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3. 一个底面为正方形且面积为$100\ \mathrm{cm}^2$的无盖纸盒，盒子底部随意铺放着一张面积是$25\ \mathrm{cm}^2$的正方形红纸片，并要求：
①把盒子放置在一个地方，使甲、乙都看不到盒子底的红纸片的位置；
②乙向盒子里均匀抛掷骰子，落点随机；
③如果骰子落在红纸片上，乙加1分，否则甲加1分；
④乙投20次骰子，丙观察骰子的落点，并记录甲、乙两人得分，得分高的人获胜。则：
(1)谁赢的可能性大？
(2)抛掷一次骰子落在红纸片上的可能性多大？
(3)这个游戏对甲、乙双方公平吗？说明你的理由。
①把盒子放置在一个地方，使甲、乙都看不到盒子底的红纸片的位置；
②乙向盒子里均匀抛掷骰子，落点随机；
③如果骰子落在红纸片上，乙加1分，否则甲加1分；
④乙投20次骰子，丙观察骰子的落点，并记录甲、乙两人得分，得分高的人获胜。则：
(1)谁赢的可能性大？
(2)抛掷一次骰子落在红纸片上的可能性多大？
(3)这个游戏对甲、乙双方公平吗？说明你的理由。
答案
(1)甲赢的可能性大
(2)掷一次骰子落在红纸片上的可能性大小为:$\frac{25}{100}$=25%
(3)这个游戏对甲、乙双方不公平,理由略
(2)掷一次骰子落在红纸片上的可能性大小为:$\frac{25}{100}$=25%
(3)这个游戏对甲、乙双方不公平,理由略
解析
【分析】
这是结合生活场景的概率应用类问题，解题思路可按以下步骤梳理：①首先明确均匀随机抛掷骰子时，骰子落在盒子底部某区域的概率等于该区域面积除以盒子底面的总面积；②分别计算甲、乙得分对应的概率，比较二者概率大小就能判断谁赢的可能性更高；③抛掷一次落在红纸片上的概率可直接通过红纸片面积与底面总面积的比值求解；④判断游戏是否公平的核心标准是双方获胜的概率是否相等，概率相等则公平，否则不公平。
【解析】
已知无盖纸盒底面正方形面积为$100\ \mathrm{cm}^2$，红纸片面积为$25\ \mathrm{cm}^2$，抛掷骰子落点随机均匀，因此骰子落在某区域的概率 = 该区域面积÷底面总面积。
(1) 乙得分的概率为$\frac{25}{100}=\frac{1}{4}$，甲得分的概率为$\frac{100-25}{100}=\frac{3}{4}$，$\frac{3}{4}＞\frac{1}{4}$，因此甲赢的可能性更大。
(2) 抛掷一次骰子落在红纸片上的概率为红纸片面积除以底面总面积，即$\frac{25}{100}=25\%$。
(3) 游戏公平的判断依据是双方获胜的概率相等，本题中甲、乙得分的概率不相等，因此游戏对双方不公平。
【答案】
(1) 甲赢的可能性大
(2) 掷一次骰子落在红纸片上的可能性大小为:$\frac{25}{100}$=25%
(3) 这个游戏对甲、乙双方不公平,理由略
【知识点】
几何概率计算、游戏公平性判断、随机事件概率
【点评】
本题结合游戏场景考查概率的基础应用，解题核心是掌握几何概率的计算方法，以及游戏公平的判断标准，题目贴近生活，侧重对基础概念的理解和应用。
【难度系数】
0.8
这是结合生活场景的概率应用类问题，解题思路可按以下步骤梳理：①首先明确均匀随机抛掷骰子时，骰子落在盒子底部某区域的概率等于该区域面积除以盒子底面的总面积；②分别计算甲、乙得分对应的概率，比较二者概率大小就能判断谁赢的可能性更高；③抛掷一次落在红纸片上的概率可直接通过红纸片面积与底面总面积的比值求解；④判断游戏是否公平的核心标准是双方获胜的概率是否相等，概率相等则公平，否则不公平。
【解析】
已知无盖纸盒底面正方形面积为$100\ \mathrm{cm}^2$，红纸片面积为$25\ \mathrm{cm}^2$，抛掷骰子落点随机均匀，因此骰子落在某区域的概率 = 该区域面积÷底面总面积。
(1) 乙得分的概率为$\frac{25}{100}=\frac{1}{4}$，甲得分的概率为$\frac{100-25}{100}=\frac{3}{4}$，$\frac{3}{4}＞\frac{1}{4}$，因此甲赢的可能性更大。
(2) 抛掷一次骰子落在红纸片上的概率为红纸片面积除以底面总面积，即$\frac{25}{100}=25\%$。
(3) 游戏公平的判断依据是双方获胜的概率相等，本题中甲、乙得分的概率不相等，因此游戏对双方不公平。
【答案】
(1) 甲赢的可能性大
(2) 掷一次骰子落在红纸片上的可能性大小为:$\frac{25}{100}$=25%
(3) 这个游戏对甲、乙双方不公平,理由略
【知识点】
几何概率计算、游戏公平性判断、随机事件概率
【点评】
本题结合游戏场景考查概率的基础应用，解题核心是掌握几何概率的计算方法，以及游戏公平的判断标准，题目贴近生活，侧重对基础概念的理解和应用。
【难度系数】
0.8
4. 在20张卡片上分别写1,2,3,…,20,然后把卡片放在一个不透明的布袋中搅匀,每次摸出一张卡片,记录下结果,然后放回袋中搅匀后再摸.
