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8. 分类讨论思想 若$|x|=1\dfrac{2}{3}$，$|y|=3\dfrac{3}{4}$，且$x＞y$，则$x-y$的值为
$5\dfrac{5}{12}$或$2\dfrac{1}{12}$
。答案
$8.5\dfrac{5}{12}$或$2\dfrac{1}{12}$
解析
【分析】
解题时首先根据绝对值的性质求出x、y的所有可能取值，再结合x＞y的约束条件，筛选出符合要求的x、y的取值组合，最后根据有理数的减法法则分别计算每一组组合的x-y的值即可。注意分类讨论时不要遗漏任何一种符合条件的情况。
【解析】
解：
∵$|x|=1\dfrac{2}{3}$，
∴$x=1\dfrac{2}{3}$或$x=-1\dfrac{2}{3}$；
∵$|y|=3\dfrac{3}{4}$，
∴$y=3\dfrac{3}{4}$或$y=-3\dfrac{3}{4}$；
又
∵$x＞y$，分两种情况讨论：
① 当$x=1\dfrac{2}{3}$时，只有$y=-3\dfrac{3}{4}$满足条件（若$y=3\dfrac{3}{4}$，则$1\dfrac{2}{3}＜3\dfrac{3}{4}$，不符合$x＞y$），
此时$x-y=1\dfrac{2}{3}-(-3\dfrac{3}{4})=1\dfrac{2}{3}+3\dfrac{3}{4}=1\dfrac{8}{12}+3\dfrac{9}{12}=5\dfrac{5}{12}$；
② 当$x=-1\dfrac{2}{3}$时，只有$y=-3\dfrac{3}{4}$满足条件（若$y=3\dfrac{3}{4}$，则$-1\dfrac{2}{3}＜3\dfrac{3}{4}$，不符合$x＞y$），
此时$x-y=-1\dfrac{2}{3}-(-3\dfrac{3}{4})=-1\dfrac{2}{3}+3\dfrac{3}{4}=3\dfrac{9}{12}-1\dfrac{8}{12}=2\dfrac{1}{12}$。
【答案】
$5\dfrac{5}{12}$或$2\dfrac{1}{12}$
【知识点】
绝对值的性质；有理数大小比较；有理数减法法则
【点评】
本题重点考查分类讨论思想的应用，解题时要注意绝对值等于正有理数的数有正负两个，需结合大小关系筛选符合条件的取值，计算有理数减法时要注意符号变化，避免漏解或者计算错误。
【难度系数】
0.6
解题时首先根据绝对值的性质求出x、y的所有可能取值，再结合x＞y的约束条件，筛选出符合要求的x、y的取值组合，最后根据有理数的减法法则分别计算每一组组合的x-y的值即可。注意分类讨论时不要遗漏任何一种符合条件的情况。
【解析】
解：
∵$|x|=1\dfrac{2}{3}$，
∴$x=1\dfrac{2}{3}$或$x=-1\dfrac{2}{3}$；
∵$|y|=3\dfrac{3}{4}$，
∴$y=3\dfrac{3}{4}$或$y=-3\dfrac{3}{4}$；
又
∵$x＞y$，分两种情况讨论：
① 当$x=1\dfrac{2}{3}$时，只有$y=-3\dfrac{3}{4}$满足条件（若$y=3\dfrac{3}{4}$，则$1\dfrac{2}{3}＜3\dfrac{3}{4}$，不符合$x＞y$），
此时$x-y=1\dfrac{2}{3}-(-3\dfrac{3}{4})=1\dfrac{2}{3}+3\dfrac{3}{4}=1\dfrac{8}{12}+3\dfrac{9}{12}=5\dfrac{5}{12}$；
② 当$x=-1\dfrac{2}{3}$时，只有$y=-3\dfrac{3}{4}$满足条件（若$y=3\dfrac{3}{4}$，则$-1\dfrac{2}{3}＜3\dfrac{3}{4}$，不符合$x＞y$），
此时$x-y=-1\dfrac{2}{3}-(-3\dfrac{3}{4})=-1\dfrac{2}{3}+3\dfrac{3}{4}=3\dfrac{9}{12}-1\dfrac{8}{12}=2\dfrac{1}{12}$。
【答案】
$5\dfrac{5}{12}$或$2\dfrac{1}{12}$
【知识点】
绝对值的性质；有理数大小比较；有理数减法法则
【点评】
