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1.（安徽中考）如图29-4，$\odot O$是$△ ABC$的外接圆，$∠ BAC=60°$，若$\odot O$的半径$OC$为2，则弦$BC$的长为（
A.4
B.$2\sqrt{3}$
C.3
D.$\sqrt{3}$
图29-4
图29-5
B
）。A.4
B.$2\sqrt{3}$
C.3
D.$\sqrt{3}$
图29-4
图29-5
答案
1. B
解析
【分析】
要求弦BC的长，已知圆的半径，我们可以结合圆的性质求解：首先根据圆周角定理，同弧所对的圆心角是圆周角的2倍，由已知的∠BAC=60°可求出圆心角∠BOC的度数；此时△OBC是腰长为2的等腰三角形，要求底边BC，可过圆心作BC的垂线，利用垂径定理将问题转化为直角三角形的边长计算，最后结合勾股定理即可求出BC的长度。
【解析】
根据圆周角定理：同弧所对的圆心角是圆周角的2倍，可得$∠ BOC=2∠ BAC=2×60°=120°$。
$\because OB=OC=2$（都是$\odot O$的半径），$\therefore △ OBC$是等腰三角形。
过点$O$作$OD⊥ BC$于点$D$，根据垂径定理，$D$为$BC$的中点，即$BC=2CD$，且$OD$平分$∠ BOC$，$\therefore ∠ COD=\frac{1}{2}∠ BOC=60°$。
在$Rt△ COD$中，$∠ OCD=90°-60°=30°$，$\therefore OD=\frac{1}{2}OC=1$。
由勾股定理得：$CD=\sqrt{OC^2-OD^2}=\sqrt{2^2-1^2}=\sqrt{3}$。
$\therefore BC=2CD=2\sqrt{3}$。
【答案】
B
【知识点】
圆周角定理，垂径定理，勾股定理
【点评】
本题是圆的性质的基础应用考题，解题关键是将弦长计算转化为直角三角形的边长求解，熟练掌握圆的基本性质就能快速作答。
【难度系数】
0.8
要求弦BC的长，已知圆的半径，我们可以结合圆的性质求解：首先根据圆周角定理，同弧所对的圆心角是圆周角的2倍，由已知的∠BAC=60°可求出圆心角∠BOC的度数；此时△OBC是腰长为2的等腰三角形，要求底边BC，可过圆心作BC的垂线，利用垂径定理将问题转化为直角三角形的边长计算，最后结合勾股定理即可求出BC的长度。
【解析】
根据圆周角定理：同弧所对的圆心角是圆周角的2倍，可得$∠ BOC=2∠ BAC=2×60°=120°$。
$\because OB=OC=2$（都是$\odot O$的半径），$\therefore △ OBC$是等腰三角形。
过点$O$作$OD⊥ BC$于点$D$，根据垂径定理，$D$为$BC$的中点，即$BC=2CD$，且$OD$平分$∠ BOC$，$\therefore ∠ COD=\frac{1}{2}∠ BOC=60°$。
在$Rt△ COD$中，$∠ OCD=90°-60°=30°$，$\therefore OD=\frac{1}{2}OC=1$。
由勾股定理得：$CD=\sqrt{OC^2-OD^2}=\sqrt{2^2-1^2}=\sqrt{3}$。
$\therefore BC=2CD=2\sqrt{3}$。
【答案】
B
【知识点】
圆周角定理，垂径定理，勾股定理
【点评】
本题是圆的性质的基础应用考题，解题关键是将弦长计算转化为直角三角形的边长求解，熟练掌握圆的基本性质就能快速作答。
【难度系数】
0.8
2. 在$\odot O$中，直径$AB=15$，弦$DE⊥ AB$，垂足为$C$，若$OC:OB=3:5$，则$DE$的长为（
A.6
B.9
C.12
D.15
C
）.A.6
B.9
C.12
D.15
答案
2. C
解析
【分析】
解题时先利用直径与半径的关系求出圆的半径，再结合已知的线段比例求出OC的长度；接着连接半径OD，构造直角三角形OCD，利用勾股定理求出半弦长CD，最后根据垂径定理即可求出弦DE的总长度。
【解析】
解：
∵AB是$\odot O$的直径，AB=15
∴OB=OD=$\frac{1}{2}$AB=7.5
∵OC:OB=3:5
∴OC=$\frac{3}{5}$OB=$\frac{3}{5}$×7.5=4.5
∵DE⊥AB，AB是$\odot O$的直径
