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1.正方形的面积S和边长a之间的关系可以表示为$S=a^2$，则S与a之间的函数关系是（
A.一次函数
B.正比例函数
C.二次函数
D.以上都不对
C
）A.一次函数
B.正比例函数
C.二次函数
D.以上都不对
答案
1.C
解析
【分析】
解题时先回忆各类函数的定义特征，再对应分析$S=a^2$的形式：首先明确一次函数、正比例函数自变量的最高次数为1，二次函数自变量的最高次数为2，再观察S与a的关系式，自变量a的最高次数是2，符合二次函数的特征，即可选出正确答案。
【解析】
我们先明确各类函数的定义：
1. 一次函数：形如$y=kx+b$（$k$、$b$为常数，$k≠0$）的函数，自变量的最高次数为1；
2. 正比例函数：形如$y=kx$（$k$为常数，$k≠0$）的函数，是特殊的一次函数，自变量最高次数为1；
3. 二次函数：形如$y=ax^2+bx+c$（$a$、$b$、$c$为常数，$a≠0$）的函数，自变量最高次数为2。
观察表达式$S=a^2$，自变量为$a$，最高次数为2，符合二次函数的定义，因此S与a的函数关系是二次函数。
【答案】
C
【知识点】
二次函数的定义；一次函数的定义；正比例函数的定义
【点评】
本题考查不同类型函数的识别，解题核心是准确掌握各类函数的定义，根据表达式中自变量的最高次数判断所属函数类型，属于基础概念考查题。
【难度系数】
0.9
解题时先回忆各类函数的定义特征，再对应分析$S=a^2$的形式：首先明确一次函数、正比例函数自变量的最高次数为1，二次函数自变量的最高次数为2，再观察S与a的关系式，自变量a的最高次数是2，符合二次函数的特征，即可选出正确答案。
【解析】
我们先明确各类函数的定义：
1. 一次函数：形如$y=kx+b$（$k$、$b$为常数，$k≠0$）的函数，自变量的最高次数为1；
2. 正比例函数：形如$y=kx$（$k$为常数，$k≠0$）的函数，是特殊的一次函数，自变量最高次数为1；
3. 二次函数：形如$y=ax^2+bx+c$（$a$、$b$、$c$为常数，$a≠0$）的函数，自变量最高次数为2。
观察表达式$S=a^2$，自变量为$a$，最高次数为2，符合二次函数的定义，因此S与a的函数关系是二次函数。
【答案】
C
【知识点】
二次函数的定义；一次函数的定义；正比例函数的定义
【点评】
本题考查不同类型函数的识别，解题核心是准确掌握各类函数的定义，根据表达式中自变量的最高次数判断所属函数类型，属于基础概念考查题。
【难度系数】
0.9
2. 下列式子中，是二次函数的是 （
A.$y=\dfrac{1}{x^2}$
B.$y=2x^2 - 1$
C.$x^2 - 2x + 3 = 0$
D.$y=3x^3$
B
）A.$y=\dfrac{1}{x^2}$
B.$y=2x^2 - 1$
C.$x^2 - 2x + 3 = 0$
D.$y=3x^3$
答案
2.B
解析
【分析】
要判断一个式子是不是二次函数，首先要回忆二次函数的定义及判定要点：①必须是含有两个变量（自变量和因变量）的函数；②式子必须是整式；③自变量的最高次数为2；④二次项的系数不能为0。接下来对照这几个要点逐个分析选项即可选出正确答案。
【解析】
首先明确二次函数的定义：一般地，形如$y=ax^2+bx+c$（$a$、$b$、$c$为常数，且$a≠0$）的函数叫做二次函数。我们逐一分析选项：
选项A：$y=\dfrac{1}{x^2}$的分母中含有自变量$x$，属于分式函数，不是整式，不符合二次函数的定义，排除；
选项B：$y=2x^2-1$符合$y=ax^2+bx+c$的形式，其中$a=2≠0$，自变量$x$的最高次数为2，且是整式函数，满足二次函数的所有判定条件；
