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1. 如果$x_1,x_2$是一元二次方程$ax^2 + bx + c = 0$的两个实数根，那么$ax^2 + bx + c =$
$a(x - x_1)(x - x_2)$
。答案
1. $a(x - x_1)(x - x_2)$
解析
【分析】
解题时可以从一元二次方程根的定义和因式分解法解方程的原理入手思考：首先，若$x_1、x_2$是方程$ax^2+bx+c=0$的两个实根，说明当$x$取$x_1$或$x_2$时，代数式$ax^2+bx+c$的值为0，因此$ax^2+bx+c$一定含有因式$(x - x_1)$和$(x - x_2)$；再结合原二次三项式的二次项系数为$a$，即可写出完整的分解形式。
【解析】
因为$x_1、x_2$是一元二次方程$ax^2+bx+c=0$的两个实数根，根据因式分解法解一元二次方程的逆逻辑，二次三项式$ax^2+bx+c$可以分解为二次项系数$a$乘以两个一次因式的乘积，两个一次因式分别为$(x-x_1)$和$(x-x_2)$，因此可得：
$ax^2 + bx + c = a(x - x_1)(x - x_2)$
【答案】
$a(x - x_1)(x - x_2)$
【知识点】
一元二次方程根的意义，二次三项式因式分解
【点评】
本题是基础概念类题目，核心考查一元二次方程的根与对应二次三项式因式分解形式的关联，熟悉因式分解法解方程的原理即可快速作答。
【难度系数】
0.9
解题时可以从一元二次方程根的定义和因式分解法解方程的原理入手思考：首先，若$x_1、x_2$是方程$ax^2+bx+c=0$的两个实根，说明当$x$取$x_1$或$x_2$时，代数式$ax^2+bx+c$的值为0，因此$ax^2+bx+c$一定含有因式$(x - x_1)$和$(x - x_2)$；再结合原二次三项式的二次项系数为$a$，即可写出完整的分解形式。
【解析】
因为$x_1、x_2$是一元二次方程$ax^2+bx+c=0$的两个实数根，根据因式分解法解一元二次方程的逆逻辑，二次三项式$ax^2+bx+c$可以分解为二次项系数$a$乘以两个一次因式的乘积，两个一次因式分别为$(x-x_1)$和$(x-x_2)$，因此可得：
$ax^2 + bx + c = a(x - x_1)(x - x_2)$
【答案】
$a(x - x_1)(x - x_2)$
【知识点】
一元二次方程根的意义，二次三项式因式分解
【点评】
本题是基础概念类题目，核心考查一元二次方程的根与对应二次三项式因式分解形式的关联，熟悉因式分解法解方程的原理即可快速作答。
【难度系数】
0.9
2. 如果一元二次方程$ax^2 + bx + c = 0$有两个实数根$x_1, x_2$，那么$x_1 + x_2 =$
$-\frac{b}{a}$
，$x_1x_2 =$ $\frac{c}{a}$
。答案
2. $-\frac{b}{a}$
2. $\frac{c}{a}$
2. $\frac{c}{a}$
解析
【分析】
解决本题首先回忆一元二次方程的求根公式，以及根与系数关系的推导逻辑：题目明确方程有两个实数根，说明判别式$\Delta=b^2-4ac≥0$，我们可以先写出两个实根的求根公式表达式，再分别计算两根之和与两根之积，化简后即可得到结论，也可以直接调用已经学过的韦达定理（根与系数的关系）直接作答。
【解析】
已知一元二次方程$ax^2+bx+c=0$有两个实数根$x_1,x_2$，则判别式$\Delta = b^2-4ac≥0$，由求根公式可得：
$x_1=\frac{-b+\sqrt{b^2-4ac}}{2a}$，$x_2=\frac{-b-\sqrt{b^2-4ac}}{2a}$
1. 计算两根之和：
$x_1+x_2=\frac{-b+\sqrt{b^2-4ac}}{2a}+\frac{-b-\sqrt{b^2-4ac}}{2a}=\frac{-2b}{2a}=-\frac{b}{a}$
2. 计算两根之积：
