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9. 新情境 兰兰和笑笑分别解一道关于x的一元二次方程，兰兰因把一次项系数看错，解得方程的两根为－2和6，笑笑因把常数项看错，解得方程的两根为3和4，则原方程可能是（
A.$x^2 +7x -12=0$
B.$x^2 -7x -12=0$
C.$x^2 +7x +12=0$
D.$x^2 -7x +12=0$
B
）A.$x^2 +7x -12=0$
B.$x^2 -7x -12=0$
C.$x^2 +7x +12=0$
D.$x^2 -7x +12=0$
答案
B
解析
【分析】
这道题考查一元二次方程根与系数的关系（韦达定理）的灵活应用，解题核心是抓住“仅看错某一项，其余项均正确”的特点：①兰兰只看错一次项系数，说明她计算时用的二次项系数、常数项和原方程完全一致，因此她解得的两根之积等于原方程的两根之积，可直接求出原方程的常数项；②笑笑只看错常数项，说明她计算时用的二次项系数、一次项系数和原方程完全一致，因此她解得的两根之和等于原方程的两根之和，可直接求出原方程的一次项系数，结合题目选项都是二次项系数为1的方程，就能直接写出原方程。
【解析】
设原一元二次方程为$x^2+bx+c=0$（二次项系数为1），根据韦达定理：对于一元二次方程$ax^2+bx+c=0(a≠0)$，若两根为$x_1、x_2$，则满足$x_1+x_2=-\frac{b}{a}$，$x_1x_2=\frac{c}{a}$。
1. 求常数项$c$：
兰兰仅看错一次项系数，常数项$c$正确，她解得的两根为-2和6，因此：
$c=x_1x_2=(-2)×6=-12$
2. 求一次项系数$b$：
笑笑仅看错常数项，一次项系数$b$正确，她解得的两根为3和4，因此：
$x_1+x_2=3+4=7=-\frac{b}{1}$，解得$b=-7$
3. 写出原方程：
将$b=-7$、$c=-12$代入$x^2+bx+c=0$，得原方程为$x^2-7x-12=0$。
【答案】
B
【知识点】
1. 一元二次方程根与系数的关系
2. 一元二次方程的项的意义
【点评】
本题是韦达定理的典型应用题型，不需要求解原方程的根，仅通过错误解的和与积就能推导正确的方程系数，很好地考查了学生对知识的灵活运用能力，解题时要注意不要混淆根与系数的和、积公式的符号。
【难度系数】
0.7
这道题考查一元二次方程根与系数的关系（韦达定理）的灵活应用，解题核心是抓住“仅看错某一项，其余项均正确”的特点：①兰兰只看错一次项系数，说明她计算时用的二次项系数、常数项和原方程完全一致，因此她解得的两根之积等于原方程的两根之积，可直接求出原方程的常数项；②笑笑只看错常数项，说明她计算时用的二次项系数、一次项系数和原方程完全一致，因此她解得的两根之和等于原方程的两根之和，可直接求出原方程的一次项系数，结合题目选项都是二次项系数为1的方程，就能直接写出原方程。
【解析】
设原一元二次方程为$x^2+bx+c=0$（二次项系数为1），根据韦达定理：对于一元二次方程$ax^2+bx+c=0(a≠0)$，若两根为$x_1、x_2$，则满足$x_1+x_2=-\frac{b}{a}$，$x_1x_2=\frac{c}{a}$。
1. 求常数项$c$：
兰兰仅看错一次项系数，常数项$c$正确，她解得的两根为-2和6，因此：
$c=x_1x_2=(-2)×6=-12$
2. 求一次项系数$b$：
笑笑仅看错常数项，一次项系数$b$正确，她解得的两根为3和4，因此：
$x_1+x_2=3+4=7=-\frac{b}{1}$，解得$b=-7$
3. 写出原方程：
将$b=-7$、$c=-12$代入$x^2+bx+c=0$，得原方程为$x^2-7x-12=0$。
【答案】
B
【知识点】
1. 一元二次方程根与系数的关系
2. 一元二次方程的项的意义
【点评】
