1.(分类讨论思想)已知$\triangle ABC$是等腰三角形.若$\angle A = 40^{\circ}$，则$\triangle ABC$的顶角度数为
$40^{\circ}$或$100^{\circ}$
.答案
1. $40^{\circ}$或$100^{\circ}$
解析
当$\angle A$为顶角时，顶角度数为$40^{\circ}$；
当$\angle A$为底角时，顶角度数为$180^{\circ}-2×40^{\circ}=100^{\circ}$。
故$\triangle ABC$的顶角度数为$40^{\circ}$或$100^{\circ}$。
当$\angle A$为底角时，顶角度数为$180^{\circ}-2×40^{\circ}=100^{\circ}$。
故$\triangle ABC$的顶角度数为$40^{\circ}$或$100^{\circ}$。
2. 如图，在$\triangle ABC$中，$\angle B = 40^{\circ}$，$\angle A = 80^{\circ}$，以点$A$为圆心，$AC$长为半径画弧，交射线$BA$于点$D$，连接$CD$，则$\angle BCD$的度数是
$10^{\circ}$或$100^{\circ}$
.答案
2. $10^{\circ}$或$100^{\circ}$
3.（2023·苏州）如图，在$\triangle ABC$中，$AB = AC$，$AD$为$\triangle ABC$的角平分线.以点$A$为圆心，$AD$长为半径画弧，与$AB$，$AC$分别交于点$E$，$F$，连接$DE$，$DF$.
（1）求证：$\triangle ADE \cong \triangle ADF$；
（2）若$\angle BAC = 80^{\circ}$，求$\angle BDE$的度数.
（1）求证：$\triangle ADE \cong \triangle ADF$；
（2）若$\angle BAC = 80^{\circ}$，求$\angle BDE$的度数.
答案
3. (1) $\because AD$是$\triangle ABC$的角平分线，$\therefore \angle EAD = \angle FAD$. 由作图，得$AE = AF$. 在$\triangle ADE$和$\triangle ADF$中，$\begin{cases} AE = AF, \\ \angle EAD = \angle FAD, \\ AD = AD, \end{cases}$ $\therefore \triangle ADE \cong \triangle ADF(SAS)$.
(2) $\because AD$为$\triangle ABC$的角平分线，$\angle BAC = 80^{\circ}$，$\therefore \angle EAD = \frac{1}{2}\angle BAC = 40^{\circ}$. 由作图，得$AE = AD$，$\therefore \angle AED = \angle ADE = \frac{1}{2}×(180^{\circ} - 40^{\circ}) = 70^{\circ}$. $\because AB = AC$，$AD$为$\triangle ABC$的角平分线，$\therefore AD \perp BC$，$\therefore \angle ADB = 90^{\circ}$，$\therefore \angle BDE = 90^{\circ} - \angle ADE = 20^{\circ}$.
(2) $\because AD$为$\triangle ABC$的角平分线，$\angle BAC = 80^{\circ}$，$\therefore \angle EAD = \frac{1}{2}\angle BAC = 40^{\circ}$. 由作图，得$AE = AD$，$\therefore \angle AED = \angle ADE = \frac{1}{2}×(180^{\circ} - 40^{\circ}) = 70^{\circ}$. $\because AB = AC$，$AD$为$\triangle ABC$的角平分线，$\therefore AD \perp BC$，$\therefore \angle ADB = 90^{\circ}$，$\therefore \angle BDE = 90^{\circ} - \angle ADE = 20^{\circ}$.