$x_1x_2=\frac{(-b+\sqrt{b^2-4ac})×(-b-\sqrt{b^2-4ac})}{(2a)^2}=\frac{b^2-(b^2-4ac)}{4a^2}=\frac{4ac}{4a^2}=\frac{c}{a}$
【答案】
$-\frac{b}{a}$；$\frac{c}{a}$
【知识点】
1. 一元二次方程根与系数的关系（韦达定理）
2. 一元二次方程求根公式
【点评】
本题是对一元二次方程核心基础结论的考查，属于基础识记类题型，既要熟练记住结论，也要掌握结论的推导过程，是后续解决一元二次方程相关求值、参数求解等问题的重要基础。
【难度系数】
0.9
解决本题首先回忆一元二次方程的求根公式，以及根与系数关系的推导逻辑：题目明确方程有两个实数根，说明判别式$\Delta=b^2-4ac≥0$，我们可以先写出两个实根的求根公式表达式，再分别计算两根之和与两根之积，化简后即可得到结论，也可以直接调用已经学过的韦达定理（根与系数的关系）直接作答。
【解析】
已知一元二次方程$ax^2+bx+c=0$有两个实数根$x_1,x_2$，则判别式$\Delta = b^2-4ac≥0$，由求根公式可得：
$x_1=\frac{-b+\sqrt{b^2-4ac}}{2a}$，$x_2=\frac{-b-\sqrt{b^2-4ac}}{2a}$
1. 计算两根之和：
$x_1+x_2=\frac{-b+\sqrt{b^2-4ac}}{2a}+\frac{-b-\sqrt{b^2-4ac}}{2a}=\frac{-2b}{2a}=-\frac{b}{a}$
2. 计算两根之积：
$x_1x_2=\frac{(-b+\sqrt{b^2-4ac})×(-b-\sqrt{b^2-4ac})}{(2a)^2}=\frac{b^2-(b^2-4ac)}{4a^2}=\frac{4ac}{4a^2}=\frac{c}{a}$
【答案】
$-\frac{b}{a}$；$\frac{c}{a}$
【知识点】
1. 一元二次方程根与系数的关系（韦达定理）
2. 一元二次方程求根公式
【点评】
本题是对一元二次方程核心基础结论的考查，属于基础识记类题型，既要熟练记住结论，也要掌握结论的推导过程，是后续解决一元二次方程相关求值、参数求解等问题的重要基础。
【难度系数】
0.9
1. 已知关于$x$的一元二次方程$x^2 -2x -3=0$的两个实数根为$x_1,x_2$,则$x_1 +x_2$的值是(
A.3
B.$-3$
C.2
D.$-2$
C
)。A.3
B.$-3$
C.2
D.$-2$
答案
1. C
解析
【分析】
本题要求一元二次方程两根之和，有两种解题思路：一是先解出方程的两个实数根，再相加得到结果；二是直接利用一元二次方程根与系数的关系（韦达定理）计算，后者更简便。解题时首先确定方程中二次项系数a、一次项系数b的值，再代入韦达定理的两根之和公式即可快速求解，也可通过解方程验证结果。
【解析】
方法1（韦达定理法）：
对于一元二次方程的一般形式$ax^2+bx+c=0$（$a≠0$），若两个实数根为$x_1、x_2$，则两根之和满足$x_1+x_2=-\frac{b}{a}$。
本题中方程$x^2-2x-3=0$对应$a=1$，$b=-2$，代入公式得：
$x_1+x_2=-\frac{-2}{1}=2$。
方法2（直接求根法）：
对方程$x^2-2x-3=0$因式分解得：$(x-3)(x+1)=0$，
解得$x_1=3$，$x_2=-1$，
则$x_1+x_2=3+(-1)=2$。
综上，答案选C。
【答案】
C
【知识点】
1. 韦达定理
2. 一元二次方程求解
【点评】
本题是基础题型，核心考查韦达定理的应用，无需算出具体根即可快速得到结果，也可通过直接解方程验证答案，掌握韦达定理能大幅提高此类题的解题效率。
【难度系数】
0.9
本题要求一元二次方程两根之和，有两种解题思路：一是先解出方程的两个实数根，再相加得到结果；二是直接利用一元二次方程根与系数的关系（韦达定理）计算，后者更简便。解题时首先确定方程中二次项系数a、一次项系数b的值，再代入韦达定理的两根之和公式即可快速求解，也可通过解方程验证结果。
