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(1)有一块周长为 62.8 m 的圆形草坪，园丁准备在圆形草坪的中心点安装自动喷灌装置，安装射程为(
10
)m 的喷灌装置最合适。答案
10
解析
【分析】
要解决这个问题，首先得明确喷灌装置的射程对应的数学量：喷灌装在圆形草坪的中心点，要覆盖整块草坪，射程就等于圆形草坪的半径。题目已知圆形草坪的周长，我们可以利用圆的周长公式反推出半径，就能得到最合适的射程。
【解析】
首先，喷灌装置的射程等于圆形草坪的半径。
已知圆的周长公式为 $ C=2π r $（其中$ C $是周长，$ r $是半径，小学阶段$ π $取3.14），已知周长$ C=62.8\mathrm{m} $，变形得半径计算公式：
$ r = C÷(2π) $
代入数值计算：
$ 2π=2×3.14=6.28 $
$ r=62.8÷6.28=10(\mathrm{m}) $
【答案】
10
【知识点】
1. 圆的周长公式应用
2. 圆的基本特征
【点评】
这道题将生活实际问题和圆的相关知识结合，需要先理解实际场景中“射程”对应的数学概念，再用周长公式计算求解，侧重考查知识的灵活运用和解决实际问题的能力。
【难度系数】
0.8
要解决这个问题，首先得明确喷灌装置的射程对应的数学量：喷灌装在圆形草坪的中心点，要覆盖整块草坪，射程就等于圆形草坪的半径。题目已知圆形草坪的周长，我们可以利用圆的周长公式反推出半径，就能得到最合适的射程。
【解析】
首先，喷灌装置的射程等于圆形草坪的半径。
已知圆的周长公式为 $ C=2π r $（其中$ C $是周长，$ r $是半径，小学阶段$ π $取3.14），已知周长$ C=62.8\mathrm{m} $，变形得半径计算公式：
$ r = C÷(2π) $
代入数值计算：
$ 2π=2×3.14=6.28 $
$ r=62.8÷6.28=10(\mathrm{m}) $
【答案】
10
【知识点】
1. 圆的周长公式应用
2. 圆的基本特征
【点评】
这道题将生活实际问题和圆的相关知识结合，需要先理解实际场景中“射程”对应的数学概念，再用周长公式计算求解，侧重考查知识的灵活运用和解决实际问题的能力。
【难度系数】
0.8
(2)如果一个扇形的圆心角是$180°$，半径是2 cm，那么这个扇形的面积是(
6.28
)$\mathrm{cm}^2$，这个扇形的周长是(10.28
)cm。答案
6.28；10.28
解析
【分析】
解题时首先观察扇形的圆心角为180°，可知该扇形是半圆，圆心角占整个圆周角360°的$\frac{1}{2}$。求扇形面积时，先计算对应整圆的面积，再乘圆心角占比即可；求扇形周长时需注意，扇形周长不仅包含弯曲的弧长，还要加上两条半径的长度，不要混淆弧长和扇形周长的概念。
【解析】
1. 计算扇形面积：
首先求圆心角占比：$180°÷360°=\frac{1}{2}$
整圆面积：$S_圆=πr^2=3.14×2^2=12.56(\mathrm{cm}^2)$
扇形面积：$12.56×\frac{1}{2}=6.28(\mathrm{cm}^2)$
2. 计算扇形周长：
首先求弧长（即整圆周长的一半）：
整圆周长：$C_圆=2πr=2×3.14×2=12.56(\mathrm{cm})$
弧长：$12.56×\frac{1}{2}=6.28(\mathrm{cm})$
扇形周长=弧长+2条半径的长度：$6.28 + 2×2=6.28+4=10.28(\mathrm{cm})$
【答案】
6.28；10.28
【知识点】
扇形面积计算，扇形周长计算，圆的周长与面积计算
【点评】
本题主要考查扇形面积和周长的计算，易错点是计算扇形周长时容易遗漏两条半径的长度，解题时要注意区分弧长和扇形周长的概念，避免漏算半径长度导致出错。
【难度系数】
0.7
解题时首先观察扇形的圆心角为180°，可知该扇形是半圆，圆心角占整个圆周角360°的$\frac{1}{2}$。求扇形面积时，先计算对应整圆的面积，再乘圆心角占比即可；求扇形周长时需注意，扇形周长不仅包含弯曲的弧长，还要加上两条半径的长度，不要混淆弧长和扇形周长的概念。
【解析】
1. 计算扇形面积：
