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1. 如图24.1.3-8，AB是⊙O的直径，$\overset{\frown}{BC} = \overset{\frown}{CD} = \overset{\frown}{DE}$，∠COD = 34°，则∠AEO的度数是(
A.51°
B.56°
C.68°
D.78°
A
)A.51°
B.56°
C.68°
D.78°
答案
1.A
解析
∵$\overset{\frown}{BC} = \overset{\frown}{CD} = \overset{\frown}{DE}$，∠COD=34°，
∴∠BOC=∠COD=∠DOE=34°，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠AOE=180°-∠BOC-∠COD-∠DOE=180°-34°×3=78°，
∵OA=OE，
∴∠AEO=∠OAE，
∴∠AEO=$\frac{1}{2}$(180°-∠AOE)=$\frac{1}{2}$×(180°-78°)=51°。
A
2. 如图24.1.3-9，CD是⊙O的弦，直径AB过CD的中点M，若∠BOC = 40°，则∠ABD =(
A.40°
B.60°
C.70°
D.80°
C
)A.40°
B.60°
C.70°
D.80°
答案
2.C
解析
∵AB是⊙O的直径，M是CD的中点，
∴AB⊥CD（垂径定理），
∵∠BOC=40°，OC=OB，
∴∠OBC=∠OCB=(180° - 40°)/2=70°，
∵AB⊥CD，
∴∠OMC=90°，
∵∠BOC=40°，
∴∠OCD=90° - 40°=50°，
∵OC=OD，
∴∠ODC=∠OCD=50°，
∴∠AOD=∠ODC + ∠OCD=100°（三角形外角性质），
∵AB是直径，
∴∠AOB=180°，
∴∠BOD=∠AOB - ∠AOD=180° - 100°=80°，
∵OB=OD，
∴∠OBD=∠ODB=(180° - 80°)/2=50°，
∵∠OBC=70°，∠OBD=50°，
∴∠ABD=∠OBC - ∠OBD=70° - 50°=20°（此步骤错误，正确解法如下）
正确解法：
∵AB是⊙O的直径，M是CD的中点，
∴AB⊥CD，
∵∠BOC=40°，
∴∠AOC=180° - 40°=140°，
∵OA=OC，
∴∠OAC=∠OCA=(180° - 140°)/2=20°，
∵AB⊥CD，
∴∠AMC=90°，
∴∠ACD=90° - ∠OAC=70°，
∵∠ABD=∠ACD（同弧所对的圆周角相等），
∴∠ABD=70°
C
3. 如图24.1.3-10所示，在半径为2的⊙O中，弦AB的长为$2\sqrt{2}$，则弦AB所对的圆心角∠AOB =
90°
.答案
3.$90^{\circ }$
解析
在⊙O中，OA=OB=2（半径），AB=2√2。
在△AOB中，OA²+OB²=2²+2²=8，AB²=(2√2)²=8。
因为OA²+OB²=AB²，所以△AOB是直角三角形，∠AOB=90°。
90°
在△AOB中，OA²+OB²=2²+2²=8，AB²=(2√2)²=8。
因为OA²+OB²=AB²，所以△AOB是直角三角形，∠AOB=90°。
90°
4. 如图24.1.3-11，AB是⊙O的直径，点D，C都是⊙O上的点，若BC = CD = DA = 3 cm，则四边形ABCD的周长为
15
cm.答案
4.15
5. 如图24.1.3-12，在⊙O中，弦AB = AC，AD是⊙O的直径，试判断弦BD与CD是否相等，并说明理由.
答案
5.解:$BD=CD$.理由如下:因为$AB=AC$,所以$\widehat{AB}=\widehat{AC}$.又因为$\widehat{ABD}=\widehat{ACD}$,所以$\widehat{BD}=\widehat{CD}$.所以$BD=CD$.
6. 如图24.1.3-13，已知OA，OB是⊙O的半径，C为$\overset{\frown}{AB}$的中点，M，N分别是OA，OB的中点，求证：MC = NC.
答案
6.证明:连接$OC$(图略).因为C为$\widehat{AB}$的中点,所以$\widehat{AC}=\widehat{BC}$.所以$\angle MOC=\angle NOC$.因为M,N分别是OA,OB的中点,所以$OM=\frac{1}{2}OA$,$ON=\frac{1}{2}OB$.因为$OA=OB$,所以$OM=ON$.又因为$OC=OC$,所以$\triangle OMC\cong \triangle ONC(SAS)$,所以$MC=NC$.