根据垂径定理可得：DC=CE，即DE=2CD
在Rt△OCD中，由勾股定理得：
CD=$\sqrt{OD^2 - OC^2}$=$\sqrt{7.5^2 - 4.5^2}$=$\sqrt{56.25 - 20.25}$=$\sqrt{36}$=6
∴DE=2CD=2×6=12
【答案】
C
【知识点】
垂径定理，勾股定理，圆的基本性质
【点评】
本题是圆中弦长计算的典型题型，核心是通过连接半径构造直角三角形，将圆的性质与直角三角形的计算结合起来，解题时要注意垂径定理中“垂直于弦的直径平分弦”的应用，避免忘记半弦长要乘以2得到总弦长。
【难度系数】
0.8
解题时先利用直径与半径的关系求出圆的半径，再结合已知的线段比例求出OC的长度；接着连接半径OD，构造直角三角形OCD，利用勾股定理求出半弦长CD，最后根据垂径定理即可求出弦DE的总长度。
【解析】
解：
∵AB是$\odot O$的直径，AB=15
∴OB=OD=$\frac{1}{2}$AB=7.5
∵OC:OB=3:5
∴OC=$\frac{3}{5}$OB=$\frac{3}{5}$×7.5=4.5
∵DE⊥AB，AB是$\odot O$的直径
根据垂径定理可得：DC=CE，即DE=2CD
在Rt△OCD中，由勾股定理得：
CD=$\sqrt{OD^2 - OC^2}$=$\sqrt{7.5^2 - 4.5^2}$=$\sqrt{56.25 - 20.25}$=$\sqrt{36}$=6
∴DE=2CD=2×6=12
【答案】
C
【知识点】
垂径定理，勾股定理，圆的基本性质
【点评】
本题是圆中弦长计算的典型题型，核心是通过连接半径构造直角三角形，将圆的性质与直角三角形的计算结合起来，解题时要注意垂径定理中“垂直于弦的直径平分弦”的应用，避免忘记半弦长要乘以2得到总弦长。
【难度系数】
0.8
3. 如图29-5，AB是$\odot O$的直径，C，D是$\odot O$上位于AB异侧的两点. 下列四个角中，一定与$∠ ACD$互余的角是（
A.$∠ ADC$
B.$∠ ABD$
C.$∠ BAC$
D.$∠ BAD$
D
）.A.$∠ ADC$
B.$∠ ABD$
C.$∠ BAC$
D.$∠ BAD$
答案
3. D
解析
【分析】
解题时首先抓住“AB是⊙O的直径”这一关键条件，联想到直径所对的圆周角为直角，可得到含90°角的直角三角形，直角三角形的两个锐角互余；再结合同弧所对的圆周角相等，找到与∠ACD相等的角，通过角度代换即可确定和∠ACD互余的角。
【解析】
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ADB=90°（直径所对的圆周角是直角），
∴在Rt△ABD中，∠BAD + ∠ABD = 90°（直角三角形的两个锐角互余）。
又
∵∠ACD和∠ABD都是弧AD所对的圆周角，
∴∠ACD = ∠ABD（同弧所对的圆周角相等），
∴∠BAD + ∠ACD = 90°，即∠BAD与∠ACD互余。
故选D。
【答案】
D
【知识点】
直径所对圆周角的性质；同弧所对圆周角相等；互余的定义
【点评】
本题是圆中角度计算的基础题型，解题核心是熟练运用圆周角的相关性质进行角度转化，通过“直径得直角”“同弧得等角”两个关键步骤就能快速推导得出结论。
【难度系数】
0.7
解题时首先抓住“AB是⊙O的直径”这一关键条件，联想到直径所对的圆周角为直角，可得到含90°角的直角三角形，直角三角形的两个锐角互余；再结合同弧所对的圆周角相等，找到与∠ACD相等的角，通过角度代换即可确定和∠ACD互余的角。
【解析】
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ADB=90°（直径所对的圆周角是直角），
∴在Rt△ABD中，∠BAD + ∠ABD = 90°（直角三角形的两个锐角互余）。
又
∵∠ACD和∠ABD都是弧AD所对的圆周角，
∴∠ACD = ∠ABD（同弧所对的圆周角相等），
∴∠BAD + ∠ACD = 90°，即∠BAD与∠ACD互余。
故选D。
【答案】
D
【知识点】
直径所对圆周角的性质；同弧所对圆周角相等；互余的定义
【点评】
本题是圆中角度计算的基础题型，解题核心是熟练运用圆周角的相关性质进行角度转化，通过“直径得直角”“同弧得等角”两个关键步骤就能快速推导得出结论。