4. 如图，$D$为$\triangle ABC$内一点，$CD$平分$\angle ACB$，$BE \perp CD$，垂足为$D$，交$AC$于点$E$，$\angle A = \angle ABE$，若$AC = 10$，$BC = 6$，则$BD$的长为(
A.5
B.3
C.4
D.2
D
)A.5
B.3
C.4
D.2
答案
4. D
解析
证明：
∵CD平分∠ACB，
∴∠ECD=∠BCD．
∵BE⊥CD，
∴∠CDE=∠CDB=90°．
在△CDE和△CDB中，
$\left\{\begin{array}{l} ∠ECD=∠BCD,\\ CD=CD,\\ ∠CDE=∠CDB, \end{array}\right.$
∴△CDE≌△CDB(ASA)．
∴CE=BC=6，DE=BD．
∵AC=10，
∴AE=AC-CE=10-6=4．
∵∠A=∠ABE，
∴AE=BE．
∵BE=BD+DE=2BD，
∴AE=2BD．
∴BD=$\frac{1}{2}$AE=$\frac{1}{2}$×4=2．
答案：D
∵CD平分∠ACB，
∴∠ECD=∠BCD．
∵BE⊥CD，
∴∠CDE=∠CDB=90°．
在△CDE和△CDB中，
$\left\{\begin{array}{l} ∠ECD=∠BCD,\\ CD=CD,\\ ∠CDE=∠CDB, \end{array}\right.$
∴△CDE≌△CDB(ASA)．
∴CE=BC=6，DE=BD．
∵AC=10，
∴AE=AC-CE=10-6=4．
∵∠A=∠ABE，
∴AE=BE．
∵BE=BD+DE=2BD，
∴AE=2BD．
∴BD=$\frac{1}{2}$AE=$\frac{1}{2}$×4=2．
答案：D
5.(分类讨论思想)如图，$\angle AOB = 80^{\circ}$，$C$是边$OB$上的一个定点，点$P$在角的另一边$OA$上运动，当$\angle OCP$的度数为
$80^{\circ}$或$20^{\circ}$或$50^{\circ}$
时，$\triangle COP$是等腰三角形.答案
5. $80^{\circ}$或$20^{\circ}$或$50^{\circ}$
解析
当$\triangle COP$是等腰三角形时，分三种情况讨论：
1. 当$OC=OP$时，$\angle OCP=\angle OPC$，$\angle AOB=80^{\circ}$，则$\angle OCP=\frac{180^{\circ}-80^{\circ}}{2}=50^{\circ}$；
2. 当$OC=CP$时，$\angle COP=\angle CPO=80^{\circ}$，则$\angle OCP=180^{\circ}-80^{\circ}×2=20^{\circ}$；
3. 当$OP=CP$时，$\angle OCP=\angle AOB=80^{\circ}$。
综上，$\angle OCP$的度数为$80^{\circ}$或$20^{\circ}$或$50^{\circ}$。
1. 当$OC=OP$时，$\angle OCP=\angle OPC$，$\angle AOB=80^{\circ}$，则$\angle OCP=\frac{180^{\circ}-80^{\circ}}{2}=50^{\circ}$；
2. 当$OC=CP$时，$\angle COP=\angle CPO=80^{\circ}$，则$\angle OCP=180^{\circ}-80^{\circ}×2=20^{\circ}$；
3. 当$OP=CP$时，$\angle OCP=\angle AOB=80^{\circ}$。
综上，$\angle OCP$的度数为$80^{\circ}$或$20^{\circ}$或$50^{\circ}$。
6. 如图，在$\triangle ABC$中，$AD$平分$\angle BAC$，且$AD$为$BC$上的中线.求证：$\triangle ABC$为等腰三角形.
答案
6. 方法一: 如图①，延长$AD$到点$E$，使$DE = AD$，连接$CE$. $\because AD$为$BC$上的中线，$\therefore BD = CD$. 在$\triangle ABD$和$\triangle ECD$中，$\begin{cases} AD = ED, \\ \angle ADB = \angle EDC, \\ BD = CD, \end{cases}$ $\therefore \triangle ABD \cong \triangle ECD(SAS)$，$\therefore \angle BAD = \angle E$，$AB = EC$. 又$\because AD$平分$\angle BAC$，$\therefore \angle BAD = \angle CAD$，$\therefore \angle CAD = \angle E$，$\therefore AC = EC$，$\therefore AB = AC$，$\therefore \triangle ABC$为等腰三角形.
方法二: 如图②，过点$D$作$DE \perp AB$于点$E$，$DF \perp AC$于点$F$. $\because AD$平分$\angle BAC$，$DE \perp AB$，$DF \perp AC$，$\therefore DE = DF$，$\angle DEB = \angle DFC = 90^{\circ}$. $\because AD$为$BC$上的中线，$\therefore BD = CD$. 在$Rt\triangle DEB$和$Rt\triangle DFC$中，$\begin{cases} BD = CD, \\ DE = DF, \end{cases}$ $\therefore Rt\triangle DEB \cong Rt\triangle DFC(HL)$，$\therefore \angle B = \angle C$，$\therefore AB = AC$，$\therefore \triangle ABC$为等腰三角形.
