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9. 下图中的几何体属于棱柱的个数是(
A.2
B.3
C.4
D.5
C
)。A.2
B.3
C.4
D.5
答案
9.C
解析
【分析】
解题时首先要明确棱柱的判定特征：有两个互相平行且全等的底面，其余各面均为四边形，且相邻四边形的公共边互相平行。接下来按照从左到右的顺序逐个判断每个几何体是否符合棱柱的特征，最后统计符合条件的个数即可得到答案。
【解析】
根据棱柱的定义，逐个判断几何体：
1. 第一个是正方体，符合棱柱特征，属于四棱柱；
2. 第二个是长方体，符合棱柱特征，属于四棱柱；
3. 第三个是球，不符合棱柱特征，不是棱柱；
4. 第四个是圆柱，侧面为曲面，不符合棱柱特征，不是棱柱；
5. 第五个是圆锥，只有1个底面且侧面为曲面，不符合棱柱特征，不是棱柱；
6. 第六个是四棱柱，符合棱柱特征，属于棱柱；
7. 第七个是三棱柱，符合棱柱特征，属于棱柱。
因此属于棱柱的共有4个。
【答案】
C
【知识点】
棱柱的判定；立体图形分类
【点评】
本题属于基础概念考查题，解题的核心是熟记棱柱的特征，注意区分棱柱与圆柱、圆锥等其他立体图形的差异，避免概念混淆出现判断错误。
【难度系数】
0.8
解题时首先要明确棱柱的判定特征：有两个互相平行且全等的底面，其余各面均为四边形，且相邻四边形的公共边互相平行。接下来按照从左到右的顺序逐个判断每个几何体是否符合棱柱的特征，最后统计符合条件的个数即可得到答案。
【解析】
根据棱柱的定义，逐个判断几何体：
1. 第一个是正方体，符合棱柱特征，属于四棱柱；
2. 第二个是长方体，符合棱柱特征，属于四棱柱；
3. 第三个是球，不符合棱柱特征，不是棱柱；
4. 第四个是圆柱，侧面为曲面，不符合棱柱特征，不是棱柱；
5. 第五个是圆锥，只有1个底面且侧面为曲面，不符合棱柱特征，不是棱柱；
6. 第六个是四棱柱，符合棱柱特征，属于棱柱；
7. 第七个是三棱柱，符合棱柱特征，属于棱柱。
因此属于棱柱的共有4个。
【答案】
C
【知识点】
棱柱的判定；立体图形分类
【点评】
本题属于基础概念考查题，解题的核心是熟记棱柱的特征，注意区分棱柱与圆柱、圆锥等其他立体图形的差异，避免概念混淆出现判断错误。
【难度系数】
0.8
10.【数学应用】如图所示的某种玩具是由两个正方体用胶水黏合而成的，它们的棱长分别为1 dm和2 dm，为了美观，现要在其表面喷涂油漆，已知喷涂1 dm²需用油漆5 g，那么喷涂这个玩具共需油漆
140 g
。答案
10.140 g
解析
【分析】
要计算喷涂这个玩具需要的油漆质量，首先需要求出玩具需要喷涂的总面积，思路如下：
1. 先回忆正方体表面积公式：棱长为a的正方体表面积=6a²，分别算出两个正方体的表面积；
2. 注意两个正方体粘合处是重叠的，重叠面积为小正方体的底面积，这部分的两个面都被遮挡，不需要喷涂，所以总喷涂面积等于两个正方体的表面积之和减去2倍的重叠面积；
3. 最后用总喷涂面积乘以每平方分米需要的油漆质量，即可得到总油漆量。
【解析】
解：首先计算两个正方体的表面积：
大正方体棱长为2 dm，表面积 $ S_1 = 6 × 2^2 = 6 × 4 = 24 \, \mathrm{dm}^2 $
小正方体棱长为1 dm，表面积 $ S_2 = 6 × 1^2 = 6 × 1 = 6 \, \mathrm{dm}^2 $
两个正方体粘合的重叠面积为 $ 1 × 1 = 1 \, \mathrm{dm}^2 $，粘合后共遮挡了2个重叠面，因此总喷涂面积：
$ S = S_1 + S_2 - 2 × 1 = 24 + 6 - 2 = 28 \, \mathrm{dm}^2 $
已知喷涂1 $ \mathrm{dm}^2 $ 需油漆5 g，总油漆质量为 $ 28 × 5 = 140 \, \mathrm{g} $
【答案】
140 g
【知识点】
正方体表面积计算；组合体表面积计算；有理数运算
【点评】
本题重点考查组合立体图形的表面积计算，解题的关键是明确粘合处重叠的两个面不需要计入喷涂面积，避免直接相加两个正方体表面积导致计算错误，需要结合立体图形的特征分析表面积的组成。
【难度系数】
0.7