【难度系数】
0.7
4.（浙江模拟）把一张圆形纸片按图29-6所示的方式折叠两次后展开，图中的虚线表示折痕，则$\overset{\frown}{BC}$所对圆心角的度数是（
A.$120°$
B.$135°$
C.$150°$
D.$165°$
图29-6
图29-7
图29-8
C
）。A.$120°$
B.$135°$
C.$150°$
D.$165°$
图29-6
图29-7
图29-8
答案
4. C
解析
【分析】
解题时先结合折叠的性质推导圆心到折痕的距离和半径的关系，再作辅助线构造直角三角形，利用直角三角形的性质和平行线的性质求出相关小圆心角的度数，最后相加得到$\overset{\frown}{BC}$对应的圆心角即可。
【解析】
设$\odot O$的半径为$r$，过点$O$作$OE⊥ AB$于点$E$，连接$OA$、$OB$。
由折叠的性质可得：$OE=\frac{1}{2}r=\frac{1}{2}OA$。
在$\mathrm{Rt}△ OAE$中，$OE=\frac{1}{2}OA$，因此$∠ OAE=30°$。
因为折痕$AB$和直径$CD$平行，根据平行线内错角相等，可得$∠ AOC=∠ OAE=30°$，同理可得$∠ BOD=30°$。
直径$CD$对应的平角为$180°$，因此$∠ AOB=180°-∠ AOC-∠ BOD=180°-30°-30°=120°$。
$\overset{\frown}{BC}$所对的圆心角$∠ BOC=∠ AOB+∠ AOC=120°+30°=150°$。
【答案】
C
【知识点】
折叠的性质，圆心角计算，直角三角形性质
【点评】
本题结合折叠操作考查圆的基础性质，需要将折叠的等量关系和圆的半径相等的特点结合，再通过直角三角形、平行线的性质求解角度，解题关键是挖掘折叠后隐藏的边长关系。
【难度系数】
0.65
解题时先结合折叠的性质推导圆心到折痕的距离和半径的关系，再作辅助线构造直角三角形，利用直角三角形的性质和平行线的性质求出相关小圆心角的度数，最后相加得到$\overset{\frown}{BC}$对应的圆心角即可。
【解析】
设$\odot O$的半径为$r$，过点$O$作$OE⊥ AB$于点$E$，连接$OA$、$OB$。
由折叠的性质可得：$OE=\frac{1}{2}r=\frac{1}{2}OA$。
在$\mathrm{Rt}△ OAE$中，$OE=\frac{1}{2}OA$，因此$∠ OAE=30°$。
因为折痕$AB$和直径$CD$平行，根据平行线内错角相等，可得$∠ AOC=∠ OAE=30°$，同理可得$∠ BOD=30°$。
直径$CD$对应的平角为$180°$，因此$∠ AOB=180°-∠ AOC-∠ BOD=180°-30°-30°=120°$。
$\overset{\frown}{BC}$所对的圆心角$∠ BOC=∠ AOB+∠ AOC=120°+30°=150°$。
【答案】
C
【知识点】
折叠的性质，圆心角计算，直角三角形性质
【点评】
本题结合折叠操作考查圆的基础性质，需要将折叠的等量关系和圆的半径相等的特点结合，再通过直角三角形、平行线的性质求解角度，解题关键是挖掘折叠后隐藏的边长关系。
【难度系数】
0.65
5. 如图29-7，四边形ABCD内接于$\odot O$，$∠ ABC=60°$，$∠ ACD=42°$. 若$\odot O$的半径为6，则$\overset{\frown}{DC}$的长是（
A.$\frac{13}{3}π$
B.$\frac{3}{5}π$
C.$\frac{6}{5}π$
D.$2π$
C
）.A.$\frac{13}{3}π$
B.$\frac{3}{5}π$
C.$\frac{6}{5}π$
D.$2π$
答案
5. C
解析
【分析】
要求$\overset{\frown}{DC}$的长，需先回忆弧长公式$l=\frac{nπ r}{180}$（$n$为弧所对圆心角度数，$r$为圆半径），已知半径$r=6$，因此核心是求$\overset{\frown}{DC}$对应的圆心角：①先利用圆内接四边形对角互补求出$∠ ADC$的度数；②在$△ ACD$中用三角形内角和求$\overset{\frown}{DC}$所对的圆周角$∠ DAC$；③根据圆周角定理将圆周角转化为圆心角，最后代入公式计算即可。