本题是韦达定理的典型应用题型，不需要求解原方程的根，仅通过错误解的和与积就能推导正确的方程系数，很好地考查了学生对知识的灵活运用能力，解题时要注意不要混淆根与系数的和、积公式的符号。
【难度系数】
0.7
10. [2026合肥模拟改编]已知关于$x$的方程$2x^2 - 3x + k = 0$的两根分别为$x_1$和$x_2$，若$4x_1 + x_2 = 0$，则$k$的值为（
A.$-\dfrac{2}{3}$
B.$-2$
C.$\dfrac{2}{3}$
D.$2$
B
）A.$-\dfrac{2}{3}$
B.$-2$
C.$\dfrac{2}{3}$
D.$2$
答案
B
解析
【分析】
本题是已知一元二次方程两根的关系求参数的问题，解题思路如下：首先，涉及一元二次方程的两根关系，优先使用根与系数的关系（韦达定理），写出两根之和、两根之积与方程系数的对应关系；其次，将得到的两根之和的表达式和题目给出的$4x_1+x_2=0$联立，组成二元一次方程组，解出两个根的具体值；最后，将两根代入两根之积的表达式，即可求出参数$k$的值。
【解析】
对于一元二次方程$2x^2 - 3x + k = 0$，其中二次项系数$a=2$，一次项系数$b=-3$，常数项$c=k$，根据根与系数的关系可得：
两根之和：$x_1 + x_2 = -\frac{b}{a} = \frac{3}{2}$ ①
已知$4x_1 + x_2 = 0$ ②
用②式减去①式消去$x_2$，得：
$4x_1 + x_2 - (x_1 + x_2) = 0 - \frac{3}{2}$
化简得$3x_1 = -\frac{3}{2}$，解得$x_1 = -\frac{1}{2}$
将$x_1 = -\frac{1}{2}$代入①式，得：
$-\frac{1}{2} + x_2 = \frac{3}{2}$，解得$x_2 = 2$
再根据根与系数的关系，两根之积：$x_1x_2 = \frac{c}{a} = \frac{k}{2}$
代入$x_1$、$x_2$的值得：$(-\frac{1}{2}) × 2 = \frac{k}{2}$
即$-1 = \frac{k}{2}$，解得$k = -2$
【答案】
B
【知识点】
一元二次方程根与系数的关系、二元一次方程组的解法
【点评】
本题属于基础常考题，核心考查韦达定理的应用，解题时要注意韦达定理中两根之和的符号规则，避免因符号计算错误失分，掌握“联立条件求根→代回两根积求参数”的思路即可快速解题。
【难度系数】
0.7
本题是已知一元二次方程两根的关系求参数的问题，解题思路如下：首先，涉及一元二次方程的两根关系，优先使用根与系数的关系（韦达定理），写出两根之和、两根之积与方程系数的对应关系；其次，将得到的两根之和的表达式和题目给出的$4x_1+x_2=0$联立，组成二元一次方程组，解出两个根的具体值；最后，将两根代入两根之积的表达式，即可求出参数$k$的值。
【解析】
对于一元二次方程$2x^2 - 3x + k = 0$，其中二次项系数$a=2$，一次项系数$b=-3$，常数项$c=k$，根据根与系数的关系可得：
两根之和：$x_1 + x_2 = -\frac{b}{a} = \frac{3}{2}$ ①
已知$4x_1 + x_2 = 0$ ②
用②式减去①式消去$x_2$，得：
$4x_1 + x_2 - (x_1 + x_2) = 0 - \frac{3}{2}$
化简得$3x_1 = -\frac{3}{2}$，解得$x_1 = -\frac{1}{2}$
将$x_1 = -\frac{1}{2}$代入①式，得：
$-\frac{1}{2} + x_2 = \frac{3}{2}$，解得$x_2 = 2$
再根据根与系数的关系，两根之积：$x_1x_2 = \frac{c}{a} = \frac{k}{2}$