选项C：$x^2-2x+3=0$是只含有一个未知数的一元二次方程，不属于函数，排除；
选项D：$y=3x^3$中自变量$x$的最高次数是3，属于三次函数，不符合二次函数定义，排除。
综上，答案选B。
【答案】
B
【知识点】
二次函数的定义；函数的概念；整式的概念
【点评】
本题是二次函数的基础判定题，解题的关键是准确掌握二次函数定义的几个核心要素，同时要注意区分函数和方程的差异，避免将一元二次方程误判为二次函数。
【难度系数】
0.85
要判断一个式子是不是二次函数，首先要回忆二次函数的定义及判定要点：①必须是含有两个变量（自变量和因变量）的函数；②式子必须是整式；③自变量的最高次数为2；④二次项的系数不能为0。接下来对照这几个要点逐个分析选项即可选出正确答案。
【解析】
首先明确二次函数的定义：一般地，形如$y=ax^2+bx+c$（$a$、$b$、$c$为常数，且$a≠0$）的函数叫做二次函数。我们逐一分析选项：
选项A：$y=\dfrac{1}{x^2}$的分母中含有自变量$x$，属于分式函数，不是整式，不符合二次函数的定义，排除；
选项B：$y=2x^2-1$符合$y=ax^2+bx+c$的形式，其中$a=2≠0$，自变量$x$的最高次数为2，且是整式函数，满足二次函数的所有判定条件；
选项C：$x^2-2x+3=0$是只含有一个未知数的一元二次方程，不属于函数，排除；
选项D：$y=3x^3$中自变量$x$的最高次数是3，属于三次函数，不符合二次函数定义，排除。
综上，答案选B。
【答案】
B
【知识点】
二次函数的定义；函数的概念；整式的概念
【点评】
本题是二次函数的基础判定题，解题的关键是准确掌握二次函数定义的几个核心要素，同时要注意区分函数和方程的差异，避免将一元二次方程误判为二次函数。
【难度系数】
0.85
3. 二次函数 $ y=x^2 -6x -1 $ 的二次项系数是
1
，一次项系数是-6
，常数项是-1
。答案
3.二次项系数是1，一次项系数是-6，常数项是-1
解析
【分析】
解题时首先要回忆二次函数的一般形式，明确二次项系数、一次项系数、常数项的定义，再将题目给出的二次函数和一般形式逐一对应，注意提取系数时要包含项前面的符号，避免符号判断错误。
【解析】
二次函数的一般形式为$y=ax^2+bx+c$（$a$、$b$、$c$为常数，且$a≠0$），其中$a$是二次项系数，$b$是一次项系数，$c$是常数项。
将题目中的函数$y=x^2-6x-1$变形为和一般形式对应的结构：$y=1· x^2+(-6)· x+(-1)$，对比可得：
二次项系数为1，一次项系数为-6，常数项为-1。
【答案】
1；-6；-1
【知识点】
二次函数的定义；二次函数的系数识别
【点评】
本题属于基础概念题，主要考查对二次函数基本构成的掌握，解题的核心是牢记二次函数一般形式中各系数的定义，注意不要忽略项前面的正负号。
【难度系数】
0.9
解题时首先要回忆二次函数的一般形式，明确二次项系数、一次项系数、常数项的定义，再将题目给出的二次函数和一般形式逐一对应，注意提取系数时要包含项前面的符号，避免符号判断错误。
【解析】
二次函数的一般形式为$y=ax^2+bx+c$（$a$、$b$、$c$为常数，且$a≠0$），其中$a$是二次项系数，$b$是一次项系数，$c$是常数项。
将题目中的函数$y=x^2-6x-1$变形为和一般形式对应的结构：$y=1· x^2+(-6)· x+(-1)$，对比可得：
二次项系数为1，一次项系数为-6，常数项为-1。
【答案】
1；-6；-1
【知识点】
二次函数的定义；二次函数的系数识别
【点评】
本题属于基础概念题，主要考查对二次函数基本构成的掌握，解题的核心是牢记二次函数一般形式中各系数的定义，注意不要忽略项前面的正负号。
【难度系数】
0.9
4. (1)若$y=(m+3)x^2 + 4$是关于$x$的二次函数，则$m$的取值范围是
