12. (★★)如图,在四边形ABCD中,AC为∠BAD的平分线,过点C作CF⊥AD于点F,且CB=CD.
(1)判断∠ABC与∠D之间的数量关系,并说明理由.
(2)若CF=6,AB=4,S△ACD=21,求DF的长.

(1)
解：$∠ ABC + ∠ D = 180°$，理由如下：
过点$C$作$CE ⊥ AB$，交$AB$的延长线于点$E$。
$\because AC$平分$∠ BAD$，$CF ⊥ AD$，$CE ⊥ AE$，
$\therefore CE = CF$，$∠ CEB = ∠ CFD = 90°$。
在$\mathrm{Rt}△ CEB$和$\mathrm{Rt}△ CFD$中，
$\begin{cases}CB = CD \\CE = CF\end{cases}$
$\therefore \mathrm{Rt}△ CEB ≌ \mathrm{Rt}△ CFD\ (\mathrm{HL})$，
$\therefore ∠ CBE = ∠ D$。
又$\because ∠ ABC + ∠ CBE = 180°$，
$\therefore ∠ ABC + ∠ D = 180°$。
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(2)
解：$\because S_{△ ACD} = \frac{1}{2} · AD · CF = 21$，$CF=6$，
$\therefore \frac{1}{2} × AD × 6 = 21$，
解得$AD = 7$。
在$\mathrm{Rt}△ ACE$和$\mathrm{Rt}△ ACF$中，
$\begin{cases}AC = AC \\CE = CF\end{cases}$
$\therefore \mathrm{Rt}△ ACE ≌ \mathrm{Rt}△ ACF\ (\mathrm{HL})$，
$\therefore AE = AF$。
由(1)中$\mathrm{Rt}△ CEB ≌ \mathrm{Rt}△ CFD$，得$BE = DF$。
设$DF = x$，则$BE = x$，
$\therefore AE = AB + BE = 4 + x$，$AF = AD - DF = 7 - x$。
$\because AE = AF$，
$\therefore 4 + x = 7 - x$，
解得$x = \frac{3}{2}$。
$\therefore DF$的长为$\frac{3}{2}$。

13. (★★★)(1) 如图①, 在$△ ABC$中, $∠ BAC=90°$,$AB=AC$,点$D,E$分别在边$AC$,$AB$上.若$CE=BD$,则线段$AE$和线段$AD$之间的数量关系是.
(2) 如图②, 在$△ ABC$中, $∠ BAC＞90°$,$AB=AC$,点$D,E$分别在边$AC$,$AB$上,且$CE=BD$,则线段$AE$和线段$AD$之间有什么数量关系?请说明理由.

(1) $\boldsymbol{AE=AD}$
(2) 解：$AE=AD$，理由如下：
过点$C$作$CM⊥ AE$，交$EA$的延长线于点$M$，
过点$B$作$BN⊥ AD$，交$DA$的延长线于点$N$。
$\therefore ∠ M = ∠ N = 90°$
$\because ∠ BAC ＞ 90°$，
$\therefore ∠ CAM = 180° - ∠ BAC$，$∠ BAN = 180° - ∠ BAC$，
$\therefore ∠ CAM = ∠ BAN$
在$△ CAM$和$△ BAN$中，
$\{\begin{array}{l}∠ M = ∠ N \\∠ CAM = ∠ BAN \\AC = AB\end{array} $
$\therefore △ CAM ≌ △ BAN \ (\mathrm{AAS})$
$\therefore CM = BN$，$AM = AN$
在$\mathrm{Rt}△ CME$和$\mathrm{Rt}△ BND$中，
$\{\begin{array}{l}CE = BD \\CM = BN\end{array} $
$\therefore \mathrm{Rt}△ CME ≌ \mathrm{Rt}△ BND \ (\mathrm{HL})$
$\therefore EM = DN$
$\because EM = AE + AM$，$DN = AD + AN$
$\therefore AE + AM = AD + AN$
又$\because AM = AN$
$\therefore AE = AD$