代入$x_1$、$x_2$的值得：$(-\frac{1}{2}) × 2 = \frac{k}{2}$
即$-1 = \frac{k}{2}$，解得$k = -2$
【答案】
B
【知识点】
一元二次方程根与系数的关系、二元一次方程组的解法
【点评】
本题属于基础常考题，核心考查韦达定理的应用，解题时要注意韦达定理中两根之和的符号规则，避免因符号计算错误失分，掌握“联立条件求根→代回两根积求参数”的思路即可快速解题。
【难度系数】
0.7
11. [2026蚌埠三模改编] 已知两个不相等的实数$m,n$满足$m^2 -4=2m$，$n^2=4+2n$，则$(m-n)^2=$
$20$
。答案
$20$
解析
【分析】
首先对已知的两个等式进行移项变形，可发现实数m、n均满足一元二次方程$x^2-2x-4=0$，结合$m≠n$的条件，可判断m、n是该方程的两个不相等的实数根。接下来利用一元二次方程根与系数的关系求出$m+n$和$mn$的值，最后将所求的$(m-n)^2$变形为含$m+n$、$mn$的代数式，代入数值计算即可得到结果。
【解析】
先整理已知等式：
由$m^2 -4=2m$移项得：$m^2 -2m -4=0$，
由$n^2=4+2n$移项得：$n^2 -2m -4=0$，
∵$m≠n$，
∴m、n是一元二次方程$x^2 -2x -4=0$的两个不相等的实数根。
根据根与系数的关系，对于方程$ax^2+bx+c=0$（$a≠0$），两根之和$x_1+x_2=-\frac{b}{a}$，两根之积$x_1x_2=\frac{c}{a}$，
此处$a=1$，$b=-2$，$c=-4$，因此：
$m+n=2$，$mn=-4$。
再根据完全平方公式的变形：$(m-n)^2=(m+n)^2-4mn$，
代入数值计算：
$(m-n)^2=2^2 -4×(-4)=4 +16=20$。
【答案】
$20$
【知识点】
一元二次方程根的定义；根与系数的关系；完全平方公式变形
【点评】
本题的解题核心是通过观察等式的结构特征，确定m、n为同个一元二次方程的两个不等根，利用根与系数的关系简化计算，避免了分别求解m、n的繁琐运算，需要熟练掌握完全平方公式的变形技巧和韦达定理的应用。
【难度系数】
0.6
首先对已知的两个等式进行移项变形，可发现实数m、n均满足一元二次方程$x^2-2x-4=0$，结合$m≠n$的条件，可判断m、n是该方程的两个不相等的实数根。接下来利用一元二次方程根与系数的关系求出$m+n$和$mn$的值，最后将所求的$(m-n)^2$变形为含$m+n$、$mn$的代数式，代入数值计算即可得到结果。
【解析】
先整理已知等式：
由$m^2 -4=2m$移项得：$m^2 -2m -4=0$，
由$n^2=4+2n$移项得：$n^2 -2m -4=0$，
∵$m≠n$，
∴m、n是一元二次方程$x^2 -2x -4=0$的两个不相等的实数根。
根据根与系数的关系，对于方程$ax^2+bx+c=0$（$a≠0$），两根之和$x_1+x_2=-\frac{b}{a}$，两根之积$x_1x_2=\frac{c}{a}$，
此处$a=1$，$b=-2$，$c=-4$，因此：
$m+n=2$，$mn=-4$。
再根据完全平方公式的变形：$(m-n)^2=(m+n)^2-4mn$，
代入数值计算：
$(m-n)^2=2^2 -4×(-4)=4 +16=20$。
【答案】
$20$
【知识点】
一元二次方程根的定义；根与系数的关系；完全平方公式变形
【点评】
本题的解题核心是通过观察等式的结构特征，确定m、n为同个一元二次方程的两个不等根，利用根与系数的关系简化计算，避免了分别求解m、n的繁琐运算，需要熟练掌握完全平方公式的变形技巧和韦达定理的应用。
【难度系数】
0.6
12. 分类讨论思想 已知$x_1,x_2$是关于$x$的一元二次方程$x^2 - 2(m+1)x + m^2 +5=0$的两个实数根.