(2)若$y=x^{a-1} + 2x$是关于$x$的二次函数，则$a=$
$m≠-3$
。(2)若$y=x^{a-1} + 2x$是关于$x$的二次函数，则$a=$
3
。答案
4.(1)$m≠-3$ (2)3
解析
【分析】
本题考查二次函数定义的应用，解题时先回忆二次函数的核心判定条件：1. 自变量的最高次数为2；2. 二次项系数不为0。
(1) 小题中函数已为二次项加常数项的整式形式，只需保证二次项系数不为0，据此列不等式求解m的取值范围即可；
(2) 小题中要使函数为二次函数，需保证最高次项的次数为2，据此列等式求解a的值即可。
【解析】
(1) 已知$y=(m+3)x^2 + 4$是关于$x$的二次函数，根据二次函数定义，二次项系数不能为0，可得：
$m+3≠0$
解得：$m≠ -3$
(2) 已知$y=x^{a-1} + 2x$是关于$x$的二次函数，根据二次函数定义，自变量的最高次数为2，因此$x^{a-1}$的次数为2，可得：
$a-1=2$
解得：$a=3$
【答案】
(1)$m≠ -3$；(2)$3$
【知识点】
二次函数的定义
【点评】
本题是二次函数概念的基础考查题，解题关键是牢记二次函数的两个核心判定条件，熟练掌握概念即可快速得出结果。
【难度系数】
0.9
本题考查二次函数定义的应用，解题时先回忆二次函数的核心判定条件：1. 自变量的最高次数为2；2. 二次项系数不为0。
(1) 小题中函数已为二次项加常数项的整式形式，只需保证二次项系数不为0，据此列不等式求解m的取值范围即可；
(2) 小题中要使函数为二次函数，需保证最高次项的次数为2，据此列等式求解a的值即可。
【解析】
(1) 已知$y=(m+3)x^2 + 4$是关于$x$的二次函数，根据二次函数定义，二次项系数不能为0，可得：
$m+3≠0$
解得：$m≠ -3$
(2) 已知$y=x^{a-1} + 2x$是关于$x$的二次函数，根据二次函数定义，自变量的最高次数为2，因此$x^{a-1}$的次数为2，可得：
$a-1=2$
解得：$a=3$
【答案】
(1)$m≠ -3$；(2)$3$
【知识点】
二次函数的定义
【点评】
本题是二次函数概念的基础考查题，解题关键是牢记二次函数的两个核心判定条件，熟练掌握概念即可快速得出结果。
【难度系数】
0.9
5. 已知二次函数$y=x^2+3x-2$.
(1)当$x=-1$时,$y=$
(2)当$y=2$时,$x=$
(1)当$x=-1$时,$y=$
-4
.(2)当$y=2$时,$x=$
1或-4
.答案
5.(1)-4 (2)1或-4
解析
【分析】
（1）已知自变量x的取值求对应函数值，直接将x的值代入二次函数解析式，按照有理数运算法则计算即可得到y的值。
（2）已知函数值y的取值求对应自变量x的值，将y的值代入解析式，把问题转化为解关于x的一元二次方程，求解方程即可得到x的取值。
【解析】
(1) 将$x=-1$代入$y=x^2+3x-2$，得：
$\begin{aligned}y&=(-1)^2 + 3×(-1) - 2\\&=1-3-2\\&=-4\end{aligned}$
(2) 当$y=2$时，代入解析式可得：
$\begin{aligned}x^2 + 3x - 2 &= 2\\x^2 + 3x - 4 &= 0\\(x-1)(x+4)&=0\end{aligned}$
因此$x-1=0$或$x+4=0$，解得$x=1$或$x=-4$。
【答案】
(1)-4；(2)1或-4
【知识点】
二次函数代入求值；一元二次方程的解法；二次函数与一元二次方程的关系
【点评】
本题是二次函数的基础题型，主要考查代入求值的基本运算能力和一元二次方程的求解方法，掌握基础运算规则即可顺利解答。
【难度系数】
0.9
（1）已知自变量x的取值求对应函数值，直接将x的值代入二次函数解析式，按照有理数运算法则计算即可得到y的值。
