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8. 如图29-9，点B，E在半圆O上，四边形OABC、四边形ODEF均为矩形。若AB＝3，BC＝4，则DF的长为
图29-9
图29-10
图29-11
5
。图29-9
图29-10
图29-11
答案
8. 5
解析
【分析】
要求DF的长度，直接求DF的条件不足，需通过线段转化求解：首先根据矩形对角线相等的性质，可知DF等于矩形ODEF的对角线OE，而OE是半圆O的半径，因此只需求出半圆的半径即可；再观察矩形OABC，其对角线OB也是半圆的半径，且OB等于该矩形的另一条对角线AC，AC可通过已知的AB、BC长度用勾股定理计算，最终即可推出DF的长度。
【解析】
解：连接OB、OE。
∵ 四边形OABC是矩形，
∴ OB = AC，∠ABC = 90°。
在Rt△ABC中，AB=3，BC=4，根据勾股定理：
$AC = \sqrt{AB^2 + BC^2} = \sqrt{3^2 + 4^2} = 5$，
∴ OB = 5。
∵ OB、OE均为半圆O的半径，
∴ OE = OB = 5。
又
∵ 四边形ODEF是矩形，
∴ DF = OE，
∴ DF = 5。
【答案】
5
【知识点】
矩形的性质；勾股定理；圆的基本性质
【点评】
本题是几何基础性质的综合应用题，解题关键是利用矩形对角线相等、同圆半径相等的性质实现未知线段到已知线段的转化，再结合勾股定理计算即可，属于常考的基础题型。
【难度系数】
0.7
要求DF的长度，直接求DF的条件不足，需通过线段转化求解：首先根据矩形对角线相等的性质，可知DF等于矩形ODEF的对角线OE，而OE是半圆O的半径，因此只需求出半圆的半径即可；再观察矩形OABC，其对角线OB也是半圆的半径，且OB等于该矩形的另一条对角线AC，AC可通过已知的AB、BC长度用勾股定理计算，最终即可推出DF的长度。
【解析】
解：连接OB、OE。
∵ 四边形OABC是矩形，
∴ OB = AC，∠ABC = 90°。
在Rt△ABC中，AB=3，BC=4，根据勾股定理：
$AC = \sqrt{AB^2 + BC^2} = \sqrt{3^2 + 4^2} = 5$，
∴ OB = 5。
∵ OB、OE均为半圆O的半径，
∴ OE = OB = 5。
又
∵ 四边形ODEF是矩形，
∴ DF = OE，
∴ DF = 5。
【答案】
5
【知识点】
矩形的性质；勾股定理；圆的基本性质
【点评】
本题是几何基础性质的综合应用题，解题关键是利用矩形对角线相等、同圆半径相等的性质实现未知线段到已知线段的转化，再结合勾股定理计算即可，属于常考的基础题型。
【难度系数】
0.7
9. 如图29-10，在$\mathrm{Rt}△ ABC$中，$∠ ACB=90°$，$AB=4$，$∠ BAC=60°$，$D$是边$AC$上的一个动点，连接$BD$，作$CE⊥ BD$，垂足为$E$，连接$AE$，则$AE$长的最小值为
$\sqrt{7}-\sqrt{3}$
。答案
9. $\sqrt{7}-\sqrt{3}$
解析
【分析】
首先观察到CE⊥BD恒成立，因此∠CEB始终为90°，根据直径所对圆周角是直角，可知点E的运动轨迹是以BC为直径的圆。要求AE的最小值，根据点到圆上点的最短距离为点到圆心的距离减去半径，我们只需先求出△ABC各边长度，再求出点A到BC中点（即圆心）的距离，减去半径即可得到结果。
【解析】
1. 计算Rt△ABC的各边长度
在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠BAC=60°，AB=4
∴ $AC = AB·\cos60° = 4×\frac{1}{2}=2$
$BC = AB·\sin60° = 4×\frac{\sqrt{3}}{2}=2\sqrt{3}$
2. 确定点E的运动轨迹
∵CE⊥BD，
∴∠CEB=90°恒成立
∴点E在以BC为直径的圆上，设BC中点为O，则O为该圆圆心，半径 $r=OC=OB=\frac{BC}{2}=\sqrt{3}$
3. 计算AO的长度
在Rt△ACO中，∠ACO=90°，AC=2，OC=$\sqrt{3}$
∴ $AO = \sqrt{AC^2 + OC^2} = \sqrt{2^2 + (\sqrt{3})^2}=\sqrt{4+3}=\sqrt{7}$
4. 求AE的最小值