【解析】
方法1（韦达定理法）：
对于一元二次方程的一般形式$ax^2+bx+c=0$（$a≠0$），若两个实数根为$x_1、x_2$，则两根之和满足$x_1+x_2=-\frac{b}{a}$。
本题中方程$x^2-2x-3=0$对应$a=1$，$b=-2$，代入公式得：
$x_1+x_2=-\frac{-2}{1}=2$。
方法2（直接求根法）：
对方程$x^2-2x-3=0$因式分解得：$(x-3)(x+1)=0$，
解得$x_1=3$，$x_2=-1$，
则$x_1+x_2=3+(-1)=2$。
综上，答案选C。
【答案】
C
【知识点】
1. 韦达定理
2. 一元二次方程求解
【点评】
本题是基础题型，核心考查韦达定理的应用，无需算出具体根即可快速得到结果，也可通过直接解方程验证答案，掌握韦达定理能大幅提高此类题的解题效率。
【难度系数】
0.9
2. 已知实数$x_1,x_2$满足$x_1+x_2=7$，$x_1x_2=12$，则以$x_1,x_2$为根的一元二次方程可以是(
A.$x^2 -7x +12=0$
B.$x^2 +7x +12=0$
C.$x^2 +7x -12=0$
D.$x^2 -7x -12=0$
A
)。A.$x^2 -7x +12=0$
B.$x^2 +7x +12=0$
C.$x^2 +7x -12=0$
D.$x^2 -7x -12=0$
答案
2. A
解析
【分析】
要解这道题，我们可以利用一元二次方程根与系数的关系（韦达定理）来推导方程。解题思路为：首先明确当一元二次方程的二次项系数取1时，方程的一次项系数是两根之和的相反数，常数项等于两根之积，我们直接代入题目给出的两根之和、两根之积的数值，就能得到对应的方程，再匹配选项即可。
【解析】
对于二次项系数为1的一元二次方程，若两根为$x_1$、$x_2$，根据根与系数的关系，方程的形式为：
$x^2 - (x_1+x_2)x + x_1x_2 = 0$
已知$x_1+x_2=7$，$x_1x_2=12$，将数值代入上式可得：
$x^2 -7x +12=0$，对应选项A。
【答案】
A
【知识点】
一元二次方程根与系数的关系（韦达定理）
【点评】
本题属于基础题，直接考查根与系数关系的应用，熟练掌握构造一元二次方程的公式即可快速解题。
【难度系数】
0.9
要解这道题，我们可以利用一元二次方程根与系数的关系（韦达定理）来推导方程。解题思路为：首先明确当一元二次方程的二次项系数取1时，方程的一次项系数是两根之和的相反数，常数项等于两根之积，我们直接代入题目给出的两根之和、两根之积的数值，就能得到对应的方程，再匹配选项即可。
【解析】
对于二次项系数为1的一元二次方程，若两根为$x_1$、$x_2$，根据根与系数的关系，方程的形式为：
$x^2 - (x_1+x_2)x + x_1x_2 = 0$
已知$x_1+x_2=7$，$x_1x_2=12$，将数值代入上式可得：
$x^2 -7x +12=0$，对应选项A。
【答案】
A
【知识点】
一元二次方程根与系数的关系（韦达定理）
【点评】
本题属于基础题，直接考查根与系数关系的应用，熟练掌握构造一元二次方程的公式即可快速解题。
【难度系数】
0.9
3. 已知关于$x$的一元二次方程$x^2 +5x -m=0$的一个根是$x=2$，则另一个根是(
A.$x=-7$
B.$x=7$
C.$x=3$
D.$x=-3$
A
)。A.$x=-7$
B.$x=7$
C.$x=3$
D.$x=-3$
答案
3. A
解析
【分析】
本题可通过两种思路求解：思路1：利用一元二次方程根与系数的关系（韦达定理），已知方程中二次项系数和一次项系数，可直接得到两根之和，结合已知的一个根快速求出另一个根，无需计算参数m，更简便；思路2：先将已知根代入原方程求出参数m的值，再解完整的一元二次方程得到另一个根。
【解析】
方法一（根与系数的关系法）：
设方程的另一个根为$x_1$，对于一元二次方程$ax^2+bx+c=0(a≠0)$，两根之和满足$x_1+x_2=-\frac{b}{a}$。