本题重点考查分类讨论思想的应用，解题时要注意绝对值等于正有理数的数有正负两个，需结合大小关系筛选符合条件的取值，计算有理数减法时要注意符号变化，避免漏解或者计算错误。
【难度系数】
0.6
9. 新情境 某电子测重仪，根据人的身高与体重的关系，测量时会显示体重与标准体重之间的差距，超过标准体重记为“+”。王叔叔测得体重为96 kg，并显示“+13 kg”，测量仪提醒：“您的体重偏重，请注意锻炼。”经过一年的锻炼，王叔叔明显变瘦了，再去测量时，测量仪显示“−0.3 kg”，并提醒：“您的体重接近标准，请注意保持。”此时王叔叔的体重为
82.7
kg.答案
9.82.7
解析
【分析】
解题时首先要明确正负数的含义：本题中超过标准体重记为“+”，低于标准体重记为“-”。第一步需要先根据第一次的测量数据求出标准体重，第二步再结合第二次测量显示的差距，计算出王叔叔现在的体重。
【解析】
1. 计算标准体重：
第一次测量显示“+13 kg”，说明96 kg比标准体重多13 kg，因此标准体重为：
$96 - 13 = 83\ \mathrm{kg}$
2. 计算现在的体重：
第二次测量显示“-0.3 kg”，说明现在的体重比标准体重少0.3 kg，因此现在的体重为：
$83 - 0.3 = 82.7\ \mathrm{kg}$
【答案】
82.7
【知识点】
正负数的意义；有理数的减法运算
【点评】
本题结合生活中的电子测重仪情境，考查正负数的实际应用和有理数减法的计算，解题的核心是先确定标准体重，再根据正负数的实际含义列式，属于基础应用类题目。
【难度系数】
0.8
解题时首先要明确正负数的含义：本题中超过标准体重记为“+”，低于标准体重记为“-”。第一步需要先根据第一次的测量数据求出标准体重，第二步再结合第二次测量显示的差距，计算出王叔叔现在的体重。
【解析】
1. 计算标准体重：
第一次测量显示“+13 kg”，说明96 kg比标准体重多13 kg，因此标准体重为：
$96 - 13 = 83\ \mathrm{kg}$
2. 计算现在的体重：
第二次测量显示“-0.3 kg”，说明现在的体重比标准体重少0.3 kg，因此现在的体重为：
$83 - 0.3 = 82.7\ \mathrm{kg}$
【答案】
82.7
【知识点】
正负数的意义；有理数的减法运算
【点评】
本题结合生活中的电子测重仪情境，考查正负数的实际应用和有理数减法的计算，解题的核心是先确定标准体重，再根据正负数的实际含义列式，属于基础应用类题目。
【难度系数】
0.8
10.新考法 在如图所示的各个圆圈内填上适当的数，使每个圆圈里的数都等于与它相邻的两个数的和，则m的值为(
A.3
B.2
C.−2
D.−5
A
)A.3
B.2
C.−2
D.−5
答案
10.A
解析
【分析】
解决本题首先要准确理解题目规则：每个圆圈内的数都等于和它相邻的两个数的和。我们可以先给m两侧的未知圆圈的数设字母表示，再根据规则列出对应的等量关系，通过等量代换消去不需要的未知数，结合有理数的加减运算和一元一次方程的解法即可求出m的值。
【解析】
设与m相邻的两个未知圆圈的数分别为$a$、$b$，根据题意结合图中已知数列等式：
1. 由和$a$、$m$相邻的已知数为0，得$0 = a + m$，变形得$a = -m$；
2. 由和$m$、$b$相邻的已知数为5，得$5 = m + b$，变形得$b = 5 - m$；
3. 由和$a$、$b$相邻的已知数为-1，得$-1 = a + b$。
将$a=-m$、$b=5-m$代入$-1=a+b$：
$\begin{aligned}-m + (5 - m) &= -1\\-2m +5 &= -1\\-2m &= -6\\m&=3\end{aligned}$
【答案】
A
【知识点】
有理数的减法；一元一次方程的应用；等量代换
【点评】
本题属于创新规则类题目，核心是读懂题目给出的运算规则，准确梳理等量关系，通过代换消元即可求解，侧重考查对新规则的理解能力和基础运算能力。
【难度系数】
0.7
解决本题首先要准确理解题目规则：每个圆圈内的数都等于和它相邻的两个数的和。我们可以先给m两侧的未知圆圈的数设字母表示，再根据规则列出对应的等量关系，通过等量代换消去不需要的未知数，结合有理数的加减运算和一元一次方程的解法即可求出m的值。
【解析】
设与m相邻的两个未知圆圈的数分别为$a$、$b$，根据题意结合图中已知数列等式：
1. 由和$a$、$m$相邻的已知数为0，得$0 = a + m$，变形得$a = -m$；