（2）已知函数值y的取值求对应自变量x的值，将y的值代入解析式，把问题转化为解关于x的一元二次方程，求解方程即可得到x的取值。
【解析】
(1) 将$x=-1$代入$y=x^2+3x-2$，得：
$\begin{aligned}y&=(-1)^2 + 3×(-1) - 2\\&=1-3-2\\&=-4\end{aligned}$
(2) 当$y=2$时，代入解析式可得：
$\begin{aligned}x^2 + 3x - 2 &= 2\\x^2 + 3x - 4 &= 0\\(x-1)(x+4)&=0\end{aligned}$
因此$x-1=0$或$x+4=0$，解得$x=1$或$x=-4$。
【答案】
(1)-4；(2)1或-4
【知识点】
二次函数代入求值；一元二次方程的解法；二次函数与一元二次方程的关系
【点评】
本题是二次函数的基础题型，主要考查代入求值的基本运算能力和一元二次方程的求解方法，掌握基础运算规则即可顺利解答。
【难度系数】
0.9
6.已知两个实数，其中一个数比另一个数大2.设较小的数为x，这两个实数的乘积为y，则较大的数为
$x+2$
，y与x之间的函数关系式为$y=x^2+2x$
。答案
6.较大的数为$x+2$，y与x之间的函数关系式为$y=x^2+2x$
解析
【分析】
解题时先梳理题目给出的数量关系：已知两个实数的差为2，较小数设为x，两数的乘积为y。首先求较大数，根据“较大数 = 较小数 + 两数的差值”即可直接推导；再求乘积y的表达式，根据“乘积=较小数×较大数”，代入两个数的表达式后化简整理，就能得到y与x的函数关系式。
【解析】
1. 求较大的数：
已知较小的数为x，较大数比较小数大2，因此较大的数为 $ x + 2 $。
2. 求y与x的函数关系式：
因为两数的乘积为y，所以将两个数相乘可得：
$ y = x(x + 2) $
展开化简后得：$ y = x^2 + 2x $
【答案】
较大的数为$\boldsymbol{x+2}$，y与x之间的函数关系式为$\boldsymbol{y=x^2+2x}$
【知识点】
列代数式；函数关系式建立；整式乘法
【点评】
本题属于基础类题目，核心考查根据实际数量关系列代数式与函数表达式的能力，只要准确理解题中的和差、乘法关系就能顺利解答。
【难度系数】
0.9
解题时先梳理题目给出的数量关系：已知两个实数的差为2，较小数设为x，两数的乘积为y。首先求较大数，根据“较大数 = 较小数 + 两数的差值”即可直接推导；再求乘积y的表达式，根据“乘积=较小数×较大数”，代入两个数的表达式后化简整理，就能得到y与x的函数关系式。
【解析】
1. 求较大的数：
已知较小的数为x，较大数比较小数大2，因此较大的数为 $ x + 2 $。
2. 求y与x的函数关系式：
因为两数的乘积为y，所以将两个数相乘可得：
$ y = x(x + 2) $
展开化简后得：$ y = x^2 + 2x $
【答案】
较大的数为$\boldsymbol{x+2}$，y与x之间的函数关系式为$\boldsymbol{y=x^2+2x}$
【知识点】
列代数式；函数关系式建立；整式乘法
【点评】
本题属于基础类题目，核心考查根据实际数量关系列代数式与函数表达式的能力，只要准确理解题中的和差、乘法关系就能顺利解答。
【难度系数】
0.9
7. 如图，将一根长为30 cm的铁丝弯成一个矩形（铁丝正好全部用完且无损耗），设这个矩形的一边长为x cm，它的面积为y cm²，则y与x之间的函数关系式为（
A.$y=-x^2 + 30x$
B.$y=-x^2 + 15x$
C.$y=x^2 - 30x$
D.$y=-2x^2 + 15$
B
）A.$y=-x^2 + 30x$
B.$y=-x^2 + 15x$
C.$y=x^2 - 30x$
D.$y=-2x^2 + 15$
答案
7.B
解析