(1)若$(x_1 -1)(x_2 -1)=28$,求$m$的值;
(2)已知等腰三角形$ABC$的一边长为7,若$x_1$, $x_2$恰好是$△ ABC$另外两边的边长,求这个三角形的周长.
(1)若$(x_1 -1)(x_2 -1)=28$,求$m$的值;
(2)已知等腰三角形$ABC$的一边长为7,若$x_1$, $x_2$恰好是$△ ABC$另外两边的边长,求这个三角形的周长.
答案
解：(1)$6$. (2)$17$.
解析
【分析】
本题需结合一元二次方程的相关性质和分类讨论思想求解：
(1) 首先根据方程有两个实数根得出判别式≥0，确定m的取值范围；再利用根与系数的关系（韦达定理）表示出两根之和、两根之积，将已知的$(x_1-1)(x_2-1)=28$展开后代入计算，最后结合m的取值范围舍去不符合的解即可。
(2) 针对等腰三角形的边长分类讨论：①若7为腰长，则7是方程的一个根，代入方程求出m后得到另一个根，验证三边是否满足三角形三边关系；②若7为底边长，则两根相等即判别式=0，求出m后得到边长，同样验证三边关系，最终计算符合条件的周长。
【解析】
(1) 先计算方程的判别式：
$\Delta = [-2(m+1)]^2 - 4×1×(m^2+5) = 4(m^2+2m+1) - 4m^2 - 20 = 8m - 16$
∵方程有两个实数根，
∴$\Delta≥0$，即$8m-16≥0$，解得$m≥2$。
由根与系数的关系得：$x_1+x_2=2(m+1)$，$x_1x_2=m^2+5$。
将$(x_1-1)(x_2-1)=28$展开得：
$x_1x_2 - (x_1+x_2) + 1 = 28$
代入韦达定理的结果：
$m^2+5 - 2(m+1) + 1 = 28$
化简得：$m^2 - 2m - 24 = 0$
因式分解得：$(m-6)(m+4)=0$，解得$m=6$或$m=-4$。
结合$m≥2$的取值范围，舍去$m=-4$，故$m=6$。
(2) 分两种情况讨论：
① 当7为等腰三角形的腰长时，$x=7$是方程的根，代入原方程得：
$7^2 - 2(m+1)×7 + m^2 +5 = 0$
化简得：$m^2 -14m +40=0$
因式分解得：$(m-4)(m-10)=0$，解得$m=4$或$m=10$。
当$m=4$时，原方程为$x^2 -10x +21=0$，解得$x_1=3$，$x_2=7$。
三角形三边长为7、7、3，满足$3+7＞7$，可构成三角形，周长为$7+7+3=17$。
当$m=10$时，原方程为$x^2 -22x +105=0$，解得$x_1=7$，$x_2=15$。
三角形三边长为7、7、15，$7+7=14＜15$，无法构成三角形，舍去。
② 当7为等腰三角形的底边长时，$x_1=x_2$，即$\Delta=0$，$8m-16=0$，解得$m=2$。
此时原方程为$x^2 -6x +9=0$，解得$x_1=x_2=3$。
三角形三边长为3、3、7，$3+3=6＜7$，无法构成三角形，舍去。
综上，三角形的周长为17。
【答案】
(1) $\boldsymbol{6}$；(2) $\boldsymbol{17}$
【知识点】
一元二次方程根与系数的关系，根的判别式，等腰三角形的性质
【点评】
本题重点考查分类讨论思想的应用，解题时需注意两点：一是求解参数前先通过判别式确定参数的取值范围，二是涉及三角形边长的问题必须验证三边是否满足三角形三边关系，避免出现增解。
【难度系数】
0.6
本题需结合一元二次方程的相关性质和分类讨论思想求解：
(1) 首先根据方程有两个实数根得出判别式≥0，确定m的取值范围；再利用根与系数的关系（韦达定理）表示出两根之和、两根之积，将已知的$(x_1-1)(x_2-1)=28$展开后代入计算，最后结合m的取值范围舍去不符合的解即可。
(2) 针对等腰三角形的边长分类讨论：①若7为腰长，则7是方程的一个根，代入方程求出m后得到另一个根，验证三边是否满足三角形三边关系；②若7为底边长，则两根相等即判别式=0，求出m后得到边长，同样验证三边关系，最终计算符合条件的周长。
