8. 如图，在△ABC和△EDF中，$ ∠B = ∠D = 90° $，点A，E，C，F在同一条直线上，$ AE = CF $，BC的延长线交DF于点M，$ ∠MCF = ∠F $.求证：$ BC = DF $.
]

8.
∵∠MCF = ∠F，∠MCF = ∠ACB，
∴∠ACB = ∠F.
∵AE = CF，
∴AE + EC = CF + EC，即AC = EF.在△ABC和△EDF中，$\begin{cases}∠B = ∠D,\\∠ACB = ∠F,\\AC = EF,\end{cases}(AAS)，$
∴BC = DF

9. （2023·营口改编）如图，点A，B，C，D在同一条直线上，点E，F分别在直线AB的两侧，且$ AE = BF $，$ AE// BF $，$ ∠ECD = ∠FDC $，连接CF，DE.
（1）求证：$ CE = DF $；
（2）若$ AB = 8 $，$ AC = 2 $，求CD的长.
]

9.
(1)
∵AE//BF，
∴∠A = ∠B.
∵∠ACE + ∠ECD = 180°，∠BDF + ∠FDC = 180°，∠ECD = ∠FDC，
∴∠ACE = ∠BDF.在△ACE和△BDF中，$\begin{cases}∠A = ∠B,\\∠ACE = ∠BDF,\\AE = BF,\end{cases}$
∴△ACE≌△BDF(AAS)，
∴CE = DF
(2)由
(1)知，△ACE≌△BDF，
∴AC = BD = 2.
∵AB = 8，
∴CD = AB - AC - BD = 4，
∴CD的长为4

10. 如图，点A，F，E，C在同一条直线上，$ AB// CD $，$ ∠ABE = ∠CDF $，$ AF + AE = AC $.
(1)① △ABE≌；
② △BCE≌；
③ △ABC≌.
(2)对(1)中的①②加以证明.
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10.
(1)①△CDF ②△DAF ③△CDA
(2)①
∵AB//CD，
∴∠BAE = ∠DCF.
∵AF + AE = AC，
∴AE = AC - AF = CF.在△ABE和△CDF中，$\begin{cases}∠ABE = ∠CDF,\\∠BAE = ∠DCF,\\AE = CF,\end{cases}$
∴△ABE≌△CDF(AAS) ②
∵△ABE≌△CDF，
∴∠AEB = ∠CFD，BE = DF，
∴∠BEC = ∠DFA.
∵AF + AE = AC，CE + AE = AC，
∴AF = CE.在△BCE和△DAF中，$\begin{cases}BE = DF,\\∠BEC = ∠DFA,\\CE = AF,\end{cases}$
∴△BCE≌△DAF(SAS)