3. 如图9,AB为$\odot O$的直径,AC平分$∠ DAB$交$\odot O$于点C,$DC⊥ AD$于D.
求证:DC是$\odot O$的切线.

3. 连接OC, $\because AC$平分$∠ DAB, \therefore ∠ DAC=∠ CAO. \because AO=OC, \therefore ∠ CAO=∠ ACO, \therefore ∠ DAC=∠ ACO, \therefore DA// CO. \because AD⊥ DC, \therefore CO⊥ DC, \therefore DC$为$\odot O$的切线.

【分析】
要证明DC是$\odot O$的切线，已知点C在$\odot O$上，根据切线的判定定理，只需证明DC垂直于过C点的半径OC即可。解题思路如下：第一步添加辅助线连接OC；第二步利用角平分线的性质得到$∠ DAC=∠ CAO$，再结合同圆半径相等可得$AO=OC$，由等腰三角形等边对等角推出$∠ CAO=∠ ACO$，等量代换得$∠ DAC=∠ ACO$，即可证明$DA// CO$；第三步结合已知$DC⊥ AD$，由平行线的性质可得$CO⊥ DC$，即可证得DC是$\odot O$的切线。
【解析】
证明：连接OC，
$\because$ AC平分$∠ DAB$，
$\therefore ∠ DAC=∠ CAO$，
$\because AO=OC$（同圆的半径相等），
$\therefore ∠ CAO=∠ ACO$，
$\therefore ∠ DAC=∠ ACO$，
$\therefore DA// CO$（内错角相等，两直线平行），
$\because AD⊥ DC$，
$\therefore CO⊥ DC$，
又$\because$ OC是$\odot O$的半径，
$\therefore DC$为$\odot O$的切线。
【答案】
连接OC, $\because AC$平分$∠ DAB, \therefore ∠ DAC=∠ CAO. \because AO=OC, \therefore ∠ CAO=∠ ACO, \therefore ∠ DAC=∠ ACO, \therefore DA// CO. \because AD⊥ DC, \therefore CO⊥ DC, \therefore DC$为$\odot O$的切线.
【知识点】
切线的判定、等腰三角形的性质、平行线的判定与性质
【点评】
本题是切线判定的基础题型，重点考查切线证明中“点在圆上时，连半径证垂直”的常用思路，同时结合了角平分线、等腰三角形、平行线的相关性质，需要熟练掌握切线判定的辅助线添加方法。
【难度系数】
0.8

一、选择题
1. 过$\odot O$外一点P，可以作()条$\odot O$的切线.

A.0
B.1
C.2
D.1或2

1. C

【分析】
拿到这道题首先要明确考点是过平面内一点作圆的切线的条数，解题的核心是先确定点与圆的位置关系，我们学过点和圆共有三种位置关系，不同位置对应不同的切线条数，只需将题干给出的“点P在圆外”这一条件对应到相应的切线条数规律即可得到答案。
【解析】
我们先梳理过平面内一点作圆的切线的数量规律：
1. 若点在圆内：过该点的任意直线都会与圆交于两点，无法作出切线，共0条；
2. 若点在圆上：过该点且垂直于过该点的半径的直线是唯一的切线，共1条；
3. 若点在圆外：可以向圆作2条切线，且两条切线的长度相等。
本题明确说明P是$\odot O$外一点，因此可以作2条$\odot O$的切线，故选C。
【答案】
C
【知识点】
1. 点与圆的位置关系
2. 圆的切线的概念
【点评】
本题属于基础概念考查题，主要考察不同位置的点作圆的切线条数的规律，熟记相关知识点即可快速作答。
【难度系数】
0.9

2. 如图1，AB、BC、CD、DA都是$\odot O$的切线，已知$AD=3$，$BC=6$，则四边形ABCD的周长为()

A.9
B.12
C.15
D.18

2. D

【分析】
解题时首先观察题目条件，四边形的四条边均为圆的切线，可判定该四边形是圆的外切四边形。结合已学的切线长定理：从圆外一点引圆的两条切线长度相等，可推导得出圆外切四边形的核心性质——两组对边之和相等，利用该性质先求出一组对边的和，再代入周长公式即可算出结果。
【解析】
∵AB、BC、CD、DA都是⊙O的切线，
∴四边形ABCD是⊙O的外切四边形，根据切线长定理可推得：圆外切四边形的两组对边之和相等，即$AB + CD = AD + BC$。
已知$AD=3$，$BC=6$，代入得$AB + CD = 3 + 6 = 9$。
因此四边形ABCD的周长为：
$C_{ABCD}=AB + BC + CD + DA=(AB + CD)+(AD + BC)=9 + 9 = 18$。
【答案】
D
【知识点】
切线长定理；圆外切四边形的性质；四边形周长计算
【点评】
本题是切线长定理的典型应用题型，解题的关键是熟记圆外切四边形对边和相等的性质，掌握该性质后可快速求解这类题型，降低计算量。
【难度系数】
0.8