本题中方程为$x^2 +5x -m=0$，其中$a=1$，$b=5$，已知一个根是$x=2$，代入得：
$x_1 + 2 = -\frac{5}{1} = -5$
解得$x_1 = -5 -2 = -7$。
方法二（代入求参法）：
将$x=2$代入原方程$x^2 +5x -m=0$，得：
$2^2 +5×2 - m = 0$
计算得$4+10 -m=0$，解得$m=14$。
则原方程为$x^2 +5x -14=0$，因式分解得$(x+7)(x-2)=0$，解得方程的根为$x=2$和$x=-7$，故另一个根为$-7$。
【答案】
A
【知识点】
一元二次方程根与系数的关系；一元二次方程的根的定义
【点评】
本题属于基础题型，两种解题方法都属于一元二次方程的核心基础技能，其中利用根与系数的关系求解更快捷，是处理这类已知一根求另一根问题的首选方法。
【难度系数】
0.9
本题可通过两种思路求解：思路1：利用一元二次方程根与系数的关系（韦达定理），已知方程中二次项系数和一次项系数，可直接得到两根之和，结合已知的一个根快速求出另一个根，无需计算参数m，更简便；思路2：先将已知根代入原方程求出参数m的值，再解完整的一元二次方程得到另一个根。
【解析】
方法一（根与系数的关系法）：
设方程的另一个根为$x_1$，对于一元二次方程$ax^2+bx+c=0(a≠0)$，两根之和满足$x_1+x_2=-\frac{b}{a}$。
本题中方程为$x^2 +5x -m=0$，其中$a=1$，$b=5$，已知一个根是$x=2$，代入得：
$x_1 + 2 = -\frac{5}{1} = -5$
解得$x_1 = -5 -2 = -7$。
方法二（代入求参法）：
将$x=2$代入原方程$x^2 +5x -m=0$，得：
$2^2 +5×2 - m = 0$
计算得$4+10 -m=0$，解得$m=14$。
则原方程为$x^2 +5x -14=0$，因式分解得$(x+7)(x-2)=0$，解得方程的根为$x=2$和$x=-7$，故另一个根为$-7$。
【答案】
A
【知识点】
一元二次方程根与系数的关系；一元二次方程的根的定义
【点评】
本题属于基础题型，两种解题方法都属于一元二次方程的核心基础技能，其中利用根与系数的关系求解更快捷，是处理这类已知一根求另一根问题的首选方法。
【难度系数】
0.9
4. 如果关于 $ x $ 的一元二次方程 $ x^2 + \sqrt{2}x + a = 0 $ 的一个根是 $ x = 1 - \sqrt{2} $，那么另一个根是
x = -1
，$ a $ 的值为$\sqrt{2}-1$
。答案
4. x = -1，$\sqrt{2}-1$
解析
【分析】
本题已知一元二次方程的一个根，求另一个根及参数a的值，优先用一元二次方程根与系数的关系（韦达定理）求解，思路如下：1. 先明确给定方程的二次项系数、一次项系数、常数项；2. 设另一个根为$x_2$，根据“两根之和等于一次项系数除以二次项系数的相反数”列等式，即可求出另一个根；3. 再根据“两根之积等于常数项除以二次项系数”，代入两根的值就能求出a的值。也可先将已知根代入原方程求a，再解方程得另一个根，使用韦达定理计算更简便。
【解析】
设方程的另一个根为$x_2$，对于一元二次方程$x^2 + \sqrt{2}x + a = 0$，二次项系数为1，一次项系数为$\sqrt{2}$，常数项为$a$。
根据根与系数的关系：
1. 求另一个根：
两根之和满足$x_1 + x_2 = -\frac{\sqrt{2}}{1} = -\sqrt{2}$，已知$x_1=1-\sqrt{2}$，代入得：
$1-\sqrt{2} + x_2 = -\sqrt{2}$
解得$x_2 = -\sqrt{2} -1 +\sqrt{2} = -1$
2. 求a的值：
两根之积满足$x_1·x_2 = \frac{a}{1} = a$，代入$x_1$、$x_2$的值得：
$a=(1-\sqrt{2})×(-1)=\sqrt{2}-1$
【答案】
$x=-1$，$\sqrt{2}-1$
【知识点】
