15. 已知平面内有A、B、C三点.
(1)按下列要求画图:
①作射线AC,线段AB;
②延长CB到点D,使$DB = AB$,点E是BD的中点,点F是CD的中点.
(2)在(1)的条件下,若$BC = 7$,求EF的长.

1. 首先，根据线段中点的定义：
因为点$E$是$BD$的中点，所以$BE = DE=\frac{1}{2}BD$；因为点$F$是$CD$的中点，所以$CF = DF=\frac{1}{2}CD$。
又因为$CD=CB + BD$，$EF = DF-DE$。
把$DF=\frac{1}{2}CD$，$DE=\frac{1}{2}BD$代入$EF = DF - DE$中，可得$EF=\frac{1}{2}(CD - BD)$。
再把$CD=CB + BD$代入$EF=\frac{1}{2}(CD - BD)$，则$EF=\frac{1}{2}(CB + BD - BD)$。
2. 然后，化简式子：
对$EF=\frac{1}{2}(CB + BD - BD)$进行化简，$EF=\frac{1}{2}CB$。
3. 最后，代入$BC$的值：
已知$BC = 7$，将$CB = 7$代入$EF=\frac{1}{2}CB$，可得$EF=\frac{1}{2}×7=\frac{7}{2}$。
所以$EF$的长为$\frac{7}{2}$。

16. 如图,MP和NQ分别垂直平分AB和AC.
(1)若$\triangle APQ$的周长为12,求BC的长;
(2)若$\angle BAC = 105^{\circ}$,求$\angle PAQ$的度数.

16. (1)$BC=12$ (2)$∠PAQ=30^{\circ }$

17. 如图,在$\triangle ABC$中,$\angle ABC$的平分线交AC于点D,作$\angle BAG= \angle C$,$\angle ABF是\triangle ABC$的外角,$\angle ABF$的平分线交CA的延长线于点E.
(1)求证:$BD\perp BE$;
(2)若$\angle E = 20^{\circ}$,求$\angle AHB$的度数.

1. （1）证明：
因为$BD$平分$\angle ABC$，$BE$平分$\angle ABF$，所以$\angle ABD=\frac{1}{2}\angle ABC$，$\angle ABE = \frac{1}{2}\angle ABF$。
又因为$\angle ABC+\angle ABF = 180^{\circ}$（邻补角定义）。
所以$\angle DBE=\angle ABD+\angle ABE=\frac{1}{2}(\angle ABC + \angle ABF)$。
把$\angle ABC+\angle ABF = 180^{\circ}$代入上式，得$\angle DBE=\frac{1}{2}×180^{\circ}=90^{\circ}$。
所以$BD\perp BE$。
2. （2）
因为$\angle E = 20^{\circ}$，$\angle DBE = 90^{\circ}$，在$\triangle BDE$中，根据三角形内角和为$180^{\circ}$，可得$\angle BDE=180^{\circ}-\angle DBE-\angle E$。
即$\angle BDE=180^{\circ}-90^{\circ}-20^{\circ}=70^{\circ}$。
因为$\angle BAG=\angle C$，$\angle AHB=\angle BAG+\angle ABD$（三角形外角性质：三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角之和），$\angle BDE=\angle C+\angle CBD$（三角形外角性质），又$\angle ABD=\angle CBD$（$BD$是角平分线）。
所以$\angle AHB=\angle BDE$。
所以$\angle AHB = 70^{\circ}$。
综上，（1）证明如上；（2）$\angle AHB$的度数为$70^{\circ}$。