学习任务一 确定圆的条件
|情境探究|
平面上的点如图①、图②、图③所示.

问题1:如图①,经过一个点A能作几个圆?圆心在哪里?请作出图形.
问题2:如图②,经过两个点A,B能作几个圆?圆心在哪里?请作出图形.
问题3:如图③,经过不在同一条直线上的三个点A,B,C能作几个圆?圆心在哪里?请作出图形.
|知识梳理|
不在同一条直线上的个点确定一个圆.

问题1:能作无数个圆,圆心为点A以外任意一点.
问题2:能作无数个圆,圆心都在线段AB的垂直平分线上.
问题3:经过不在同一条直线上的三个点A,B,C只能作一个圆,圆心是线段AB,BC垂直平分线的交点.
知识梳理：不在同一条直线上的三个点确定一个圆。

【分析】
结合圆的定义和线段垂直平分线的性质逐步推导：①过1个点作圆时，只要圆心到该点的距离等于半径即可，除该点外平面内任意点都可作为圆心，因此可作无数个圆；②过2个点作圆时，圆心到两个点的距离需相等，因此圆心都在两点连线的垂直平分线上，垂直平分线上有无数个点，因此可作无数个圆；③过不在同一直线的3个点作圆时，圆心需要同时到三个点的距离相等，即圆心是任意两点连线垂直平分线的交点，两条直线相交只有1个交点，因此只能作1个圆，由此可归纳出确定圆的条件。
【解析】
问题1：根据圆的定义，只要点到A的距离为半径即可作出过A的圆，平面内除点A外的任意点都可作为圆心，因此能作无数个圆，圆心为点A以外任意一点。
问题2：要使圆同时经过A、B两点，圆心到A、B的距离必须相等，根据线段垂直平分线的性质，到A、B距离相等的点都在线段AB的垂直平分线上，垂直平分线上有无数个点，因此能作无数个圆，圆心都在线段AB的垂直平分线上。
问题3：要使圆同时经过A、B、C三个不在同一直线上的点，圆心需同时满足到A、B距离相等，到B、C距离相等，即圆心是线段AB和BC的垂直平分线的交点，两条直线相交只有1个交点，圆心确定后半径也随之确定，因此只能作1个圆，圆心是线段AB、BC垂直平分线的交点。
结合上述推导可得，不在同一条直线上的三个点确定一个圆。
【答案】
问题1:能作无数个圆,圆心为点A以外任意一点。
问题2:能作无数个圆,圆心都在线段AB的垂直平分线上。
问题3:经过不在同一条直线上的三个点A,B,C只能作一个圆,圆心是线段AB,BC垂直平分线的交点。
知识梳理：不在同一条直线上的三个点确定一个圆。
【知识点】
确定圆的条件、线段垂直平分线的性质、圆的定义
【点评】
本题从过不同数量点作圆的情况逐步推导，帮助理解三点确定圆的定理，需注意定理的适用前提是三点不在同一直线上，属于基础概念类题目，需熟练掌握。
【难度系数】
0.9

学习任务二 三角形外接圆的有关概念
1.三角形的外接圆:经过三角形的的圆.如图,⊙O是△ABC的外接圆.
2.三角形的外心:三角形的的圆心,同时是三角形三条边的的交点.如图,点O是△ABC的外心.
3.三角形外心的性质:
三角形的外心到三角形的距离相等,等于其外接圆的.

1.三个顶点
2.外接圆 垂直平分线
3.三个顶点 半径

【分析】
这道题考查三角形外接圆、外心的相关基础概念，解题时只需结合教材中对应定义，逐空匹配内容即可：首先回忆外接圆的定义确定第1空；再结合外心的定义确定第2空的两个内容；最后根据外心的几何特征推导其性质，完成第3空的填写。
【解析】
1. 根据三角形外接圆的定义：经过三角形三个顶点的圆叫做三角形的外接圆，因此第1空填三个顶点。
2. 根据三角形外心的定义：三角形外接圆的圆心叫做三角形的外心，由于圆心到圆上各点距离相等，因此外心是三角形三条边的垂直平分线的交点，垂直平分线上的点到线段两端点距离相等，三条垂直平分线的公共交点到三角形三个顶点距离均相等，因此第2空依次填外接圆、垂直平分线。
3. 根据外心的性质：外心到三角形三个顶点的距离都相等，这个距离就是外接圆的半径，因此第3空依次填三个顶点、半径。
【答案】
1.三个顶点
2.外接圆 垂直平分线
3.三个顶点 半径
【知识点】
三角形外接圆定义，三角形外心定义，外心的性质
【点评】
本题属于基础概念识记类题目，侧重对基础定义的考查，只要熟练掌握相关概念就能快速作答，是圆相关基础内容的常考题型。
【难度系数】
0.9