【分析】
解题时首先明确铁丝总长就是矩形的周长，第一步根据矩形周长公式求出矩形另一边长的表达式，再结合矩形面积=长×宽的公式，将两边长代入后化简，即可得到y与x的函数关系式，最后对应选项选出答案即可。
【解析】
已知铁丝长30cm，即矩形的周长为30cm。
矩形一边长为x cm，根据矩形周长公式$C=2(a+b)$，可得另一边长为$\frac{30}{2}-x=15-x$（cm）。
再根据矩形面积公式$S=ab$，可得面积$y=x(15-x)$，展开整理得：$y=-x^2+15x$，对应选项B。
【答案】
B
【知识点】
矩形周长公式、矩形面积公式、列二次函数关系式
【点评】
本题属于二次函数基础应用类题目，核心是结合几何图形的基本公式建立函数关系，解题的关键是先通过周长求出未知边的表达式，再代入面积公式化简，整体计算量小，只要熟练掌握矩形的相关公式就能顺利解答。
【难度系数】
0.8
解题时首先明确铁丝总长就是矩形的周长，第一步根据矩形周长公式求出矩形另一边长的表达式，再结合矩形面积=长×宽的公式，将两边长代入后化简，即可得到y与x的函数关系式，最后对应选项选出答案即可。
【解析】
已知铁丝长30cm，即矩形的周长为30cm。
矩形一边长为x cm，根据矩形周长公式$C=2(a+b)$，可得另一边长为$\frac{30}{2}-x=15-x$（cm）。
再根据矩形面积公式$S=ab$，可得面积$y=x(15-x)$，展开整理得：$y=-x^2+15x$，对应选项B。
【答案】
B
【知识点】
矩形周长公式、矩形面积公式、列二次函数关系式
【点评】
本题属于二次函数基础应用类题目，核心是结合几何图形的基本公式建立函数关系，解题的关键是先通过周长求出未知边的表达式，再代入面积公式化简，整体计算量小，只要熟练掌握矩形的相关公式就能顺利解答。
【难度系数】
0.8
8. A教材经典素材·水土流失治理问题 2020年，我国新增水土流失治理面积约为6万平方千米，如果2021年、2022年我国新增水土流失治理面积年均增长率为x，2022年我国新增水土流失治理面积为y万平方千米，那么y与x之间的函数关系式是（
A.$y=6(1+2x)$
B.$y=6x^2$
C.$y=6+2x$
D.$y=6(1+x)^2$
D
）A.$y=6(1+2x)$
B.$y=6x^2$
C.$y=6+2x$
D.$y=6(1+x)^2$
答案
8.D
解析
【分析】
这是一道平均增长率的实际应用题，解题思路如下：首先明确初始值是2020年的治理面积6万平方千米，年均增长率为x，平均增长率的计算逻辑是：下一年的量=上一年的量×(1+增长率)。我们可以先算出2021年的治理面积，再以2021年的面积为基础，算出2022年的治理面积，就能得到y和x的函数关系式。
【解析】
已知2020年新增水土流失治理面积为6万平方千米，年均增长率为x：
1. 计算2021年的治理面积：2021年的面积是在2020年的基础上增长x，因此2021年面积为 $ 6(1+x) $ 万平方千米；
2. 计算2022年的治理面积：2022年的面积是在2021年的基础上再增长x，因此2022年面积为 $ 6(1+x) × (1+x) = 6(1+x)^2 $ 万平方千米；
因此y与x的函数关系式为 $ y=6(1+x)^2 $，对应选项D。
【答案】
D
【知识点】
二次函数的实际应用，增长率问题
【点评】
本题属于基础应用题，核心考查平均增长率的计算公式，解题时要注意连续增长的年份数对应幂的次数，避免混淆单次增长和多次增长的计算逻辑。
【难度系数】
0.8
这是一道平均增长率的实际应用题，解题思路如下：首先明确初始值是2020年的治理面积6万平方千米，年均增长率为x，平均增长率的计算逻辑是：下一年的量=上一年的量×(1+增长率)。我们可以先算出2021年的治理面积，再以2021年的面积为基础，算出2022年的治理面积，就能得到y和x的函数关系式。