要计算喷涂这个玩具需要的油漆质量，首先需要求出玩具需要喷涂的总面积，思路如下：
1. 先回忆正方体表面积公式：棱长为a的正方体表面积=6a²，分别算出两个正方体的表面积；
2. 注意两个正方体粘合处是重叠的，重叠面积为小正方体的底面积，这部分的两个面都被遮挡，不需要喷涂，所以总喷涂面积等于两个正方体的表面积之和减去2倍的重叠面积；
3. 最后用总喷涂面积乘以每平方分米需要的油漆质量，即可得到总油漆量。
【解析】
解：首先计算两个正方体的表面积：
大正方体棱长为2 dm，表面积 $ S_1 = 6 × 2^2 = 6 × 4 = 24 \, \mathrm{dm}^2 $
小正方体棱长为1 dm，表面积 $ S_2 = 6 × 1^2 = 6 × 1 = 6 \, \mathrm{dm}^2 $
两个正方体粘合的重叠面积为 $ 1 × 1 = 1 \, \mathrm{dm}^2 $，粘合后共遮挡了2个重叠面，因此总喷涂面积：
$ S = S_1 + S_2 - 2 × 1 = 24 + 6 - 2 = 28 \, \mathrm{dm}^2 $
已知喷涂1 $ \mathrm{dm}^2 $ 需油漆5 g，总油漆质量为 $ 28 × 5 = 140 \, \mathrm{g} $
【答案】
140 g
【知识点】
正方体表面积计算；组合体表面积计算；有理数运算
【点评】
本题重点考查组合立体图形的表面积计算，解题的关键是明确粘合处重叠的两个面不需要计入喷涂面积，避免直接相加两个正方体表面积导致计算错误，需要结合立体图形的特征分析表面积的组成。
【难度系数】
0.7
11.如图所示的直棱柱的底面边长都是3.5 cm，高是4 cm，解答下列问题：
(1)这是几棱柱？共有几个面？
(2)这个棱柱的侧面积是多少？
(1)这是几棱柱？共有几个面？
(2)这个棱柱的侧面积是多少？
答案
11.解:(1) 上底面是六边形,故是六棱柱,共有6+2=8(个)面。
(2)3.5×4×6=84(cm²)。
(2)3.5×4×6=84(cm²)。
解析
【分析】
（1）解决第一问时，首先观察棱柱的底面形状，数得底面是六边形，根据棱柱的命名规则：底面为n边形的棱柱是n棱柱，即可判断棱柱类型；再明确棱柱的面由n个侧面和2个底面构成，代入n=6即可求出总面数。
（2）解决第二问时，要知道直棱柱的所有侧面都是全等的长方形，长方形的长为底面边长、宽为棱柱的高，先计算1个侧面的面积，再乘侧面的总个数6，即可得到侧面积。
【解析】
(1) 观察可知该棱柱的上下底面均为六边形，因此这是六棱柱；
棱柱的面包括侧面和上下底面，六棱柱有6个侧面，加2个底面，总面数为$6+2=8$（个）。
(2) 直棱柱的每个侧面都是长为3.5cm、宽为4cm的长方形，
1个侧面的面积为：$3.5×4=14\ \mathrm{cm}^2$，
共有6个侧面，因此总侧面积为：$14×6=84\ \mathrm{cm}^2$。
【答案】
(1) 这是六棱柱，共有8个面；
(2) 这个棱柱的侧面积是$84\ \mathrm{cm}^2$。
【知识点】
棱柱的分类、直棱柱侧面积计算
【点评】
本题考查棱柱的基础概念和侧面积计算，属于基础题型，熟练掌握棱柱的相关性质是解题的关键。
【难度系数】
0.9
（1）解决第一问时，首先观察棱柱的底面形状，数得底面是六边形，根据棱柱的命名规则：底面为n边形的棱柱是n棱柱，即可判断棱柱类型；再明确棱柱的面由n个侧面和2个底面构成，代入n=6即可求出总面数。
（2）解决第二问时，要知道直棱柱的所有侧面都是全等的长方形，长方形的长为底面边长、宽为棱柱的高，先计算1个侧面的面积，再乘侧面的总个数6，即可得到侧面积。
【解析】
(1) 观察可知该棱柱的上下底面均为六边形，因此这是六棱柱；
棱柱的面包括侧面和上下底面，六棱柱有6个侧面，加2个底面，总面数为$6+2=8$（个）。
(2) 直棱柱的每个侧面都是长为3.5cm、宽为4cm的长方形，
1个侧面的面积为：$3.5×4=14\ \mathrm{cm}^2$，
共有6个侧面，因此总侧面积为：$14×6=84\ \mathrm{cm}^2$。
【答案】
(1) 这是六棱柱，共有8个面；
(2) 这个棱柱的侧面积是$84\ \mathrm{cm}^2$。