首先求圆心角占比：$180°÷360°=\frac{1}{2}$
整圆面积：$S_圆=πr^2=3.14×2^2=12.56(\mathrm{cm}^2)$
扇形面积：$12.56×\frac{1}{2}=6.28(\mathrm{cm}^2)$
2. 计算扇形周长：
首先求弧长（即整圆周长的一半）：
整圆周长：$C_圆=2πr=2×3.14×2=12.56(\mathrm{cm})$
弧长：$12.56×\frac{1}{2}=6.28(\mathrm{cm})$
扇形周长=弧长+2条半径的长度：$6.28 + 2×2=6.28+4=10.28(\mathrm{cm})$
【答案】
6.28；10.28
【知识点】
扇形面积计算，扇形周长计算，圆的周长与面积计算
【点评】
本题主要考查扇形面积和周长的计算，易错点是计算扇形周长时容易遗漏两条半径的长度，解题时要注意区分弧长和扇形周长的概念，避免漏算半径长度导致出错。
【难度系数】
0.7
2. 计算下图中阴影部分的面积。
答案
$S_{\mathrm{阴}}=\frac{1}{4}S_{\mathrm{环}}=\frac{1}{4}×π(R^{2}-r^{2})$
$=\frac{1}{4}×3.14×(6^{2}-4^{2})$
$=15.7(\mathrm{cm}^{2})$
$=\frac{1}{4}×3.14×(6^{2}-4^{2})$
$=15.7(\mathrm{cm}^{2})$
3.某火锅店有一张半径为60 cm的旧圆桌，李叔叔打算在圆桌的边缘钉上一圈铁条，并用油漆重新刷一下桌面。
（1）李叔叔至少需要多长的铁条？
（2）桌面的面积有多大？
（3）为了保证有足够的面积来放更多的盘子，李叔叔将圆形桌面的直径改为160 cm，那么增加部分的面积是多少平方厘米？
（1）李叔叔至少需要多长的铁条？
（2）桌面的面积有多大？
（3）为了保证有足够的面积来放更多的盘子，李叔叔将圆形桌面的直径改为160 cm，那么增加部分的面积是多少平方厘米？
答案
(1) $C=2π r=2×3.14×60=376.8(\mathrm{cm})$
(2) $S=π r^{2}=3.14×60^{2}=11304(\mathrm{cm}^{2})$
(3) $160÷2=80(\mathrm{cm})$
$S_{\mathrm{增}}=π(R^{2}-r^{2})=3.14×(80^{2}-60^{2})=8792(\mathrm{cm}^{2})$
(2) $S=π r^{2}=3.14×60^{2}=11304(\mathrm{cm}^{2})$
(3) $160÷2=80(\mathrm{cm})$
$S_{\mathrm{增}}=π(R^{2}-r^{2})=3.14×(80^{2}-60^{2})=8792(\mathrm{cm}^{2})$
解析
【分析】
解题时先结合题意判断每个问题对应的几何量，再对应公式计算：
1. 圆桌边缘钉一圈铁条的长度就是圆形桌面的周长，已知半径，直接代入圆的周长公式计算即可；
2. 刷油漆的桌面面积就是半径为60cm的圆的面积，代入圆的面积公式计算即可；
3. 直径修改后增加的面积是圆环的面积，先算出新桌面的半径，再用圆环面积公式（外圆面积减内圆面积）计算即可。
【解析】
（1）铁条长度等于圆形桌面的周长：
$C=2π r=2×3.14×60=376.8(\mathrm{cm})$
（2）桌面面积等于圆形桌面的面积：
$S=π r^{2}=3.14×60^{2}=11304(\mathrm{cm}^{2})$
（3）先计算修改后桌面的半径：$160÷2=80(\mathrm{cm})$
增加部分为圆环，面积计算如下：
$S_{\mathrm{增}}=π(R^{2}-r^{2})=3.14×(80^{2}-60^{2})=8792(\mathrm{cm}^{2})$
【答案】
（1）376.8cm；（2）11304cm²；（3）8792cm²
【知识点】
圆的周长计算、圆的面积计算、圆环面积计算
【点评】
本题结合生活场景考查圆相关公式的应用，解题时需先明确所求量对应的几何概念，代入公式计算时要注意区分半径和直径，不要混淆周长、面积的计算公式。
【难度系数】
0.8