2. 由和$m$、$b$相邻的已知数为5，得$5 = m + b$，变形得$b = 5 - m$；
3. 由和$a$、$b$相邻的已知数为-1，得$-1 = a + b$。
将$a=-m$、$b=5-m$代入$-1=a+b$：
$\begin{aligned}-m + (5 - m) &= -1\\-2m +5 &= -1\\-2m &= -6\\m&=3\end{aligned}$
【答案】
A
【知识点】
有理数的减法；一元一次方程的应用；等量代换
【点评】
本题属于创新规则类题目，核心是读懂题目给出的运算规则，准确梳理等量关系，通过代换消元即可求解，侧重考查对新规则的理解能力和基础运算能力。
【难度系数】
0.7
11. [2026合肥期末]如图，数轴上的点A，B分别对应有理数a，b，下列结论中正确的是(
A. a+b
C
)A. a+b
答案
11.C
解析
【分析】解题时先从数轴获取信息：原点左边的点对应负数，右边的点对应正数，点到原点的距离越大对应数的绝对值越大，得到a、b的正负性和绝对值大小关系，再根据有理数的加减运算法则，逐个验证选项是否正确即可。
【解析】由数轴可得：$a＜0$，$b＞0$，且$\left|b\right|＞\left|a\right|$。
A. 异号两数相加，取绝对值较大的数的符号，因为$\left|b\right|＞\left|a\right|$，所以$a+b＞0$，该选项错误；
B. 根据有理数减法法则，$a-b=a+(-b)$，a和-b都是负数，两个负数相加结果为负，即$a-b＜0$，该选项错误；
C. 根据有理数减法法则，$b-a=b+(-a)$，b和-a都是正数，两个正数相加结果为正，即$b-a＞0$，该选项正确；
D. 由数轴可知点B到原点的距离更大，所以$\left|b\right|＞\left|a\right|$，该选项错误。
【答案】C
【知识点】数轴的应用；有理数的减法；有理数的加法
【点评】本题将数轴和有理数加减运算结合考查，需要先准确从数轴提取数的特征，再运算法则判断式子的正负，是对基础知识点的综合应用。
【难度系数】0.7
【解析】由数轴可得：$a＜0$，$b＞0$，且$\left|b\right|＞\left|a\right|$。
A. 异号两数相加，取绝对值较大的数的符号，因为$\left|b\right|＞\left|a\right|$，所以$a+b＞0$，该选项错误；
B. 根据有理数减法法则，$a-b=a+(-b)$，a和-b都是负数，两个负数相加结果为负，即$a-b＜0$，该选项错误；
C. 根据有理数减法法则，$b-a=b+(-a)$，b和-a都是正数，两个正数相加结果为正，即$b-a＞0$，该选项正确；
D. 由数轴可知点B到原点的距离更大，所以$\left|b\right|＞\left|a\right|$，该选项错误。
【答案】C
【知识点】数轴的应用；有理数的减法；有理数的加法
【点评】本题将数轴和有理数加减运算结合考查，需要先准确从数轴提取数的特征，再运算法则判断式子的正负，是对基础知识点的综合应用。
【难度系数】0.7
12.新情境 生活中,通常用24时计时法表示具体时间.与之相关,全球共分为24个时区,相邻两个时区的时间相差1 h,以英国格林尼治所在的本初子午线为基准,在格林尼治以东的地区,时差以“+”标记,在格林尼治以西的地区,时差以“－”标记.下表是各城市与格林尼治的时差：
| 城市 | 北京 | 纽约 | 悉尼 | 莫斯科 |
| --- | --- | --- | --- | --- |
| 与格林尼治时差/h | +8 | $-4$ | +11 | +3 |
例如:格林尼治时间12时,对应北京当地时间20时,对应纽约当地时间8时.
(1)莫斯科和纽约的时差是多少小时?
(2)若在悉尼的小明22时打电话给在纽约的小亮,则纽约当地时间是几时?
(3)小明将在11月14日21时乘坐北京直飞悉尼的飞机,经过12 h抵达,此时悉尼当地时间为11月几日的几时?
| 城市 | 北京 | 纽约 | 悉尼 | 莫斯科 |
| --- | --- | --- | --- | --- |
| 与格林尼治时差/h | +8 | $-4$ | +11 | +3 |
例如:格林尼治时间12时,对应北京当地时间20时,对应纽约当地时间8时.
(1)莫斯科和纽约的时差是多少小时?