解析
证明：连接$OC$。
因为$C$为$\overset{\frown}{AB}$的中点，所以$\overset{\frown}{AC}=\overset{\frown}{BC}$，故$\angle MOC = \angle NOC$。
因为$M$，$N$分别是$OA$，$OB$的中点，所以$OM=\frac{1}{2}OA$，$ON=\frac{1}{2}OB$。
又因为$OA=OB$，所以$OM=ON$。
在$\triangle OMC$和$\triangle ONC$中，
$\begin{cases} OM=ON \\ \angle MOC=\angle NOC \\ OC=OC \end{cases}$
所以$\triangle OMC \cong \triangle ONC(SAS)$，因此$MC=NC$。
因为$C$为$\overset{\frown}{AB}$的中点，所以$\overset{\frown}{AC}=\overset{\frown}{BC}$，故$\angle MOC = \angle NOC$。
因为$M$，$N$分别是$OA$，$OB$的中点，所以$OM=\frac{1}{2}OA$，$ON=\frac{1}{2}OB$。
又因为$OA=OB$，所以$OM=ON$。
在$\triangle OMC$和$\triangle ONC$中，
$\begin{cases} OM=ON \\ \angle MOC=\angle NOC \\ OC=OC \end{cases}$
所以$\triangle OMC \cong \triangle ONC(SAS)$，因此$MC=NC$。
1. 在直径为20的⊙O中，$\overset{\frown}{AB}$所对的圆心角为60°，则弦AB的长和圆心到AB的距离分别为(
A.20，5
B.10，10
C.10，$5\sqrt{3}$
D.20，$10\sqrt{3}$
C
)A.20，5
B.10，10
C.10，$5\sqrt{3}$
D.20，$10\sqrt{3}$
答案
1.C
解析
连接OA、OB，过O作OC⊥AB于C。
∵OA=OB=10，∠AOB=60°，
∴△AOB是等边三角形，
∴AB=OA=10。
∵OC⊥AB，
∴AC=BC=5。
在Rt△AOC中，$OC=\sqrt{OA^2-AC^2}=\sqrt{10^2-5^2}=5\sqrt{3}$。
答案选C。
∵OA=OB=10，∠AOB=60°，
∴△AOB是等边三角形，
∴AB=OA=10。
∵OC⊥AB，
∴AC=BC=5。
在Rt△AOC中，$OC=\sqrt{OA^2-AC^2}=\sqrt{10^2-5^2}=5\sqrt{3}$。
答案选C。
2. 如图24.1.3-14所示，$\overset{\frown}{AB} = 2\overset{\frown}{CD}$，则下列结论正确的是(
A.AB = 2CD
B.AB ＜ 2CD
C.AB ＞ 2CD
D.AB与2CD的大小关系无法确定
B
)A.AB = 2CD
B.AB ＜ 2CD
C.AB ＞ 2CD
D.AB与2CD的大小关系无法确定
答案
2.B
解析
证明：在圆$O$上取$\overset{\frown}{AB}$的中点$E$，连接$AE$，$BE$。
$\because \overset{\frown}{AB}=2\overset{\frown}{CD}$，$E$为$\overset{\frown}{AB}$中点，
$\therefore \overset{\frown}{AE}=\overset{\frown}{BE}=\overset{\frown}{CD}$，
$\therefore AE=BE=CD$。
在$\triangle ABE$中，根据三角形两边之和大于第三边，
$\therefore AE + BE＞AB$，即$CD + CD＞AB$，
$\therefore 2CD＞AB$，即$AB＜2CD$。
结论：B
$\because \overset{\frown}{AB}=2\overset{\frown}{CD}$，$E$为$\overset{\frown}{AB}$中点，
$\therefore \overset{\frown}{AE}=\overset{\frown}{BE}=\overset{\frown}{CD}$，
$\therefore AE=BE=CD$。
在$\triangle ABE$中，根据三角形两边之和大于第三边，
$\therefore AE + BE＞AB$，即$CD + CD＞AB$，
$\therefore 2CD＞AB$，即$AB＜2CD$。
结论：B
3. 如图24.1.3-15，在⊙O中，点C是$\overset{\frown}{AB}$的中点，∠A = 50°，则∠BOC的度数为
40°
.答案
3.$40^{\circ }$
解析
在$\triangle OAB$中，$OA=OB$，所以$\angle B=\angle A=50^{\circ}$。
$\angle AOB=180^{\circ}-\angle A-\angle B=180^{\circ}-50^{\circ}-50^{\circ}=80^{\circ}$。
因为点$C$是$\overset{\frown}{AB}$的中点，所以$\overset{\frown}{AC}=\overset{\frown}{BC}$，故$\angle BOC=\frac{1}{2}\angle AOB=\frac{1}{2}×80^{\circ}=40^{\circ}$。
$40^{\circ}$
$\angle AOB=180^{\circ}-\angle A-\angle B=180^{\circ}-50^{\circ}-50^{\circ}=80^{\circ}$。
因为点$C$是$\overset{\frown}{AB}$的中点，所以$\overset{\frown}{AC}=\overset{\frown}{BC}$，故$\angle BOC=\frac{1}{2}\angle AOB=\frac{1}{2}×80^{\circ}=40^{\circ}$。
$40^{\circ}$
4. 如图24.1.3-16，AB，CD是⊙O的直径，AB//DE，AC = 3，则AE = 
3
.答案
4.3
解析
连接OE。
∵AB，CD是⊙O的直径，
∴OA=OC=OE=OD，∠AOC=∠BOD。
∵AB//DE，
∴∠BOD=∠ODE。
∵OD=OE，
∴∠ODE=∠OED，
∴∠BOD=∠OED，
∴OC//OE。
又
∵OA=OC，OE=OD=OA，
∴四边形OAEC是平行四边形，
∴AE=AC=3。
3
∵AB，CD是⊙O的直径，
∴OA=OC=OE=OD，∠AOC=∠BOD。
∵AB//DE，
∴∠BOD=∠ODE。
∵OD=OE，
∴∠ODE=∠OED，
∴∠BOD=∠OED，
∴OC//OE。
又
∵OA=OC，OE=OD=OA，
∴四边形OAEC是平行四边形，
∴AE=AC=3。
3