【解析】
(1) 先计算方程的判别式：
$\Delta = [-2(m+1)]^2 - 4×1×(m^2+5) = 4(m^2+2m+1) - 4m^2 - 20 = 8m - 16$
∵方程有两个实数根，
∴$\Delta≥0$，即$8m-16≥0$，解得$m≥2$。
由根与系数的关系得：$x_1+x_2=2(m+1)$，$x_1x_2=m^2+5$。
将$(x_1-1)(x_2-1)=28$展开得：
$x_1x_2 - (x_1+x_2) + 1 = 28$
代入韦达定理的结果：
$m^2+5 - 2(m+1) + 1 = 28$
化简得：$m^2 - 2m - 24 = 0$
因式分解得：$(m-6)(m+4)=0$，解得$m=6$或$m=-4$。
结合$m≥2$的取值范围，舍去$m=-4$，故$m=6$。
(2) 分两种情况讨论：
① 当7为等腰三角形的腰长时，$x=7$是方程的根，代入原方程得：
$7^2 - 2(m+1)×7 + m^2 +5 = 0$
化简得：$m^2 -14m +40=0$
因式分解得：$(m-4)(m-10)=0$，解得$m=4$或$m=10$。
当$m=4$时，原方程为$x^2 -10x +21=0$，解得$x_1=3$，$x_2=7$。
三角形三边长为7、7、3，满足$3+7＞7$，可构成三角形，周长为$7+7+3=17$。
当$m=10$时，原方程为$x^2 -22x +105=0$，解得$x_1=7$，$x_2=15$。
三角形三边长为7、7、15，$7+7=14＜15$，无法构成三角形，舍去。
② 当7为等腰三角形的底边长时，$x_1=x_2$，即$\Delta=0$，$8m-16=0$，解得$m=2$。
此时原方程为$x^2 -6x +9=0$，解得$x_1=x_2=3$。
三角形三边长为3、3、7，$3+3=6＜7$，无法构成三角形，舍去。
综上，三角形的周长为17。
【答案】
(1) $\boldsymbol{6}$；(2) $\boldsymbol{17}$
【知识点】
一元二次方程根与系数的关系，根的判别式，等腰三角形的性质
【点评】
本题重点考查分类讨论思想的应用，解题时需注意两点：一是求解参数前先通过判别式确定参数的取值范围，二是涉及三角形边长的问题必须验证三边是否满足三角形三边关系，避免出现增解。
【难度系数】
0.6
13. 能力训练点·探究建模 已知关于$x$的方程$a_1x^n + a_2x^{n-1} + \dots + a_nx + a_{n+1}=0$有$n$个实数根($n$为正整数)，某数学小组对当$n=2$时根与系数的关系进行探究，部分探究过程如下。
(1)请你补全上述过程；
(2)当$n=3$时，设该方程的三个实数根为$x_1$，$x_2$和$x_3$，求$x_1x_2 + x_1x_3 + x_2x_3$和$x_1x_2x_3$的值(用系数表示)；
(3)设关于$x$的方程$a_1x^n + a_2x^{n-1} + \dots + a_nx + a_{n+1}=0$的$n$个实数根为$x_1, x_2, \dots, x_n$，请直接写出$x_1x_2\dots x_n$的值(用系数表示)。
(1)请你补全上述过程；
(2)当$n=3$时，设该方程的三个实数根为$x_1$，$x_2$和$x_3$，求$x_1x_2 + x_1x_3 + x_2x_3$和$x_1x_2x_3$的值(用系数表示)；
(3)设关于$x$的方程$a_1x^n + a_2x^{n-1} + \dots + a_nx + a_{n+1}=0$的$n$个实数根为$x_1, x_2, \dots, x_n$，请直接写出$x_1x_2\dots x_n$的值(用系数表示)。
答案
(1)①$a_1x^2 - a_1x(x_1 + x_2) + a_1x_1x_2 = 0$ ②$-\frac{a_2}{a_1}$
(2)$x_1x_2 + x_1x_3 + x_2x_3 = \frac{a_3}{a_1}$，$x_1x_2x_3 = -\frac{a_4}{a_1}$.