3. 如图，PA、PB为$\odot O$的切线，切点分别为A、B，PO交AB于点C，PO的延长线交$\odot O$于点D。下列结论不一定成立的是()

A.$△ BPA$为等腰三角形
B.AB与PD相互垂直平分
C.点A、B都在以PO为直径的圆上
D.PC为$△ BPA$的边AB上的中线

3. B

【分析】
本题需结合圆的切线相关性质、等腰三角形性质、圆的判定等知识点，逐个分析每个选项的结论是否一定成立。首先回忆切线长定理、等腰三角形三线合一、直角圆周角的对应性质，依次排查选项即可。
【解析】
我们对四个选项逐一分析：
A选项：
∵PA、PB为$\odot O$的切线，根据切线长定理可得$PA=PB$，因此$△ BPA$为等腰三角形，该结论一定成立。
B选项：根据切线长定理可推出$PD⊥ AB$，且$PD$平分$AB$，但仅在特殊角度等限定条件下$AB$才会平分$PD$，一般情况$AB$不平分$PD$，因此“AB与PD相互垂直平分”不一定成立。
C选项：连接$OA$、$OB$，
∵PA、PB是$\odot O$的切线，
∴$OA⊥ PA$，$OB⊥ PB$，即$∠ OAP=∠ OBP=90°$，根据“90°圆周角所对的弦为直径”，可知点A、B都在以PO为直径的圆上，该结论一定成立。
D选项：由$PA=PB$，$PD⊥ AB$，结合等腰三角形三线合一的性质，可得$PC$是$△ BPA$边$AB$上的中线，该结论一定成立。
综上，不一定成立的是B选项。
【答案】
B
【知识点】
切线长定理；等腰三角形性质；圆的判定
【点评】
本题侧重考查圆的切线性质的综合应用，解题的关键是准确理解相关定理的适用条件，注意“相互垂直平分”需要同时满足双向平分的要求，避免判断时漏看条件。
【难度系数】
0.7

4. 如图3，从$\odot O$外一点$P$引$\odot O$的两条切线$PA$，$PB$，切点分别为$A$，$B$。如果$∠ APB=60°$，$PA=8$，那么弦$AB$的长是()

A.4
B.8
C.$4\sqrt{3}$
D.$8\sqrt{3}$

4. B

【分析】
解题时首先回忆切线长定理：从圆外一点引圆的两条切线，切线长相等，由此可得PA=PB，即△PAB为等腰三角形；再结合已知条件∠APB=60°，根据“有一个角为60°的等腰三角形是等边三角形”可判定△PAB是等边三角形，最后利用等边三角形三边相等的性质即可求出AB的长度。
【解析】
∵PA、PB是⊙O的两条切线，切点分别为A、B
∴根据切线长定理可得：PA = PB
又
∵∠APB = 60°
∴△PAB是等边三角形（有一个角是60°的等腰三角形为等边三角形）
∴AB = PA
∵PA = 8
∴AB = 8
故选：B
【答案】
B
【知识点】
切线长定理；等边三角形的判定与性质
【点评】
本题属于基础题型，解题的关键是熟练掌握切线长定理以及等边三角形的判定和性质，结合题干给出的角度条件即可快速得出结论。
【难度系数】
0.8

5. 一根钢管放在V形架内，图4是其截面图，O为钢管的圆心.若钢管的半径为25 cm，∠MPN=60°,则OP的长为()

A.50 cm
B.$25\sqrt{3}$ cm
C.$\frac{50\sqrt{3}}{3}$ cm
D.$50\sqrt{3}$ cm

5. A

【分析】
首先观察图形，V形架的两边PM、PN都是圆O的切线，解题思路如下：1. 依据切线长定理，圆外一点引圆的两条切线，该点与圆心的连线平分两条切线的夹角，可推出OP平分∠MPN，算出∠OPN的度数；2. 结合切线的性质，切线垂直于过切点的半径，可得含30°角的直角三角形；3. 利用“直角三角形中30°角所对的直角边等于斜边的一半”的性质，即可求出OP的长度。
【解析】
解：
∵PM、PN都是⊙O的切线，
∴OP平分∠MPN，且过切点的半径垂直于切线，
∴∠OPN = $\frac{1}{2}$∠MPN = $\frac{1}{2}$×60°=30°，
设PN与⊙O的切点为N，则ON⊥PN，ON=25cm，
在Rt△OPN中，∠ONP=90°，∠OPN=30°，
∴ON = $\frac{1}{2}$OP，
∴OP=2ON=2×25=50cm。
【答案】
A
【知识点】
切线长定理；切线的性质；含30°角的直角三角形的性质
【点评】
本题是圆的性质与特殊直角三角形结合的基础题型，解题的核心是熟练运用切线长定理得到角的度数，再构造直角三角形计算边长，属于圆章节的常考基础题。
【难度系数】
0.8