根据点到圆上点的最短距离等于点到圆心的距离减去半径，得AE的最小值为 $AO - r = \sqrt{7}-\sqrt{3}$
【答案】
$\sqrt{7}-\sqrt{3}$
【知识点】
圆周角定理；点圆最短距离；解直角三角形
【点评】
本题解题关键是根据定直角确定动点的运动轨迹为圆，将线段最值问题转化为点到圆的最短距离问题，结合解直角三角形的知识即可求解，需重点掌握轨迹法在最值问题中的应用。
【难度系数】
0.4
首先观察到CE⊥BD恒成立，因此∠CEB始终为90°，根据直径所对圆周角是直角，可知点E的运动轨迹是以BC为直径的圆。要求AE的最小值，根据点到圆上点的最短距离为点到圆心的距离减去半径，我们只需先求出△ABC各边长度，再求出点A到BC中点（即圆心）的距离，减去半径即可得到结果。
【解析】
1. 计算Rt△ABC的各边长度
在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠BAC=60°，AB=4
∴ $AC = AB·\cos60° = 4×\frac{1}{2}=2$
$BC = AB·\sin60° = 4×\frac{\sqrt{3}}{2}=2\sqrt{3}$
2. 确定点E的运动轨迹
∵CE⊥BD，
∴∠CEB=90°恒成立
∴点E在以BC为直径的圆上，设BC中点为O，则O为该圆圆心，半径 $r=OC=OB=\frac{BC}{2}=\sqrt{3}$
3. 计算AO的长度
在Rt△ACO中，∠ACO=90°，AC=2，OC=$\sqrt{3}$
∴ $AO = \sqrt{AC^2 + OC^2} = \sqrt{2^2 + (\sqrt{3})^2}=\sqrt{4+3}=\sqrt{7}$
4. 求AE的最小值
根据点到圆上点的最短距离等于点到圆心的距离减去半径，得AE的最小值为 $AO - r = \sqrt{7}-\sqrt{3}$
【答案】
$\sqrt{7}-\sqrt{3}$
【知识点】
圆周角定理；点圆最短距离；解直角三角形
【点评】
本题解题关键是根据定直角确定动点的运动轨迹为圆，将线段最值问题转化为点到圆的最短距离问题，结合解直角三角形的知识即可求解，需重点掌握轨迹法在最值问题中的应用。
【难度系数】
0.4
10. “圆材埋壁”是我国古代数学名著《九章算术》中的一个问题：“今有圆材，埋在壁中，不知大小.以锯锯之，深一寸，锯道长一尺.问：径几何？”转化为现在的数学语言表达就是：如图29-11，CD为$\odot O$的直径，弦$AB⊥ CD$，垂足为E，$CE=1$寸，$AB=10$寸，则直径CD的长度为
26
寸。答案
10. 26
解析
【分析】
遇到直径垂直于弦的问题，首先联想到垂径定理，可得到弦长的一半。要求直径，可先设圆的半径为r，将直角三角形OAE的各边用含r的代数式表示，再借助勾股定理列方程求解半径，最后计算直径即可。
【解析】
连接OA，设$\odot O$的半径为$r$寸，则$OA=OC=r$寸。
$\because CE=1$寸，$\therefore OE=OC-CE=(r-1)$寸。
$\because AB⊥ CD$，CD为$\odot O$的直径，根据垂径定理可得：
$AE=\frac{1}{2}AB=\frac{1}{2}×10=5$寸。
在$\mathrm{Rt}△ OAE$中，由勾股定理得：$OA^2=OE^2+AE^2$，
代入数值：$r^2=(r-1)^2+5^2$，
展开得：$r^2=r^2-2r+1+25$，
移项化简得：$2r=26$，解得$r=13$，
$\therefore$直径$CD=2r=2×13=26$寸。
【答案】
26
【知识点】
垂径定理、勾股定理、方程思想
【点评】
本题结合古代数学名著中的问题设置考点，考查圆中线段长度的计算，解题核心是利用垂径定理构造直角三角形，再结合勾股定理列方程求解，是圆相关计算中的典型题型。
【难度系数】
0.75
遇到直径垂直于弦的问题，首先联想到垂径定理，可得到弦长的一半。要求直径，可先设圆的半径为r，将直角三角形OAE的各边用含r的代数式表示，再借助勾股定理列方程求解半径，最后计算直径即可。
【解析】
连接OA，设$\odot O$的半径为$r$寸，则$OA=OC=r$寸。
$\because CE=1$寸，$\therefore OE=OC-CE=(r-1)$寸。
$\because AB⊥ CD$，CD为$\odot O$的直径，根据垂径定理可得：