(3)$x_1x_2··· x_n$的值为$(-1)^n \frac{a_{n+1}}{a_1}$.
(2)$x_1x_2 + x_1x_3 + x_2x_3 = \frac{a_3}{a_1}$，$x_1x_2x_3 = -\frac{a_4}{a_1}$.
(3)$x_1x_2··· x_n$的值为$(-1)^n \frac{a_{n+1}}{a_1}$.
解析
【分析】
第(1)问先对一元二次方程的因式分解形式（两点式）做整式乘法展开，再利用两个多项式恒等时对应项系数相等的性质，即可推导两根之和与系数的关系；第(2)问类比n=2的探究方法，把三次方程写成含三个根的因式乘积形式，展开后和三次方程一般式对比系数，就能求出对应代数式的值；第(3)问观察n=2、n=3的结论规律，归纳得到n次方程所有根的乘积和系数的关系即可。
【解析】
(1) 展开$a_1(x-x_1)(x-x_2)=0$：
先计算$(x-x_1)(x-x_2)=x^2-(x_1+x_2)x+x_1x_2$，
两边乘$a_1$得：$\boldsymbol{a_1x^2 - a_1(x_1+x_2)x + a_1x_1x_2=0}$，此为①的结果。
已知方程为$a_1x^2+a_2x+a_3=0$，两个多项式恒等，一次项系数相等：
$-a_1(x_1+x_2)=a_2$，变形得$x_1+x_2=\boldsymbol{-\dfrac{a_2}{a_1}}$，此为②的结果。
(2) 当$n=3$时，方程可写成$a_1(x-x_1)(x-x_2)(x-x_3)=0$，
逐步展开：
$\begin{aligned}a_1(x-x_1)(x-x_2)(x-x_3)&=a_1[x^3-(x_1+x_2+x_3)x^2+(x_1x_2+x_1x_3+x_2x_3)x - x_1x_2x_3]\\&=a_1x^3 -a_1(x_1+x_2+x_3)x^2 +a_1(x_1x_2+x_1x_3+x_2x_3)x -a_1x_1x_2x_3=0\end{aligned}$
和原三次方程$a_1x^3+a_2x^2+a_3x+a_4=0$对比系数：
一次项系数：$a_1(x_1x_2+x_1x_3+x_2x_3)=a_3$，得$x_1x_2+x_1x_3+x_2x_3=\dfrac{a_3}{a_1}$；
常数项：$-a_1x_1x_2x_3=a_4$，得$x_1x_2x_3=-\dfrac{a_4}{a_1}$。
(3) 观察规律：
$n=2$时，$x_1x_2=\dfrac{a_3}{a_1}=(-1)^2·\dfrac{a_{2+1}}{a_1}$；
$n=3$时，$x_1x_2x_3=-\dfrac{a_4}{a_1}=(-1)^3·\dfrac{a_{3+1}}{a_1}$；
归纳得$n$次方程中，$x_1x_2··· x_n=(-1)^n·\dfrac{a_{n+1}}{a_1}$。
【答案】
(1)①$a_1x^2 - a_1(x_1 + x_2)x + a_1x_1x_2 = 0$；②$-\dfrac{a_2}{a_1}$
(2)$x_1x_2 + x_1x_3 + x_2x_3 = \dfrac{a_3}{a_1}$，$x_1x_2x_3 = -\dfrac{a_4}{a_1}$
(3)$(-1)^n \dfrac{a_{n+1}}{a_1}$
【知识点】