(2)若在悉尼的小明22时打电话给在纽约的小亮,则纽约当地时间是几时?
(3)小明将在11月14日21时乘坐北京直飞悉尼的飞机,经过12 h抵达,此时悉尼当地时间为11月几日的几时?
答案
解：(1)$(+3)-(-4)=7(\mathrm{h})$，
答：莫斯科和纽约的时差是7 h.
(2)悉尼和纽约的时差为$11-(-4)=15(\mathrm{h})$，
$22-15=7(时)$.
答：纽约当地时间是7时.
(3)11月14日21时乘坐北京直飞悉尼的飞机，经过12 h后是北京时间11月15日9时，北京和悉尼的时差为$11-8=3(\mathrm{h})$，$9+3=12(时)$.
答：此时悉尼当地时间为11月15日的12时.
答：莫斯科和纽约的时差是7 h.
(2)悉尼和纽约的时差为$11-(-4)=15(\mathrm{h})$，
$22-15=7(时)$.
答：纽约当地时间是7时.
(3)11月14日21时乘坐北京直飞悉尼的飞机，经过12 h后是北京时间11月15日9时，北京和悉尼的时差为$11-8=3(\mathrm{h})$，$9+3=12(时)$.
答：此时悉尼当地时间为11月15日的12时.
解析
【分析】
这是结合时区时差情境的有理数减法应用题，解题思路如下：1.先明确时差的正负含义：正数表示比格林尼治时间早的小时数，负数表示比格林尼治时间晚的小时数，两地时差等于两地与格林尼治时差的差；2.第(1)问直接用莫斯科的时差减去纽约的时差，运用有理数减法法则计算即可；3.第(2)问先算出悉尼比纽约早的小时数，再用悉尼当地时间减去早的时长，即可得到纽约当地时间；4.第(3)问先算出飞行12小时后的北京时间，再算出悉尼比北京早的小时数，用北京时间加时差，同时注意日期进位就能得到结果。
【解析】
(1) 求莫斯科和纽约的时差，用莫斯科与格林尼治的时差减去纽约与格林尼治的时差：
$(+3)-(-4)=3+4=7(\mathrm{h})$
(2) 先计算悉尼与纽约的时差：$+11-(-4)=11+4=15(\mathrm{h})$，可知悉尼时间比纽约时间早15小时，已知悉尼时间为22时，因此纽约当地时间为：
$22-15=7(时)$
(3) 先计算飞行12小时后的北京时间：11月14日21时 + 12小时 = 11月15日9时；
再计算悉尼与北京的时差：$+11-(+8)=3(\mathrm{h})$，可知悉尼时间比北京时间早3小时，因此悉尼当地时间为：
$9+3=12(时)$，即11月15日12时。
【答案】
(1) 莫斯科和纽约的时差是7 h；
(2) 纽约当地时间是7时；
(3) 此时悉尼当地时间为11月15日的12时。
【知识点】
有理数减法运算，正负数的实际应用
【点评】
本题结合全球时区的生活实际情境，考查有理数减法的应用，需要先理解时差正负的实际含义，再根据题意正确列式计算，其中日期的换算是易错点，这类题目能有效提升学生将数学知识应用到生活实际的能力。
【难度系数】
0.7
这是结合时区时差情境的有理数减法应用题，解题思路如下：1.先明确时差的正负含义：正数表示比格林尼治时间早的小时数，负数表示比格林尼治时间晚的小时数，两地时差等于两地与格林尼治时差的差；2.第(1)问直接用莫斯科的时差减去纽约的时差，运用有理数减法法则计算即可；3.第(2)问先算出悉尼比纽约早的小时数，再用悉尼当地时间减去早的时长，即可得到纽约当地时间；4.第(3)问先算出飞行12小时后的北京时间，再算出悉尼比北京早的小时数，用北京时间加时差，同时注意日期进位就能得到结果。
【解析】
(1) 求莫斯科和纽约的时差，用莫斯科与格林尼治的时差减去纽约与格林尼治的时差：
$(+3)-(-4)=3+4=7(\mathrm{h})$
(2) 先计算悉尼与纽约的时差：$+11-(-4)=11+4=15(\mathrm{h})$，可知悉尼时间比纽约时间早15小时，已知悉尼时间为22时，因此纽约当地时间为：
$22-15=7(时)$
(3) 先计算飞行12小时后的北京时间：11月14日21时 + 12小时 = 11月15日9时；
再计算悉尼与北京的时差：$+11-(+8)=3(\mathrm{h})$，可知悉尼时间比北京时间早3小时，因此悉尼当地时间为：
$9+3=12(时)$，即11月15日12时。
【答案】
(1) 莫斯科和纽约的时差是7 h；
(2) 纽约当地时间是7时；
(3) 此时悉尼当地时间为11月15日的12时。
【知识点】
有理数减法运算，正负数的实际应用
【点评】
本题结合全球时区的生活实际情境，考查有理数减法的应用，需要先理解时差正负的实际含义，再根据题意正确列式计算，其中日期的换算是易错点，这类题目能有效提升学生将数学知识应用到生活实际的能力。
【难度系数】
0.7
13. 几何直观 阅读理解:数轴上线段的长度可以用线段端点表示的数进行减法运算(较大数减较小数)得到.例:如图,线段$AB=1=0-(-1)$,线段$BC=2=2-0$,线段$AC=3=2-(-1)$.