$AE=\frac{1}{2}AB=\frac{1}{2}×10=5$寸。
在$\mathrm{Rt}△ OAE$中，由勾股定理得：$OA^2=OE^2+AE^2$，
代入数值：$r^2=(r-1)^2+5^2$，
展开得：$r^2=r^2-2r+1+25$，
移项化简得：$2r=26$，解得$r=13$，
$\therefore$直径$CD=2r=2×13=26$寸。
【答案】
26
【知识点】
垂径定理、勾股定理、方程思想
【点评】
本题结合古代数学名著中的问题设置考点，考查圆中线段长度的计算，解题核心是利用垂径定理构造直角三角形，再结合勾股定理列方程求解，是圆相关计算中的典型题型。
【难度系数】
0.75
11.（安徽模拟）如图29-12，点A，B，C，D，E在$\odot O$上，且$\overset{\frown}{AE}$所对的圆心角的度数为$40°$，则$∠ B + ∠ D$的度数为
$160°$
。答案
11. $160°$
解析
【分析】
遇到圆中求多个圆周角之和的问题，首先想到圆周角定理：圆周角的度数等于它所对弧的度数的一半。解题时先确定∠B和∠D各自对应的弧，再结合已知弧AE的度数，算出两个角所对的弧的总度数，最后用总弧度数除以2即可得到两角之和。
【解析】
根据圆周角定理，圆周角的度数等于其所对弧的度数的一半。
已知$\overset{\frown}{AE}$所对的圆心角为$40°$，因此$\overset{\frown}{AE}$的度数为$40°$。
圆周总度数为$360°$，$∠ B$和$∠ D$所对的弧的度数之和为$360° - 40° = 320°$。
因此$∠ B + ∠ D = \frac{1}{2} × 320° = 160°$。
【答案】
$160°$
【知识点】
圆周角定理，圆心角与弧的关系
【点评】
本题是圆的基础性质的典型考题，解题核心是找准所求圆周角对应的弧的总度数，熟练掌握圆周角定理即可快速解答，注意不要混淆圆周角和圆心角的对应关系。
【难度系数】
0.7
遇到圆中求多个圆周角之和的问题，首先想到圆周角定理：圆周角的度数等于它所对弧的度数的一半。解题时先确定∠B和∠D各自对应的弧，再结合已知弧AE的度数，算出两个角所对的弧的总度数，最后用总弧度数除以2即可得到两角之和。
【解析】
根据圆周角定理，圆周角的度数等于其所对弧的度数的一半。
已知$\overset{\frown}{AE}$所对的圆心角为$40°$，因此$\overset{\frown}{AE}$的度数为$40°$。
圆周总度数为$360°$，$∠ B$和$∠ D$所对的弧的度数之和为$360° - 40° = 320°$。
因此$∠ B + ∠ D = \frac{1}{2} × 320° = 160°$。
【答案】
$160°$
【知识点】
圆周角定理，圆心角与弧的关系
【点评】
本题是圆的基础性质的典型考题，解题核心是找准所求圆周角对应的弧的总度数，熟练掌握圆周角定理即可快速解答，注意不要混淆圆周角和圆心角的对应关系。
【难度系数】
0.7
12. 如图29-13，在$\odot O$中，直径$AB=6$，$BC$是$\odot O$的弦，$∠ ABC=30°$，点$P$在$BC$上，点$Q$在$\odot O$上，且$OP ⊥ PQ$。
（1）如图29-13①，当$PQ // AB$时，求$PQ$的长度；
（2）如图29-13②，当点$P$在$BC$上移动时，求$PQ$长的最大值。
图29-12
（1）如图29-13①，当$PQ // AB$时，求$PQ$的长度；
（2）如图29-13②，当点$P$在$BC$上移动时，求$PQ$长的最大值。
图29-12
答案
12. 解：(1)
∵AB=6，
∴OB=3.
如图①，连接OQ.
∵PQ//AB，OP⊥PQ，
∴OP⊥AB.
在Rt△OBP中，
∵∠ABC=30°，
∴PB=2OP.
由勾股定理，得$OP^2+3^2=(2OP)^2$.
解得$OP=\sqrt{3}$.
在Rt△OPQ中，$PQ=\sqrt{OQ^2-OP^2}=\sqrt{6}$.
(2) 如图②，连接OQ.
在Rt△OPQ中，$PQ=\sqrt{OQ^2-OP^2}=\sqrt{9-OP^2}$.
要使PQ的长最大，则OP的长最小，此时OP⊥BC.
∵∠ABC=30°，
∴$OP=\frac{1}{2}OB=\frac{3}{2}$.
∴PQ长的最大值为$\sqrt{9-(\frac{3}{2})^2}=\frac{3\sqrt{3}}{2}$.