1. 一元二次方程根与系数的关系
2. 一元二次方程的解
【点评】
本题属于基础题型，考查一元二次方程相关性质的应用，既可以通过代入已知根求解，也可以利用韦达定理快速计算，熟练掌握根与系数的关系能大幅提升解题效率。
【难度系数】
0.8
本题已知一元二次方程的一个根，求另一个根及参数a的值，优先用一元二次方程根与系数的关系（韦达定理）求解，思路如下：1. 先明确给定方程的二次项系数、一次项系数、常数项；2. 设另一个根为$x_2$，根据“两根之和等于一次项系数除以二次项系数的相反数”列等式，即可求出另一个根；3. 再根据“两根之积等于常数项除以二次项系数”，代入两根的值就能求出a的值。也可先将已知根代入原方程求a，再解方程得另一个根，使用韦达定理计算更简便。
【解析】
设方程的另一个根为$x_2$，对于一元二次方程$x^2 + \sqrt{2}x + a = 0$，二次项系数为1，一次项系数为$\sqrt{2}$，常数项为$a$。
根据根与系数的关系：
1. 求另一个根：
两根之和满足$x_1 + x_2 = -\frac{\sqrt{2}}{1} = -\sqrt{2}$，已知$x_1=1-\sqrt{2}$，代入得：
$1-\sqrt{2} + x_2 = -\sqrt{2}$
解得$x_2 = -\sqrt{2} -1 +\sqrt{2} = -1$
2. 求a的值：
两根之积满足$x_1·x_2 = \frac{a}{1} = a$，代入$x_1$、$x_2$的值得：
$a=(1-\sqrt{2})×(-1)=\sqrt{2}-1$
【答案】
$x=-1$，$\sqrt{2}-1$
【知识点】
1. 一元二次方程根与系数的关系
2. 一元二次方程的解
【点评】
本题属于基础题型，考查一元二次方程相关性质的应用，既可以通过代入已知根求解，也可以利用韦达定理快速计算，熟练掌握根与系数的关系能大幅提升解题效率。
【难度系数】
0.8
5. 已知关于x的方程$x^2 - 3mx + 2(m - 1) = 0$的两个根为$x_1, x_2$，且$\frac{1}{x_1} + \frac{1}{x_2} = -\frac{3}{4}$，则$m =$
$\frac{1}{3}$
。答案
5. $\frac{1}{3}$
解析
【分析】
本题可通过以下思路求解：首先，观察已知条件是两根的倒数和，我们可以先对倒数和通分，将其变形为用两根之和、两根之积表示的形式；再结合一元二次方程根与系数的关系（韦达定理），写出两根和、两根积关于参数m的表达式，代入变形后的倒数和式子即可得到关于m的分式方程；最后求解分式方程，并验证所得m的值是否能让原方程有实数根、分式有意义即可。
【解析】
对于一元二次方程$x^2 - 3mx + 2(m - 1) = 0$，其中$a=1$，$b=-3m$，$c=2(m-1)$。
1. 根据韦达定理，两根满足：
$x_1 + x_2 = -\frac{b}{a}=3m$，$x_1x_2 = \frac{c}{a}=2(m-1)$
2. 对$\frac{1}{x_1}+\frac{1}{x_2}$通分变形：
$\frac{1}{x_1}+\frac{1}{x_2}=\frac{x_1+x_2}{x_1x_2}$
3. 代入已知条件$\frac{1}{x_1}+\frac{1}{x_2}=-\frac{3}{4}$，得：
$\frac{3m}{2(m-1)}=-\frac{3}{4}$
4. 解分式方程：
两边同乘$4(m-1)$（$m≠1$）得：$12m=-6(m-1)$
展开整理得：$12m=-6m+6$，即$18m=6$，解得$m=\frac{1}{3}$
5. 验证：
当$m=\frac{1}{3}$时，原方程判别式$\Delta=(-3m)^2-4×1×2(m-1)=9×(\frac{1}{3})^2 -8×(\frac{1}{3}-1)=1+\frac{16}{3}＞0$，方程有两个实数根，且分母$2(m-1)≠0$，符合题意。
【答案】
$\frac{1}{3}$
【知识点】
韦达定理、分式方程求解、根的判别式
【点评】