【知识点】
棱柱的分类、直棱柱侧面积计算
【点评】
本题考查棱柱的基础概念和侧面积计算，属于基础题型，熟练掌握棱柱的相关性质是解题的关键。
【难度系数】
0.9
12.【数学文化】18世纪瑞士数学家欧拉证明了简单多面体中顶点数(V)、面数(F)、棱数(E)之间存在的一个有趣的关系式，被称为欧拉公式。请你观察如图所示的几种简单多面体模型，解答下列问题：
正四面体 正六面体 正八面体 正十二面体
| 简单多面体 | 顶点数(V) | 面数(F) | 棱数(E) |
| --- | --- | --- | --- |
| 正四面体 | 4 | 4 |
| 正六面体 | 8
| 6 | 12 |
| 正八面体 |
| 正十二面体 | 20 | 12 | 30 |
(1)根据上面的多面体模型，完成表格；
(2)顶点数(V)、面数(F)、棱数(E)之间存在怎样的关系式？
正四面体 正六面体 正八面体 正十二面体
| 简单多面体 | 顶点数(V) | 面数(F) | 棱数(E) |
| --- | --- | --- | --- |
| 正四面体 | 4 | 4 |
6
|| 正六面体 | 8
| 6 | 12 || 正八面体 |
6
| 8 | 12 || 正十二面体 | 20 | 12 | 30 |
(1)根据上面的多面体模型，完成表格；
(2)顶点数(V)、面数(F)、棱数(E)之间存在怎样的关系式？
答案
12.(1)6 6
(2)V+F-E=2
(2)V+F-E=2
解析
【分析】
解决第(1)问时，第一个空求正四面体的棱数，可通过结构特征计算：正四面体的每个面都是三角形，共有4个面，每条棱是2个面共有的边，因此用总面边数除以2就能得到棱数；第二个空求正八面体的顶点数，既可以直接观察图形数出，也可以先探究三个量的关系后推导。解决第(2)问时，将表格中已知的三组V、F、E数值代入计算，就能归纳出三个量的通用等量关系。
【解析】
(1) 计算正四面体的棱数：正四面体有4个三角形面，每条棱被2个面共享，因此棱数$E=(4×3)÷2=6$；
计算正八面体的顶点数：先结合已知的正六面体、正十二面体量的关系推导规律，再代入正八面体的$F=8$、$E=12$，可得顶点数$V=12+2-8=6$；
因此表格两个空缺依次填6、6。
(2) 将四个多面体对应的V、F、E分别代入计算验证：
正四面体：$4+4-6=2$；
正六面体：$8+6-12=2$；
正八面体：$6+8-12=2$；
正十二面体：$20+12-30=2$；
综上可得顶点数(V)、面数(F)、棱数(E)的关系式为$V+F-E=2$。
【答案】
(1) 6；6
(2) $V+F-E=2$
【知识点】
简单多面体认识；欧拉公式
【点评】
本题结合数学文化背景，考查立体图形观察能力和归纳探究能力，通过计算、验证即可总结出三个量的关系，兼顾知识性与趣味性。
【难度系数】
0.8
解决第(1)问时，第一个空求正四面体的棱数，可通过结构特征计算：正四面体的每个面都是三角形，共有4个面，每条棱是2个面共有的边，因此用总面边数除以2就能得到棱数；第二个空求正八面体的顶点数，既可以直接观察图形数出，也可以先探究三个量的关系后推导。解决第(2)问时，将表格中已知的三组V、F、E数值代入计算，就能归纳出三个量的通用等量关系。
【解析】
(1) 计算正四面体的棱数：正四面体有4个三角形面，每条棱被2个面共享，因此棱数$E=(4×3)÷2=6$；
计算正八面体的顶点数：先结合已知的正六面体、正十二面体量的关系推导规律，再代入正八面体的$F=8$、$E=12$，可得顶点数$V=12+2-8=6$；
因此表格两个空缺依次填6、6。
(2) 将四个多面体对应的V、F、E分别代入计算验证：
正四面体：$4+4-6=2$；
正六面体：$8+6-12=2$；
正八面体：$6+8-12=2$；
正十二面体：$20+12-30=2$；
综上可得顶点数(V)、面数(F)、棱数(E)的关系式为$V+F-E=2$。
【答案】
(1) 6；6
(2) $V+F-E=2$
【知识点】
简单多面体认识；欧拉公式
【点评】
本题结合数学文化背景，考查立体图形观察能力和归纳探究能力，通过计算、验证即可总结出三个量的关系，兼顾知识性与趣味性。
【难度系数】
0.8