【解析】
已知2020年新增水土流失治理面积为6万平方千米，年均增长率为x：
1. 计算2021年的治理面积：2021年的面积是在2020年的基础上增长x，因此2021年面积为 $ 6(1+x) $ 万平方千米；
2. 计算2022年的治理面积：2022年的面积是在2021年的基础上再增长x，因此2022年面积为 $ 6(1+x) × (1+x) = 6(1+x)^2 $ 万平方千米；
因此y与x的函数关系式为 $ y=6(1+x)^2 $，对应选项D。
【答案】
D
【知识点】
二次函数的实际应用，增长率问题
【点评】
本题属于基础应用题，核心考查平均增长率的计算公式，解题时要注意连续增长的年份数对应幂的次数，避免混淆单次增长和多次增长的计算逻辑。
【难度系数】
0.8
9.某商品现在的售价为每件60元，每星期可卖出300件.市场调查反映，如果调整商品售价，每降价1元，每星期可多卖出20件.设每件商品降价x元后，每星期售出商品的总销售额为y元，则y与x之间的函数关系式为（
A.$y=60(300+20x)$
B.$y=(60-x)(300+20x)$
C.$y=300(60-20x)$
D.$y=(60-x)(300-20x)$
B
）A.$y=60(300+20x)$
B.$y=(60-x)(300+20x)$
C.$y=300(60-20x)$
D.$y=(60-x)(300-20x)$
答案
9.B
解析
【分析】
要得到y与x的函数关系式，首先回忆销售问题中总销售额的计算公式：总销售额=单件售价×销售总量。我们只需要分别表示出降价x元后的单件售价和对应的销售总量，再代入公式即可。首先，原售价为60元，降价x元后，单件售价会减少x元；其次，原销量为300件，每降价1元多卖20件，降价x元后销量会增加20x件，把两个量相乘就能得到总销售额的表达式。
【解析】
解：根据“总销售额=单件售价×销售总量”计算：
1. 降价x元后，每件商品的售价为：$60 - x$（元）
2. 降价x元后，每星期的销售量为：$300 + 20x$（件）
3. 代入公式可得总销售额：$y=(60-x)(300+20x)$
因此选项B符合题意。
【答案】
B
【知识点】
销售问题等量关系，根据实际问题列函数关系式
【点评】
本题是销售类函数关系式的基础题型，解题核心是找准总销售额的计算要素，注意降价会让单价降低、销售量提升，不要搞反两个量的变化规律即可快速求解。
【难度系数】
0.8
要得到y与x的函数关系式，首先回忆销售问题中总销售额的计算公式：总销售额=单件售价×销售总量。我们只需要分别表示出降价x元后的单件售价和对应的销售总量，再代入公式即可。首先，原售价为60元，降价x元后，单件售价会减少x元；其次，原销量为300件，每降价1元多卖20件，降价x元后销量会增加20x件，把两个量相乘就能得到总销售额的表达式。
【解析】
解：根据“总销售额=单件售价×销售总量”计算：
1. 降价x元后，每件商品的售价为：$60 - x$（元）
2. 降价x元后，每星期的销售量为：$300 + 20x$（件）
3. 代入公式可得总销售额：$y=(60-x)(300+20x)$
因此选项B符合题意。
【答案】
B
【知识点】
销售问题等量关系，根据实际问题列函数关系式
【点评】
本题是销售类函数关系式的基础题型，解题核心是找准总销售额的计算要素，注意降价会让单价降低、销售量提升，不要搞反两个量的变化规律即可快速求解。
【难度系数】
0.8
10. (教材习题变式)一个矩形的长是4 cm，宽是3 cm，假设将其长和宽都增加x cm时，矩形的面积增加$y\ \mathrm{cm}^2$.
(1)写出$y$与$x$之间的关系式.
(2)当矩形的长和宽都分别增加1 cm，2 cm，3 cm时，矩形的面积各增加多少？
(1)写出$y$与$x$之间的关系式.