韦达定理；多项式乘法；归纳推理
【点评】
本题从学生熟知的一元二次方程根与系数关系入手，引导学生用类比、归纳的方法推导高次方程的根与系数规律，很好地考察了知识迁移能力和逻辑推理能力。
【难度系数】
0.7
第(1)问先对一元二次方程的因式分解形式（两点式）做整式乘法展开，再利用两个多项式恒等时对应项系数相等的性质，即可推导两根之和与系数的关系；第(2)问类比n=2的探究方法，把三次方程写成含三个根的因式乘积形式，展开后和三次方程一般式对比系数，就能求出对应代数式的值；第(3)问观察n=2、n=3的结论规律，归纳得到n次方程所有根的乘积和系数的关系即可。
【解析】
(1) 展开$a_1(x-x_1)(x-x_2)=0$：
先计算$(x-x_1)(x-x_2)=x^2-(x_1+x_2)x+x_1x_2$，
两边乘$a_1$得：$\boldsymbol{a_1x^2 - a_1(x_1+x_2)x + a_1x_1x_2=0}$，此为①的结果。
已知方程为$a_1x^2+a_2x+a_3=0$，两个多项式恒等，一次项系数相等：
$-a_1(x_1+x_2)=a_2$，变形得$x_1+x_2=\boldsymbol{-\dfrac{a_2}{a_1}}$，此为②的结果。
(2) 当$n=3$时，方程可写成$a_1(x-x_1)(x-x_2)(x-x_3)=0$，
逐步展开：
$\begin{aligned}a_1(x-x_1)(x-x_2)(x-x_3)&=a_1[x^3-(x_1+x_2+x_3)x^2+(x_1x_2+x_1x_3+x_2x_3)x - x_1x_2x_3]\\&=a_1x^3 -a_1(x_1+x_2+x_3)x^2 +a_1(x_1x_2+x_1x_3+x_2x_3)x -a_1x_1x_2x_3=0\end{aligned}$
和原三次方程$a_1x^3+a_2x^2+a_3x+a_4=0$对比系数：
一次项系数：$a_1(x_1x_2+x_1x_3+x_2x_3)=a_3$，得$x_1x_2+x_1x_3+x_2x_3=\dfrac{a_3}{a_1}$；
常数项：$-a_1x_1x_2x_3=a_4$，得$x_1x_2x_3=-\dfrac{a_4}{a_1}$。
(3) 观察规律：
$n=2$时，$x_1x_2=\dfrac{a_3}{a_1}=(-1)^2·\dfrac{a_{2+1}}{a_1}$；
$n=3$时，$x_1x_2x_3=-\dfrac{a_4}{a_1}=(-1)^3·\dfrac{a_{3+1}}{a_1}$；
归纳得$n$次方程中，$x_1x_2··· x_n=(-1)^n·\dfrac{a_{n+1}}{a_1}$。
【答案】
(1)①$a_1x^2 - a_1(x_1 + x_2)x + a_1x_1x_2 = 0$；②$-\dfrac{a_2}{a_1}$
(2)$x_1x_2 + x_1x_3 + x_2x_3 = \dfrac{a_3}{a_1}$，$x_1x_2x_3 = -\dfrac{a_4}{a_1}$
(3)$(-1)^n \dfrac{a_{n+1}}{a_1}$
【知识点】
韦达定理；多项式乘法；归纳推理
【点评】
本题从学生熟知的一元二次方程根与系数关系入手，引导学生用类比、归纳的方法推导高次方程的根与系数规律，很好地考察了知识迁移能力和逻辑推理能力。
【难度系数】
0.7