解题时先结合题意判断每个问题对应的几何量，再对应公式计算：
1. 圆桌边缘钉一圈铁条的长度就是圆形桌面的周长，已知半径，直接代入圆的周长公式计算即可；
2. 刷油漆的桌面面积就是半径为60cm的圆的面积，代入圆的面积公式计算即可；
3. 直径修改后增加的面积是圆环的面积，先算出新桌面的半径，再用圆环面积公式（外圆面积减内圆面积）计算即可。
【解析】
（1）铁条长度等于圆形桌面的周长：
$C=2π r=2×3.14×60=376.8(\mathrm{cm})$
（2）桌面面积等于圆形桌面的面积：
$S=π r^{2}=3.14×60^{2}=11304(\mathrm{cm}^{2})$
（3）先计算修改后桌面的半径：$160÷2=80(\mathrm{cm})$
增加部分为圆环，面积计算如下：
$S_{\mathrm{增}}=π(R^{2}-r^{2})=3.14×(80^{2}-60^{2})=8792(\mathrm{cm}^{2})$
【答案】
（1）376.8cm；（2）11304cm²；（3）8792cm²
【知识点】
圆的周长计算、圆的面积计算、圆环面积计算
【点评】
本题结合生活场景考查圆相关公式的应用，解题时需先明确所求量对应的几何概念，代入公式计算时要注意区分半径和直径，不要混淆周长、面积的计算公式。
【难度系数】
0.8
4. 如下图所示，某停车场的起落杆长3 m，起落杆完成一次升起运动，扫过的面积是多少平方米？（起落杆安装接口处的长度忽略不计）
答案
$S=\frac{1}{4}π r^{2}=\frac{1}{4}×3.14×3^{2}=7.065(\mathrm{m}^{2})$
解析
【分析】首先观察起落杆的运动过程：起落杆从水平位置升起转到竖直位置，转过的角度是90°，刚好是整个周角（360°）的$\frac{1}{4}$，因此起落杆扫过的区域是一个圆心角为90°、半径为起落杆长度的扇形，也就是$\frac{1}{4}$个圆。解题时只需要先算出半径为3m的圆的面积，再乘$\frac{1}{4}$就能得到扫过的面积。
【解析】解：起落杆扫过的区域是$\frac{1}{4}$个圆，圆的半径$r=3\mathrm{m}$。
根据圆的面积公式$S_{\mathrm{圆}}=π r^2$，可得扫过的面积：
$S=\frac{1}{4}π r^2=\frac{1}{4}×3.14×3^2=\frac{1}{4}×3.14×9=7.065(\mathrm{m}^2)$
【答案】$7.065$平方米
【知识点】圆的面积计算；扇形面积计算
【点评】本题结合生活中的起落杆场景出题，解题的核心是先判断出扫过的图形是四分之一圆，再代入圆的面积公式计算即可，需要具备将实际问题转化为数学图形问题的能力。
【难度系数】0.7
【解析】解：起落杆扫过的区域是$\frac{1}{4}$个圆，圆的半径$r=3\mathrm{m}$。
根据圆的面积公式$S_{\mathrm{圆}}=π r^2$，可得扫过的面积：
$S=\frac{1}{4}π r^2=\frac{1}{4}×3.14×3^2=\frac{1}{4}×3.14×9=7.065(\mathrm{m}^2)$
【答案】$7.065$平方米
【知识点】圆的面积计算；扇形面积计算
【点评】本题结合生活中的起落杆场景出题，解题的核心是先判断出扫过的图形是四分之一圆，再代入圆的面积公式计算即可，需要具备将实际问题转化为数学图形问题的能力。
【难度系数】0.7
5. 下图是一把扇子的示意图，圆心角是$120°$。请你算出这把扇子的面积和周长。
答案
面积：$S=\frac{120°}{360°}×π(R^{2}-r^{2})=\frac{1}{3}×3.14×(6^{2}-3^{2})=28.26(\mathrm{cm}^{2})$
周长：$C_{\mathrm{扇}}=\frac{120°}{360°}×2π R+\frac{120°}{360°}×2π r+2×(6-3)$
$=\frac{1}{3}×2×3.14×6+\frac{1}{3}×2×3.14×3+6$
$=12.56+6.28+6$
$=24.84(\mathrm{cm})$
周长：$C_{\mathrm{扇}}=\frac{120°}{360°}×2π R+\frac{120°}{360°}×2π r+2×(6-3)$