(1)把实验结果填入下面的表格中:
(2)根据上表中的数据绘制出折线统计图.
(3)由图表你能发现什么规律?
(4)通过实验,你能知道每次从袋中抽出一张卡片,出现5的倍数的机会是多少?
(1)把实验结果填入下面的表格中:
(2)根据上表中的数据绘制出折线统计图.
(3)由图表你能发现什么规律?
(4)通过实验,你能知道每次从袋中抽出一张卡片,出现5的倍数的机会是多少?
答案
(1)略
(2)略
(3)出现“5的倍数”的频率在实验次数较多以后逐渐稳定
(4)$\frac{1}{5}$
(2)略
(3)出现“5的倍数”的频率在实验次数较多以后逐渐稳定
(4)$\frac{1}{5}$
解析
【分析】
本题围绕重复摸卡片的试验展开，考查随机事件的频率与概率相关知识：①第(1)(2)问属于实操类问题，需要实际完成重复摸卡试验，统计对应试验次数下出现5的倍数的频数，再通过“频率=频数÷试验总次数”计算频率填入表格，最后以试验次数为横轴、频率为纵轴描点连线绘制折线图即可；②第(3)问观察折线图的变化趋势，结合频率的稳定性规律即可总结结论；③第(4)问可先找出1~20中5的倍数的个数，再根据古典概型概率公式“概率=符合条件的情况数÷总等可能情况数”计算，也可通过试验得到的稳定频率估计概率。
【解析】
(1) 实际进行摸卡试验：每次从袋中摸出1张卡片记录结果后放回搅匀，分别统计试验20次、40次……200次时出现5的倍数的次数（即频数），再用每一组的频数除以对应试验次数得到频率，将所得频数和频率依次填入表格即可，结果符合试验实际即可。
(2) 以表格中的试验次数为横坐标，对应出现5的倍数的频率为纵坐标，在坐标系中描出所有对应点，再顺次连接各点，即可得到对应的折线统计图。
(3) 观察绘制好的折线统计图可得：试验次数较少时，出现5的倍数的频率波动幅度较大，当试验次数逐渐增多后，出现“5的倍数”的频率会逐渐稳定在某一个固定数值附近波动。
(4) 首先1~20中，5的倍数有5、10、15、20，共4个，摸卡片时所有等可能的结果共20种，因此出现5的倍数的概率为$\frac{4}{20}=\frac{1}{5}$，大量重复试验下稳定的频率也可估计该机会为$\frac{1}{5}$。
【答案】
(1)略
(2)略
(3)出现“5的倍数”的频率在实验次数较多以后逐渐稳定
(4)$\frac{1}{5}$
【知识点】
频率与概率的关系；简单概率计算；折线统计图绘制
【点评】
本题将动手实操与理论知识结合，既考查了学生的实践操作能力，又加深了对“大量重复试验中频率逐渐稳定于概率”这一规律的理解，同时巩固了基础概率的计算方法，是联系频率与概率的典型基础题。
【难度系数】
0.8
本题围绕重复摸卡片的试验展开，考查随机事件的频率与概率相关知识：①第(1)(2)问属于实操类问题，需要实际完成重复摸卡试验，统计对应试验次数下出现5的倍数的频数，再通过“频率=频数÷试验总次数”计算频率填入表格，最后以试验次数为横轴、频率为纵轴描点连线绘制折线图即可；②第(3)问观察折线图的变化趋势，结合频率的稳定性规律即可总结结论；③第(4)问可先找出1~20中5的倍数的个数，再根据古典概型概率公式“概率=符合条件的情况数÷总等可能情况数”计算，也可通过试验得到的稳定频率估计概率。
【解析】
(1) 实际进行摸卡试验：每次从袋中摸出1张卡片记录结果后放回搅匀，分别统计试验20次、40次……200次时出现5的倍数的次数（即频数），再用每一组的频数除以对应试验次数得到频率，将所得频数和频率依次填入表格即可，结果符合试验实际即可。
(2) 以表格中的试验次数为横坐标，对应出现5的倍数的频率为纵坐标，在坐标系中描出所有对应点，再顺次连接各点，即可得到对应的折线统计图。
(3) 观察绘制好的折线统计图可得：试验次数较少时，出现5的倍数的频率波动幅度较大，当试验次数逐渐增多后，出现“5的倍数”的频率会逐渐稳定在某一个固定数值附近波动。
(4) 首先1~20中，5的倍数有5、10、15、20，共4个，摸卡片时所有等可能的结果共20种，因此出现5的倍数的概率为$\frac{4}{20}=\frac{1}{5}$，大量重复试验下稳定的频率也可估计该机会为$\frac{1}{5}$。
【答案】
(1)略
(2)略
(3)出现“5的倍数”的频率在实验次数较多以后逐渐稳定
(4)$\frac{1}{5}$
【知识点】
频率与概率的关系；简单概率计算；折线统计图绘制
【点评】
本题将动手实操与理论知识结合，既考查了学生的实践操作能力，又加深了对“大量重复试验中频率逐渐稳定于概率”这一规律的理解，同时巩固了基础概率的计算方法，是联系频率与概率的典型基础题。
【难度系数】
0.8
