5. 如图24.1.3-17，在⊙O中，弦AD = BC，求证：AB = CD.

5.证明:因为$AD=BC$,所以$\widehat{AD}=\widehat{BC}$,所以$\widehat{AD}+\widehat{BD}=\widehat{BC}+\widehat{BD}$,即$\widehat{AB}=\widehat{CD}$,所以$AB=CD$.

6. 如图24.1.3-18，已知OC是⊙O的半径，过OC的中点D作OC的垂线交⊙O于点A，B，以下结论：
①AD = BD；②AC = BC；③$\overset{\frown}{AC} = \overset{\frown}{BC}$；④∠AOC = ∠BOC；⑤∠OAB = 30°. 其中正确的是.(填序号)

6.①②③④⑤

证明：
∵D是OC中点，AB⊥OC，
∴OD=DC，AB垂直平分OC，
∴AD=BD（线段垂直平分线上的点到两端距离相等），①正确；
∵OA=OB=OC（半径相等），
∴△OAC≌△OBC（SSS），
∴AC=BC，∠AOC=∠BOC，②④正确；
∵∠AOC=∠BOC，
∴$\overset{\frown}{AC}=\overset{\frown}{BC}$（等圆心角对等弧），③正确；
设OD=DC=x，则OC=OA=2x，
在Rt△OAD中，sin∠OAD=$\frac{OD}{OA}=\frac{x}{2x}=\frac{1}{2}$，
∴∠OAD=30°，即∠OAB=30°，⑤正确.
综上，正确的是①②③④⑤.
①②③④⑤

7. 如图24.1.3-19所示，AB，CD是⊙O的两条直径，CE//AB，求证：$\overset{\frown}{BC} = \overset{\frown}{AE} = \overset{\frown}{AD}$.

7.证明:连接OE 因为$OC=OE$,所以$\angle C=\angle E$.因为$CE// AB$,所以$\angle C=\angle BOC$,$\angle E=\angle AOE$,所以$\angle BOC=\angle AOE$.又因为$\angle AOD=\angle BOC$,所以$\angle BOC=\angle AOE=\angle AOD$,所以$\widehat{BC}=\widehat{AE}=\widehat{AD}$.

证明：连接OE。
∵OC=OE，
∴∠C=∠E。
∵CE//AB，
∴∠C=∠BOC，∠E=∠AOE，
∴∠BOC=∠AOE。
∵∠AOD=∠BOC，
∴∠BOC=∠AOE=∠AOD，
∴$\overset{\frown}{BC}=\overset{\frown}{AE}=\overset{\frown}{AD}$。

8. 如图24.1.3-20所示，以▱ABCD的顶点A为圆心，AB为半径作圆，分别交AD，BC于点E，F，延长BA交⊙A于点G，判断$\overset{\frown}{EF}$和$\overset{\frown}{EG}$是否相等，并说明理由.

8.解:相等.理由如下:连接AF .因为A为圆心,所以$AB=AF$,所以$\angle ABF=\angle AFB$.因为四边形ABCD为平行四边形,所以$AD// BC$,所以$\angle AFB=\angle DAF$,$\angle GAD=\angle ABF$,所以$\angle DAF=\angle GAD$,所以$\widehat{EF}=\widehat{EG}$.

解:相等.理由如下:连接AF.
∵A为圆心,
∴AB=AF,
∴∠ABF=∠AFB.
∵四边形ABCD为平行四边形,
∴AD//BC,
∴∠AFB=∠DAF,∠GAD=∠ABF,
∴∠DAF=∠GAD,
∴$\overset{\frown}{EF}=\overset{\frown}{EG}$.

9. 如图24.1.3-21，∠AOB = 90°，C，D是$\overset{\frown}{AB}$的三等分点，AB分别交OC，OD于点E，F，求证：AE = BF = CD.

9.证明:连接AC,BD .因为C,D是$\widehat{AB}$的三等分点,所以$\widehat{AC}=\widehat{CD}=\widehat{BD}$.所以$AC=CD=BD$,$\angle AOC=\angle COD=$$\angle DOB=\frac{1}{3}\angle AOB=30^{\circ }$.因为$OA=OC$,所以$\angle OAC=\angle OCA=75^{\circ }$.又因为$OA=OB$,$\angle AOB=90^{\circ }$,所以$\angle OAB=\angle OBA=45^{\circ }$,所以$\angle AEC=\angle OAE+\angle AOE=45^{\circ }+30^{\circ }=75^{\circ }=\angle OCA$,所以$AE=AC$.同理可得$BF=BD$,所以$AE=BF=CD$.

证明：连接AC，BD。
∵C，D是$\overset{\frown}{AB}$的三等分点，∠AOB=90°，
∴$\widehat{AC}=\widehat{CD}=\widehat{BD}$，∠AOC=∠COD=∠DOB=30°，
∴AC=CD=BD。
∵OA=OC，
∴∠OAC=∠OCA=$\frac{180°-\angle AOC}{2}=\frac{180°-30°}{2}=75°$。
∵OA=OB，∠AOB=90°，
∴∠OAB=∠OBA=45°。
∵∠AEC=∠OAE+∠AOE=45°+30°=75°，
∴∠AEC=∠OCA，
∴AE=AC。
同理可得BF=BD，
∴AE=BF=CD。