解决下列问题:
(1)数轴上点$M,N$表示的数分别为$-9$和$1$,则线段$MN=$
(2)数轴上点$E,F$表示的数分别为$-6$和$-3$,则线段$EF=$
(3)数轴上的两个点之间的距离为$5$,其中一个点表示的数为$2$,另一个点表示的数为$m$,求$m$.
解决下列问题:
(1)数轴上点$M,N$表示的数分别为$-9$和$1$,则线段$MN=$
10
;(2)数轴上点$E,F$表示的数分别为$-6$和$-3$,则线段$EF=$
3
;(3)数轴上的两个点之间的距离为$5$,其中一个点表示的数为$2$,另一个点表示的数为$m$,求$m$.
答案
解：(1)10 (2)3
(3)由题意，得$|m-2|=5$，
解得$m=-3$或7，即$m$的值为$-3$或7.
(3)由题意，得$|m-2|=5$，
解得$m=-3$或7，即$m$的值为$-3$或7.
解析
【分析】
本题解题核心是明确数轴上两点间的线段长度（即两点距离）等于两点所表示数中较大数减去较小数，也可表示为两数差的绝对值。
（1）（2）小问可直接判断两个点对应数的大小，用大数减小数计算即可；
（3）小问因不确定m和2的大小关系，可通过列绝对值方程，或分m在2的左侧、右侧两种情况讨论求解，避免漏解。
【解析】
（1）点M、N表示的数分别为-9和1，
∵1 ＞ -9，
∴线段MN的长度为$1 - (-9) = 1 + 9 = 10$；
（2）点E、F表示的数分别为-6和-3，
∵-3 ＞ -6，
∴线段EF的长度为$-3 - (-6) = -3 + 6 = 3$；
（3）由题意，两个点之间的距离为5，即两数差的绝对值为5，可得$|m - 2| = 5$，
去绝对值得：$m - 2 = 5$ 或 $m - 2 = -5$，
分别解得：$m = 7$ 或 $m = -3$。
【答案】
（1）10；（2）3；（3）m的值为-3或7
【知识点】
数轴两点距离；有理数减法；绝对值应用
【点评】
本题属于基础应用题，前两问直接套用距离公式即可得分，第三问需要注意两点位置的不确定性，需全面考虑两种情况，避免出现漏解的问题。
【难度系数】
0.75
本题解题核心是明确数轴上两点间的线段长度（即两点距离）等于两点所表示数中较大数减去较小数，也可表示为两数差的绝对值。
（1）（2）小问可直接判断两个点对应数的大小，用大数减小数计算即可；
（3）小问因不确定m和2的大小关系，可通过列绝对值方程，或分m在2的左侧、右侧两种情况讨论求解，避免漏解。
【解析】
（1）点M、N表示的数分别为-9和1，
∵1 ＞ -9，
∴线段MN的长度为$1 - (-9) = 1 + 9 = 10$；
（2）点E、F表示的数分别为-6和-3，
∵-3 ＞ -6，
∴线段EF的长度为$-3 - (-6) = -3 + 6 = 3$；
（3）由题意，两个点之间的距离为5，即两数差的绝对值为5，可得$|m - 2| = 5$，
去绝对值得：$m - 2 = 5$ 或 $m - 2 = -5$，
分别解得：$m = 7$ 或 $m = -3$。
【答案】
（1）10；（2）3；（3）m的值为-3或7
【知识点】
数轴两点距离；有理数减法；绝对值应用
【点评】
本题属于基础应用题，前两问直接套用距离公式即可得分，第三问需要注意两点位置的不确定性，需全面考虑两种情况，避免出现漏解的问题。
【难度系数】
0.75