本题是一元二次方程根与系数关系的典型基础应用题，解题关键是将倒数和转化为两根和与积的形式，求解后注意验证参数的取值合理性，避免出现增根。
【难度系数】
0.7
本题可通过以下思路求解：首先，观察已知条件是两根的倒数和，我们可以先对倒数和通分，将其变形为用两根之和、两根之积表示的形式；再结合一元二次方程根与系数的关系（韦达定理），写出两根和、两根积关于参数m的表达式，代入变形后的倒数和式子即可得到关于m的分式方程；最后求解分式方程，并验证所得m的值是否能让原方程有实数根、分式有意义即可。
【解析】
对于一元二次方程$x^2 - 3mx + 2(m - 1) = 0$，其中$a=1$，$b=-3m$，$c=2(m-1)$。
1. 根据韦达定理，两根满足：
$x_1 + x_2 = -\frac{b}{a}=3m$，$x_1x_2 = \frac{c}{a}=2(m-1)$
2. 对$\frac{1}{x_1}+\frac{1}{x_2}$通分变形：
$\frac{1}{x_1}+\frac{1}{x_2}=\frac{x_1+x_2}{x_1x_2}$
3. 代入已知条件$\frac{1}{x_1}+\frac{1}{x_2}=-\frac{3}{4}$，得：
$\frac{3m}{2(m-1)}=-\frac{3}{4}$
4. 解分式方程：
两边同乘$4(m-1)$（$m≠1$）得：$12m=-6(m-1)$
展开整理得：$12m=-6m+6$，即$18m=6$，解得$m=\frac{1}{3}$
5. 验证：
当$m=\frac{1}{3}$时，原方程判别式$\Delta=(-3m)^2-4×1×2(m-1)=9×(\frac{1}{3})^2 -8×(\frac{1}{3}-1)=1+\frac{16}{3}＞0$，方程有两个实数根，且分母$2(m-1)≠0$，符合题意。
【答案】
$\frac{1}{3}$
【知识点】
韦达定理、分式方程求解、根的判别式
【点评】
本题是一元二次方程根与系数关系的典型基础应用题，解题关键是将倒数和转化为两根和与积的形式，求解后注意验证参数的取值合理性，避免出现增根。
【难度系数】
0.7
若一元二次方程$x^2 -4x +2=0$的两个根为$x_1,x_2$,则$x_1^2 -4x_1 +2x_1x_2$的值为
2
答案
6. 2
解析
【分析】
首先观察所求代数式的结构，前两项$x_1^2-4x_1$与原一元二次方程左边形式完全一致，由于$x_1$是方程的根，代入方程即可直接求出$x_1^2-4x_1$的值；剩余部分$2x_1x_2$可通过一元二次方程根与系数的关系（韦达定理）直接求出两根之积，最后将两部分结果相加即可，无需单独求解方程的根，简化计算过程。
【解析】
1. 利用一元二次方程根的定义求值：
因为$x_1$是方程$x^2-4x+2=0$的根，将$x_1$代入方程得：
$x_1^2 -4x_1 +2 = 0$，移项可得$x_1^2 -4x_1 = -2$。
2. 利用根与系数的关系求两根之积：
对于一元二次方程$ax^2+bx+c=0(a≠0)$，两根之积$x_1x_2=\frac{c}{a}$。
本题中$a=1$，$c=2$，因此$x_1x_2=\frac{2}{1}=2$，则$2x_1x_2=2×2=4$。
3. 代入代数式计算最终结果：
$x_1^2 -4x_1 +2x_1x_2 = -2 + 4 = 2$。
【答案】
2
【知识点】
一元二次方程根的定义，根与系数的关系
【点评】
本题属于基础的代数式求值类题目，核心是灵活运用根的定义和韦达定理简化计算，避免了解方程带来的复杂根式运算，是该模块常考的典型题型。
【难度系数】
0.75
首先观察所求代数式的结构，前两项$x_1^2-4x_1$与原一元二次方程左边形式完全一致，由于$x_1$是方程的根，代入方程即可直接求出$x_1^2-4x_1$的值；剩余部分$2x_1x_2$可通过一元二次方程根与系数的关系（韦达定理）直接求出两根之积，最后将两部分结果相加即可，无需单独求解方程的根，简化计算过程。
【解析】
1. 利用一元二次方程根的定义求值：