【解析】
1. 由圆内接四边形对角互补的性质可得：
$∠ ADC+∠ ABC=180°$
已知$∠ ABC=60°$，因此$∠ ADC=180°-60°=120°$
2. 在$△ ACD$中，三角形内角和为$180°$，代入已知角度：
$∠ DAC=180°-∠ ADC-∠ ACD=180°-120°-42°=18°$
3. $∠ DAC$是$\overset{\frown}{DC}$所对的圆周角，根据圆周角定理，同弧所对圆心角是圆周角的2倍，因此$\overset{\frown}{DC}$对应的圆心角$n=2×18°=36°$
4. 代入弧长公式计算：
$\overset{\frown}{DC}$的长$=\frac{36×π×6}{180}=\frac{6}{5}π$
【答案】
C
【知识点】
弧长计算；圆周角定理；圆内接四边形的性质
【点评】
本题是圆的基础综合题，将圆的性质与三角形内角和、弧长计算结合考查，解题的关键是找准弧对应的圆周角，完成圆周角到圆心角的转化，是对基础知识点应用能力的常规考查。
【难度系数】
0.6
要求$\overset{\frown}{DC}$的长，需先回忆弧长公式$l=\frac{nπ r}{180}$（$n$为弧所对圆心角度数，$r$为圆半径），已知半径$r=6$，因此核心是求$\overset{\frown}{DC}$对应的圆心角：①先利用圆内接四边形对角互补求出$∠ ADC$的度数；②在$△ ACD$中用三角形内角和求$\overset{\frown}{DC}$所对的圆周角$∠ DAC$；③根据圆周角定理将圆周角转化为圆心角，最后代入公式计算即可。
【解析】
1. 由圆内接四边形对角互补的性质可得：
$∠ ADC+∠ ABC=180°$
已知$∠ ABC=60°$，因此$∠ ADC=180°-60°=120°$
2. 在$△ ACD$中，三角形内角和为$180°$，代入已知角度：
$∠ DAC=180°-∠ ADC-∠ ACD=180°-120°-42°=18°$
3. $∠ DAC$是$\overset{\frown}{DC}$所对的圆周角，根据圆周角定理，同弧所对圆心角是圆周角的2倍，因此$\overset{\frown}{DC}$对应的圆心角$n=2×18°=36°$
4. 代入弧长公式计算：
$\overset{\frown}{DC}$的长$=\frac{36×π×6}{180}=\frac{6}{5}π$
【答案】
C
【知识点】
弧长计算；圆周角定理；圆内接四边形的性质
【点评】
本题是圆的基础综合题，将圆的性质与三角形内角和、弧长计算结合考查，解题的关键是找准弧对应的圆周角，完成圆周角到圆心角的转化，是对基础知识点应用能力的常规考查。
【难度系数】
0.6
6. 若圆锥的底面圆半径为6 cm，母线长为8 cm，则圆锥的侧面积是（
A.$30π \ \mathrm{cm}^2$
B.$48π \ \mathrm{cm}^2$
C.$60π \ \mathrm{cm}^2$
D.$80π \ \mathrm{cm}^2$
B
）。A.$30π \ \mathrm{cm}^2$
B.$48π \ \mathrm{cm}^2$
C.$60π \ \mathrm{cm}^2$
D.$80π \ \mathrm{cm}^2$
答案
6. B
解析
【分析】
要解决这道求圆锥侧面积的题目，首先回忆圆锥侧面积的相关推导：圆锥的侧面展开后是扇形，扇形的半径等于圆锥的母线长，扇形的弧长等于圆锥底面圆的周长，由此可推出圆锥侧面积的计算公式为$S=π rl$，其中$r$是底面圆半径，$l$是母线长。接下来只需从题干中提取对应的$r$和$l$的数值，代入公式计算即可得到结果。
【解析】
解：圆锥的侧面积计算公式为$ S_{\mathrm{侧}} = π r l $，其中$r$为底面圆半径，$l$为圆锥母线长。
由题可知，$r=6\mathrm{cm}$，$l=8\mathrm{cm}$，将数值代入公式：
$ S_{\mathrm{侧}}=π × 6 × 8 = 48π \ \mathrm{cm}^2 $
因此本题选B。
【答案】
B
【知识点】
1.圆锥侧面积计算
2.立体图形展开图
【点评】
本题属于基础题型，重点考查圆锥侧面积公式的直接应用，解题核心是准确记忆公式并明确公式中各参数对应的含义，熟练掌握公式即可快速得出答案。