(2)当矩形的长和宽都分别增加1 cm，2 cm，3 cm时，矩形的面积各增加多少？
答案
10.解:(1)由题意,得$y=(4+x)(3+x)-3×4$,化简,得$y=x^2+7x$。
(2)当$x=1$时,$y=1^2+7×1=8$;当$x=2$时,$y=2^2+7×2=18$;当$x=3$时,$y=3^2+7×3=30$。答:当矩形的长和宽都分别增加1 cm,2 cm,3 cm时,矩形的面积分别增加8 cm²,18 cm²,30 cm²。
(2)当$x=1$时,$y=1^2+7×1=8$;当$x=2$时,$y=2^2+7×2=18$;当$x=3$时,$y=3^2+7×3=30$。答:当矩形的长和宽都分别增加1 cm,2 cm,3 cm时,矩形的面积分别增加8 cm²,18 cm²,30 cm²。
解析
【分析】
(1) 求解y与x的关系式时，核心思路是“面积增加量=长和宽增加后的矩形面积 - 原矩形面积”。先分别计算原矩形面积、长宽增加x cm后的新矩形面积，两者作差后化简整式即可得到函数关系式。
(2) 第二问属于已知自变量求函数值的问题，只需将x=1、x=2、x=3分别代入第一问得到的关系式中，计算对应的y值即可。
【解析】
(1) 原矩形的面积为$4×3=12\ \mathrm{cm}^2$，长和宽都增加x cm后，长为$(4+x)\ \mathrm{cm}$，宽为$(3+x)\ \mathrm{cm}$，新矩形面积为$(4+x)(3+x)\ \mathrm{cm}^2$。
根据题意列关系式：
$\begin{aligned}y&=(4+x)(3+x)-4×3\\&=x^2+7x+12-12\\&=x^2+7x\end{aligned}$
(2) 分别代入x的值计算：
当$x=1$时，$y=1^2+7×1=8$；
当$x=2$时，$y=2^2+7×2=18$；
当$x=3$时，$y=3^2+7×3=30$。
【答案】
(1) $y=x^2+7x$；
(2) 当矩形的长和宽分别增加1 cm、2 cm、3 cm时，面积分别增加$8\ \mathrm{cm}^2$、$18\ \mathrm{cm}^2$、$30\ \mathrm{cm}^2$。
【知识点】
二次函数实际应用、整式化简、代数式求值
【点评】
本题是二次函数基础应用题，侧重考查利用图形面积的数量关系建立函数表达式的能力，以及代入求值的运算能力，掌握矩形面积公式和整式运算规则即可轻松解答。
【难度系数】
0.85
(1) 求解y与x的关系式时，核心思路是“面积增加量=长和宽增加后的矩形面积 - 原矩形面积”。先分别计算原矩形面积、长宽增加x cm后的新矩形面积，两者作差后化简整式即可得到函数关系式。
(2) 第二问属于已知自变量求函数值的问题，只需将x=1、x=2、x=3分别代入第一问得到的关系式中，计算对应的y值即可。
【解析】
(1) 原矩形的面积为$4×3=12\ \mathrm{cm}^2$，长和宽都增加x cm后，长为$(4+x)\ \mathrm{cm}$，宽为$(3+x)\ \mathrm{cm}$，新矩形面积为$(4+x)(3+x)\ \mathrm{cm}^2$。
根据题意列关系式：
$\begin{aligned}y&=(4+x)(3+x)-4×3\\&=x^2+7x+12-12\\&=x^2+7x\end{aligned}$
(2) 分别代入x的值计算：
当$x=1$时，$y=1^2+7×1=8$；
当$x=2$时，$y=2^2+7×2=18$；
当$x=3$时，$y=3^2+7×3=30$。
【答案】
(1) $y=x^2+7x$；
(2) 当矩形的长和宽分别增加1 cm、2 cm、3 cm时，面积分别增加$8\ \mathrm{cm}^2$、$18\ \mathrm{cm}^2$、$30\ \mathrm{cm}^2$。
【知识点】
二次函数实际应用、整式化简、代数式求值
【点评】
本题是二次函数基础应用题，侧重考查利用图形面积的数量关系建立函数表达式的能力，以及代入求值的运算能力，掌握矩形面积公式和整式运算规则即可轻松解答。
【难度系数】
0.85