因为$x_1$是方程$x^2-4x+2=0$的根，将$x_1$代入方程得：
$x_1^2 -4x_1 +2 = 0$，移项可得$x_1^2 -4x_1 = -2$。
2. 利用根与系数的关系求两根之积：
对于一元二次方程$ax^2+bx+c=0(a≠0)$，两根之积$x_1x_2=\frac{c}{a}$。
本题中$a=1$，$c=2$，因此$x_1x_2=\frac{2}{1}=2$，则$2x_1x_2=2×2=4$。
3. 代入代数式计算最终结果：
$x_1^2 -4x_1 +2x_1x_2 = -2 + 4 = 2$。
【答案】
2
【知识点】
一元二次方程根的定义，根与系数的关系
【点评】
本题属于基础的代数式求值类题目，核心是灵活运用根的定义和韦达定理简化计算，避免了解方程带来的复杂根式运算，是该模块常考的典型题型。
【难度系数】
0.75
1. (2024·绥化中考)小影与小冬一起写作业，在解一道一元二次方程题时，小影在化简过程中写错了常数项，因而得到方程的两个根是6和1；小冬在化简过程中写错了一次项的系数，因而得到方程的两个根是-2和-5。则原来的方程可能是(
A.$x^2 +6x +5=0$
B.$x^2 -7x +10=0$
C.$x^2 -5x +2=0$
D.$x^2 -6x -10=0$
B
)。A.$x^2 +6x +5=0$
B.$x^2 -7x +10=0$
C.$x^2 -5x +2=0$
D.$x^2 -6x -10=0$
答案
1. B
解析
【分析】
本题可利用一元二次方程根与系数的关系（韦达定理）求解。首先明确两人的错误类型：小影仅写错常数项，说明她得到的两根之和是正确的，可据此求出原方程的一次项系数；小冬仅写错一次项系数，说明他得到的两根之积是正确的，可据此求出原方程的常数项，结合选项中二次项系数均为1，即可确定原方程。
【解析】
设原一元二次方程为$x^2+bx+c=0$，符合选项中二次项系数为1的形式。
1. 求一次项系数$b$：
小影仅写错常数项，因此她得到的两根对应的两根之和是正确的。根据韦达定理，对于方程$x^2+bx+c=0$，两根之和$x_1+x_2=-b$。
已知小影得到的两根为6和1，代入得：$6+1=7=-b$，解得$b=-7$。
2. 求常数项$c$：
小冬仅写错一次项系数，因此他得到的两根对应的两根之积是正确的。根据韦达定理，两根之积$x_1x_2=c$。
已知小冬得到的两根为-2和-5，代入得：$(-2)×(-5)=10=c$。
综上，原方程为$x^2-7x+10=0$。
【答案】
B
【知识点】
一元二次方程根与系数的关系
【点评】
本题解题核心是抓住不同错误下的不变量，借助韦达定理分别求出正确的一次项系数和常数项，无需解方程即可快速得到结果，是韦达定理的典型应用场景。
【难度系数】
0.7
本题可利用一元二次方程根与系数的关系（韦达定理）求解。首先明确两人的错误类型：小影仅写错常数项，说明她得到的两根之和是正确的，可据此求出原方程的一次项系数；小冬仅写错一次项系数，说明他得到的两根之积是正确的，可据此求出原方程的常数项，结合选项中二次项系数均为1，即可确定原方程。
【解析】
设原一元二次方程为$x^2+bx+c=0$，符合选项中二次项系数为1的形式。
1. 求一次项系数$b$：
小影仅写错常数项，因此她得到的两根对应的两根之和是正确的。根据韦达定理，对于方程$x^2+bx+c=0$，两根之和$x_1+x_2=-b$。
已知小影得到的两根为6和1，代入得：$6+1=7=-b$，解得$b=-7$。
2. 求常数项$c$：
小冬仅写错一次项系数，因此他得到的两根对应的两根之积是正确的。根据韦达定理，两根之积$x_1x_2=c$。
已知小冬得到的两根为-2和-5，代入得：$(-2)×(-5)=10=c$。
综上，原方程为$x^2-7x+10=0$。
【答案】
B
【知识点】
一元二次方程根与系数的关系
【点评】
本题解题核心是抓住不同错误下的不变量，借助韦达定理分别求出正确的一次项系数和常数项，无需解方程即可快速得到结果，是韦达定理的典型应用场景。
【难度系数】
0.7