【难度系数】
0.85
要解决这道求圆锥侧面积的题目，首先回忆圆锥侧面积的相关推导：圆锥的侧面展开后是扇形，扇形的半径等于圆锥的母线长，扇形的弧长等于圆锥底面圆的周长，由此可推出圆锥侧面积的计算公式为$S=π rl$，其中$r$是底面圆半径，$l$是母线长。接下来只需从题干中提取对应的$r$和$l$的数值，代入公式计算即可得到结果。
【解析】
解：圆锥的侧面积计算公式为$ S_{\mathrm{侧}} = π r l $，其中$r$为底面圆半径，$l$为圆锥母线长。
由题可知，$r=6\mathrm{cm}$，$l=8\mathrm{cm}$，将数值代入公式：
$ S_{\mathrm{侧}}=π × 6 × 8 = 48π \ \mathrm{cm}^2 $
因此本题选B。
【答案】
B
【知识点】
1.圆锥侧面积计算
2.立体图形展开图
【点评】
本题属于基础题型，重点考查圆锥侧面积公式的直接应用，解题核心是准确记忆公式并明确公式中各参数对应的含义，熟练掌握公式即可快速得出答案。
【难度系数】
0.85
7. 如图29-8，四边形ABCD是$\odot O$的内接四边形，BE平分$∠ ABC$，点A是$\overset{\frown}{BE}$的中点. 若$∠ D=92°$，则$∠ AEB$的度数是（
A.$40°$
B.$44°$
C.$45°$
D.$46°$
B
）.A.$40°$
B.$44°$
C.$45°$
D.$46°$
答案
7. B
解析
【分析】
解题时首先利用圆内接四边形对角互补的性质，求出∠ABC的度数；再结合角平分线的定义计算出∠ABE的度数；最后根据弧中点的性质得到等弧，利用同圆中等弧所对的圆周角相等，即可求出∠AEB的度数。
【解析】
1. 求∠ABC的度数：
∵四边形ABCD是$\odot O$的内接四边形，根据圆内接四边形对角互补的性质，可得$∠ ABC + ∠ D = 180°$。
已知$∠ D=92°$，代入得$∠ ABC = 180° - 92° = 88°$。
2. 求∠ABE的度数：
∵BE平分$∠ ABC$，根据角平分线的定义，$∠ ABE = \frac{1}{2}∠ ABC = \frac{1}{2} × 88° = 44°$。
3. 求∠AEB的度数：
∵点A是$\overset{\frown}{BE}$的中点，
∴$\overset{\frown}{AB} = \overset{\frown}{AE}$。
根据同圆中等弧所对的圆周角相等，可得$∠ AEB = ∠ ABE = 44°$。
综上本题选B。
【答案】
B
【知识点】
圆内接四边形的性质，角平分线的定义，圆周角定理推论
【点评】
本题是圆性质的基础应用题目，解题核心是熟练掌握圆内接四边形对角互补、等弧对等圆周角等基础性质，结合角平分线定义即可快速求解，解题时注意圆周角和对应弧的对应关系不要混淆。
【难度系数】
0.7
解题时首先利用圆内接四边形对角互补的性质，求出∠ABC的度数；再结合角平分线的定义计算出∠ABE的度数；最后根据弧中点的性质得到等弧，利用同圆中等弧所对的圆周角相等，即可求出∠AEB的度数。
【解析】
1. 求∠ABC的度数：
∵四边形ABCD是$\odot O$的内接四边形，根据圆内接四边形对角互补的性质，可得$∠ ABC + ∠ D = 180°$。
已知$∠ D=92°$，代入得$∠ ABC = 180° - 92° = 88°$。
2. 求∠ABE的度数：
∵BE平分$∠ ABC$，根据角平分线的定义，$∠ ABE = \frac{1}{2}∠ ABC = \frac{1}{2} × 88° = 44°$。
3. 求∠AEB的度数：
∵点A是$\overset{\frown}{BE}$的中点，
∴$\overset{\frown}{AB} = \overset{\frown}{AE}$。
根据同圆中等弧所对的圆周角相等，可得$∠ AEB = ∠ ABE = 44°$。
综上本题选B。
【答案】
B
【知识点】
圆内接四边形的性质，角平分线的定义，圆周角定理推论
【点评】
本题是圆性质的基础应用题目，解题核心是熟练掌握圆内接四边形对角互补、等弧对等圆周角等基础性质，结合角平分线定义即可快速求解，解题时注意圆周角和对应弧的对应关系不要混淆。
【难度系数】
0.7