$=\frac{1}{3}×2×3.14×6+\frac{1}{3}×2×3.14×3+6$
$=12.56+6.28+6$
$=24.84(\mathrm{cm})$
解析
【分析】
这道题是求圆心角为120°的扇环的面积和周长，解题思路如下：1. 求面积：扇环是圆环的一部分，120°占整个圆周角360°的$\frac{120°}{360°}=\frac{1}{3}$，因此扇环面积=圆环面积×$\frac{1}{3}$，圆环面积公式为$S_{圆环}=π(R²-r²)$，其中R是外圆半径，r是内圆半径。2. 求周长：扇环的周长由三部分组成，分别是外扇形弧长、内扇形弧长，以及两条连接内外弧的直边长度，每条直边长度为外半径减内半径的差，两条直边总长为$2×(R-r)$，弧长可通过对应圆心角占比乘整圆周长计算。
【解析】
已知扇环外半径$R=6\mathrm{cm}$，内半径$r=3\mathrm{cm}$，圆心角为120°：
1. 计算面积：
圆心角占比：$\frac{120°}{360°}=\frac{1}{3}$
$S=\frac{1}{3}×π×(R²-r²)=\frac{1}{3}×3.14×(6²-3²)=\frac{1}{3}×3.14×27=28.26(\mathrm{cm²})$
2. 计算周长：
外弧长：$\frac{1}{3}×2πR=\frac{1}{3}×2×3.14×6=12.56(\mathrm{cm})$
内弧长：$\frac{1}{3}×2πr=\frac{1}{3}×2×3.14×3=6.28(\mathrm{cm})$
两条直边总长：$2×(6-3)=6(\mathrm{cm})$
$C_{\mathrm{扇}}=12.56+6.28+6=24.84(\mathrm{cm})$
【答案】
面积是$28.26\mathrm{cm}^2$，周长是$24.84\mathrm{cm}$
【知识点】
扇环面积计算；扇形弧长计算；扇形周长计算
【点评】
本题重点考查扇环的面积和周长计算，解题时要注意周长除了两段弧长外，还需要加上两条直边的长度，避免漏算导致结果错误，计算过程中要注意分数和小数的运算准确性。
【难度系数】
0.7
这道题是求圆心角为120°的扇环的面积和周长，解题思路如下：1. 求面积：扇环是圆环的一部分，120°占整个圆周角360°的$\frac{120°}{360°}=\frac{1}{3}$，因此扇环面积=圆环面积×$\frac{1}{3}$，圆环面积公式为$S_{圆环}=π(R²-r²)$，其中R是外圆半径，r是内圆半径。2. 求周长：扇环的周长由三部分组成，分别是外扇形弧长、内扇形弧长，以及两条连接内外弧的直边长度，每条直边长度为外半径减内半径的差，两条直边总长为$2×(R-r)$，弧长可通过对应圆心角占比乘整圆周长计算。
【解析】
已知扇环外半径$R=6\mathrm{cm}$，内半径$r=3\mathrm{cm}$，圆心角为120°：
1. 计算面积：
圆心角占比：$\frac{120°}{360°}=\frac{1}{3}$
$S=\frac{1}{3}×π×(R²-r²)=\frac{1}{3}×3.14×(6²-3²)=\frac{1}{3}×3.14×27=28.26(\mathrm{cm²})$
2. 计算周长：
外弧长：$\frac{1}{3}×2πR=\frac{1}{3}×2×3.14×6=12.56(\mathrm{cm})$
内弧长：$\frac{1}{3}×2πr=\frac{1}{3}×2×3.14×3=6.28(\mathrm{cm})$
两条直边总长：$2×(6-3)=6(\mathrm{cm})$
$C_{\mathrm{扇}}=12.56+6.28+6=24.84(\mathrm{cm})$
【答案】
面积是$28.26\mathrm{cm}^2$，周长是$24.84\mathrm{cm}$
【知识点】
扇环面积计算；扇形弧长计算；扇形周长计算
【点评】
本题重点考查扇环的面积和周长计算，解题时要注意周长除了两段弧长外，还需要加上两条直边的长度，避免漏算导致结果错误，计算过程中要注意分数和小数的运算准确性。
【难度系数】
0.7
