18$
整理得$a^2-15a+36=0$，因式分解得$(a-3)(a-12)=0$，
解得 $a_1=3,a_2=12$，均满足$0＜a＜14$，符合题意。

(2) 当$a＞14$时，作$PD⊥ x$轴于点$D$，
$\because P(14,1),A(a,0),B(0,a)$，
$\therefore PD=1,OD=14,OA=a,OB=a$，
根据割补法可得：
$S_{△ PAB}=S_{△ OAB}-S_{梯形OBPD}-S_{△ ADP}$
代入面积公式得：
$\frac{1}{2}a^2-\frac{1}{2}×14(a+1)-\frac{1}{2}×1×(a-14)=18$
整理得$a^2-15a-36=0$，由求根公式得$a=\frac{15±3\sqrt{41}}{2}$，
其中$a_2=\frac{15-3\sqrt{41}}{2}＜14$，不符合$a＞14$的条件，舍去，
$\therefore a=\frac{15+3\sqrt{41}}{2}$。

【答案】
(1) $a=3$或$a=12$

(2) $a=\frac{15+3\sqrt{41}}{2}$

【知识点】
割补法求面积，一元二次方程求解，坐标与图形性质
【点评】
本题体现了分类讨论的数学思想，解题核心是根据参数a的取值范围，正确梳理不规则三角形与周边规则图形的面积和差关系，求解方程后注意验证根是否符合对应取值范围，避免出现增根。
【难度系数】
0.6