解析
【分析】
（1）求解第一问时，先根据直径长度得出圆的半径为3，连接OQ后，由PQ//AB、OP⊥PQ可推出OP⊥AB；在Rt△OBP中，利用∠ABC=30°的直角三角形三边关系，结合勾股定理求出OP的长度，最后在Rt△OPQ中再次用勾股定理即可算出PQ的长。
（2）求解第二问时，首先在Rt△OPQ中，OQ为定值（半径3），根据勾股定理可知$PQ=\sqrt{OQ^2-OP^2}$，因此要使PQ最大，需使OP最小；根据垂线段最短的性质，当OP⊥BC时OP长度最小，此时利用含30°角的直角三角形性质求出最小的OP长度，代入计算即可得到PQ的最大值。
【解析】
(1)
∵直径$AB=6$，
∴$\odot O$的半径$OB=OQ=3$。
如图①，连接$OQ$，
∵$PQ//AB$，$OP⊥PQ$，
∴$OP⊥AB$，即$∠POB=90°$。
在$Rt△OBP$中，$∠ABC=30°$，
∴$PB=2OP$，
由勾股定理得：$OP^2 + OB^2 = PB^2$，即$OP^2+3^2=(2OP)^2$，
解得$OP=\sqrt{3}$。
在$Rt△OPQ$中，由勾股定理得：
$PQ=\sqrt{OQ^2-OP^2}=\sqrt{3^2-(\sqrt{3})^2}=\sqrt{6}$。
(2) 如图②，连接$OQ$，
在$Rt△OPQ$中，$PQ=\sqrt{OQ^2-OP^2}=\sqrt{9-OP^2}$，
OQ为定值，因此要使PQ的长最大，需使OP的长最小，根据垂线段最短可知，当$OP⊥BC$时，OP的长度最小。
∵$∠ABC=30°$，$OP⊥BC$，
∴$OP=\frac{1}{2}OB=\frac{3}{2}$，
将$OP=\frac{3}{2}$代入得PQ长的最大值为：
$\sqrt{9-(\frac{3}{2})^2}=\sqrt{9-\frac{9}{4}}=\sqrt{\frac{27}{4}}=\frac{3\sqrt{3}}{2}$。
【答案】
(1) $PQ=\sqrt{6}$
(2) PQ长的最大值为$\frac{3\sqrt{3}}{2}$
【知识点】
1. 圆的基本性质
2. 含30°角直角三角形的性质
3. 勾股定理
【点评】
本题综合考查圆与直角三角形的相关知识，解题的关键是明确最值的求解思路，合理利用垂线段最短的性质确定OP最小时的位置，较好地锻炼了几何综合分析能力。
【难度系数】
0.6
（1）求解第一问时，先根据直径长度得出圆的半径为3，连接OQ后，由PQ//AB、OP⊥PQ可推出OP⊥AB；在Rt△OBP中，利用∠ABC=30°的直角三角形三边关系，结合勾股定理求出OP的长度，最后在Rt△OPQ中再次用勾股定理即可算出PQ的长。
（2）求解第二问时，首先在Rt△OPQ中，OQ为定值（半径3），根据勾股定理可知$PQ=\sqrt{OQ^2-OP^2}$，因此要使PQ最大，需使OP最小；根据垂线段最短的性质，当OP⊥BC时OP长度最小，此时利用含30°角的直角三角形性质求出最小的OP长度，代入计算即可得到PQ的最大值。
【解析】
(1)
∵直径$AB=6$，
∴$\odot O$的半径$OB=OQ=3$。
如图①，连接$OQ$，
∵$PQ//AB$，$OP⊥PQ$，
∴$OP⊥AB$，即$∠POB=90°$。
在$Rt△OBP$中，$∠ABC=30°$，
∴$PB=2OP$，
由勾股定理得：$OP^2 + OB^2 = PB^2$，即$OP^2+3^2=(2OP)^2$，
解得$OP=\sqrt{3}$。
在$Rt△OPQ$中，由勾股定理得：
$PQ=\sqrt{OQ^2-OP^2}=\sqrt{3^2-(\sqrt{3})^2}=\sqrt{6}$。
(2) 如图②，连接$OQ$，
在$Rt△OPQ$中，$PQ=\sqrt{OQ^2-OP^2}=\sqrt{9-OP^2}$，
OQ为定值，因此要使PQ的长最大，需使OP的长最小，根据垂线段最短可知，当$OP⊥BC$时，OP的长度最小。
∵$∠ABC=30°$，$OP⊥BC$，
∴$OP=\frac{1}{2}OB=\frac{3}{2}$，
将$OP=\frac{3}{2}$代入得PQ长的最大值为：
$\sqrt{9-(\frac{3}{2})^2}=\sqrt{9-\frac{9}{4}}=\sqrt{\frac{27}{4}}=\frac{3\sqrt{3}}{2}$。
【答案】
(1) $PQ=\sqrt{6}$
(2) PQ长的最大值为$\frac{3\sqrt{3}}{2}$
【知识点】
1. 圆的基本性质
2. 含30°角直角三角形的性质
3. 勾股定理
【点评】
本题综合考查圆与直角三角形的相关知识，解题的关键是明确最值的求解思路，合理利用垂线段最短的性质确定OP最小时的位置，较好地锻炼了几何综合分析能力。
【难度系数】
0.6