学习任务三 反证法
先提出与结论的假设，再推导出和定义、、定理或题设等相矛盾的结果，然后由矛盾断定所作假设，从而得到原命题。这种方法叫作反证法。

先提出与结论相反的假设，再推导出和定义、基本事实、定理或题设等相矛盾的结果，然后由矛盾断定所作假设不正确，从而得到原命题成立。这种方法叫作反证法。

【分析】
本题考查反证法的基本定义，解题时只需回忆反证法的操作步骤逐一对应填空即可：反证法的第一步是“反设”，即提出与原命题结论相反的假设；接下来进行推导，若推导出的结果和已有的定义、基本事实、已经证明的定理或者题目给出的题设矛盾，就说明之前的假设是错误的，既然假设不成立，那么原命题的结论自然成立，按照这个逻辑对应填写空缺内容即可。
【解析】
根据反证法的定义逐步填写：
1. 反证法第一步为反设，需提出与结论相反的假设；
2. 推导得出的矛盾需和公认的正确结论相悖，包含定义、基本事实（人教版教材对公理的统一表述）、定理、题设等；
3. 出现矛盾说明预先作出的假设不成立，即所作假设不正确；
4. 假设错误即可推导得出原命题成立。
【答案】
先提出与结论相反的假设，再推导出和定义、基本事实、定理或题设等相矛盾的结果，然后由矛盾断定所作假设不正确，从而得到原命题成立。这种方法叫作反证法。
【知识点】
反证法的定义
【点评】
本题属于基础概念识记类题目，核心考查对反证法基本操作步骤的记忆，只要熟练掌握反证法的核心逻辑和步骤就能快速作答。
【难度系数】
0.9

【例1】如图所示，残破的圆形轮片上，弦AB的垂直平分线交$\overset{\frown}{AB}$于点C，交弦AB于
点D.已知$AB=24\ \mathrm{cm}$，$CD=8\ \mathrm{cm}$.
(1)求作此残片所在的圆(不写作法，保留作图痕迹)；
(2)求(1)中所作圆的半径.
|思路分析|
寻找共性
思考1:求作残片所在的圆,关键是找出,即两条弦的.
思考2:求半径的长,可以作辅助线构造直角三角形,利用定理求解.
解:
【规律方法】
确定圆心的方法
(1)不在同一条直线上的三个点确定一个圆,三个点所连线段的垂直平分线的交点即为圆心.
(2)确定直径,两条直径的交点或一条直径的中点即为圆心.
|变式训练|

解:(1)如图.
(2)所作圆的半径为13 cm.

【分析】
(1) 要确定残片所在的圆，核心是先确定圆心，根据不在同一直线上的三点确定一个圆的原理，选取残片上的A、B、C三个点，作任意两条弦的垂直平分线，交点即为圆心，再以圆心到点的距离为半径画圆即可完成作图。
(2) 求半径时，连接圆心O与点A构造直角三角形：已知CD是AB的垂直平分线，可先求出AD的长度，设半径为r，用含r的式子表示OD的长度，再利用勾股定理列方程求解即可得到半径。
【解析】
(1) 作弦AC的垂直平分线，与AB的垂直平分线CD交于点O，以O为圆心、OA长为半径作圆，即为残片所在的圆。
(2) 连接OA，设所作圆的半径为$r\ \mathrm{cm}$。
∵ CD垂直平分AB，$AB=24\ \mathrm{cm}$
∴ $AD=\frac{1}{2}AB=12\ \mathrm{cm}$，$∠ ADO=90°$
∵ $CD=8\ \mathrm{cm}$，
∴ $OD=OC-CD=(r-8)\ \mathrm{cm}$
在$\mathrm{Rt}△ ADO$中，由勾股定理得$OA^2=AD^2+OD^2$，代入数值得：
$r^2=12^2+(r-8)^2$
展开化简：$r^2=144+r^2-16r+64$
$16r=208$
解得$r=13$
【答案】
(1)
(2) 所作圆的半径为$13\ \mathrm{cm}$。
【知识点】
确定圆的条件，垂径定理，勾股定理
【点评】
本题是圆的性质的基础应用题型，既考查了残缺圆复原的作图方法，又考查了结合垂径定理构造直角三角形、用方程思想求解线段长度的能力，对几何综合应用能力有一定基础要求。
【难度系数】
0.7