9. 已知实数$a满足a^{2} + 4a + 1 = 0$,则$a - \frac{2}{a + 1} = $.

-3

由$a^2 + 4a + 1 = 0$得$a^2 = -4a - 1$。
化简$a - \frac{2}{a + 1}$：
$\begin{aligned}a - \frac{2}{a + 1}&=\frac{a(a + 1) - 2}{a + 1}\\&=\frac{a^2 + a - 2}{a + 1}\end{aligned}$
将$a^2 = -4a - 1$代入分子：
$\begin{aligned}a^2 + a - 2&=(-4a - 1) + a - 2\\&=-3a - 3\\&=-3(a + 1)\end{aligned}$
则原式$=\frac{-3(a + 1)}{a + 1}=-3$（$a \neq -1$，经检验$a=-1$不满足已知方程，故可约）。

10. 计算：
(1) $(x + 2) \cdot \frac{2x}{x^{2} - 4} - \frac{4}{x - 2}$；
(2) $(1 - \frac{1}{x - 1}) ÷ \frac{x^{2} - 4x + 4}{x^{2} - 1}$.

(1) 原式$=(x+2)\cdot \frac{2x}{(x+2)(x-2)}-\frac{4}{x-2}$
$=\frac{2x}{x-2}-\frac{4}{x-2}$
$=\frac{2x-4}{x-2}$
$=\frac{2(x-2)}{x-2}$
$=2$
(2) 原式$=\left(\frac{x-1}{x-1}-\frac{1}{x-1}\right)÷ \frac{(x-2)^2}{(x+1)(x-1)}$
$=\frac{x-2}{x-1}\cdot \frac{(x+1)(x-1)}{(x-2)^2}$
$=\frac{x+1}{x-2}$
(1) $2$；(2) $\frac{x+1}{x-2}$

11. 先化简,再求值：$(1 - \frac{1}{m + 1}) ÷ \frac{m}{m^{2} + 2m + 1}$,并从$-1$,$0$,$1$选一个合适的数代入求值.

化简结果为 $m + 1$，当 $m = 1$ 时，值为 $2$。

化简过程：
1. 计算括号内的减法：
$1 - \frac{1}{m + 1} = \frac{(m + 1) - 1}{m + 1} = \frac{m}{m + 1}$
2. 将除法转化为乘法（乘以除数的倒数）：
$\frac{m}{m + 1} ÷ \frac{m}{m^2 + 2m + 1} = \frac{m}{m + 1} × \frac{(m + 1)^2}{m}$
3. 约分：
分子分母中的 $m$ 和 $m + 1$ 约去，得 $m + 1$
代入求值：
分式有意义的条件：$m + 1 \neq 0$ 且 $m \neq 0$，即 $m \neq -1, 0$。
选择 $m = 1$ 代入化简结果：
原式 $= 1 + 1 = 2$

12. 已知$M = \frac{x + 2}{2}$,$N = \frac{4x}{x + 2}$.
(1) 当$x ＞ 0$时,判断$M - N与0$的关系,并说明理由；
(2) 设$y = \frac{16x}{M^{2}} + N^{2}$时,若$x$是正整数,求$y$的正整数值.

(1)
$M - N=\frac{x + 2}{2}-\frac{4x}{x + 2}$
$=\frac{(x + 2)^{2}-8x}{2(x + 2)}$
$=\frac{x^{2}+4x + 4-8x}{2(x + 2)}$
$=\frac{x^{2}-4x + 4}{2(x + 2)}$
$=\frac{(x - 2)^{2}}{2(x + 2)}$
因为$x\gt0$，所以$x + 2\gt0$，$(x - 2)^{2}\geqslant0$，且当$x = 2$时，$(x - 2)^{2}=0$，当$x\neq2$时，$(x - 2)^{2}\gt0$。
所以$M - N\geqslant0$，当且仅当$x = 2$时，$M - N = 0$。
(2)
已知$M=\frac{x + 2}{2}$，$N=\frac{4x}{x + 2}$，则$y=\frac{16x}{(\frac{x + 2}{2})^{2}}+(\frac{4x}{x + 2})^{2}$
$=\frac{64x}{(x + 2)^{2}}+\frac{16x^{2}}{(x + 2)^{2}}$
$=\frac{16x^{2}+64x}{(x + 2)^{2}}$
$=\frac{16x(x + 4)}{(x + 2)^{2}}$
当$x = 1$时，$y=\frac{16×1×(1 + 4)}{(1+2)^{2}}=\frac{80}{9}$（不是正整数）
当$x = 2$时，$y=\frac{16×2×(2 + 4)}{(2 + 2)^{2}}=\frac{192}{16}=12$
当$x = 4$时，$y=\frac{16×4×(4 + 4)}{(4 + 2)^{2}}=\frac{512}{36}=\frac{128}{9}$（不是正整数）
当$x = 6$时，$y=\frac{16×6×(6 + 4)}{(6 + 2)^{2}}=\frac{960}{64}=15$
所以$y$的正整数值为$12$或$15$。