19. (★★)如图,在△ABC中,AB=AC=4,∠A=30°,P是BC上任意一点,PM⊥AB于点M,PN⊥AC于点N,则PM+PN的值为 (第19题)

$\boldsymbol{2}$

解：连接AP，过点B作BD⊥AC于点D。
∵ ∠BAC=30°，AB=4，
∴ 在Rt△ABD中，$BD=\frac{1}{2}AB=2$。
∵ $S_{△ ABC}=S_{△ ABP}+S_{△ ACP}$，
∴ $\frac{1}{2}· AC· BD = \frac{1}{2}· AB· PM + \frac{1}{2}· AC· PN$。
又∵ $AB=AC=4$，
等式两边同时除以$\frac{1}{2}×4$，可得$BD=PM+PN$，
∴ $PM+PN=2$。

20. (★★)如图,在$△ ABC$中,$AB=AC$,点$D$在$BC$边上,$∠ DAB=90°$.
(1)当$∠ C=30°$时,求证:$BD=2CD$.
(2)当$BD=2CD$时,$∠ C$是否一定为$30°$?如果一定,给出证明;如果不一定,请说明理由.

(1) 证明：
∵ $AB=AC$，
∴ $∠ B = ∠ C = 30°$，
∴ $∠ BAC = 180° - ∠ B - ∠ C = 120°$。
∵ $∠ DAB = 90°$，
∴ $∠ DAC = ∠ BAC - ∠ DAB = 120° - 90° = 30°$，
∴ $∠ DAC = ∠ C$，
∴ $AD = CD$。
在$\mathrm{Rt}△ ABD$中，$∠ B=30°$，
∴ $BD = 2AD$，
∴ $BD = 2CD$。
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(2) 解：$∠ C$一定为$30°$，证明如下：
取$BD$的中点$E$，连接$AE$。
∵ $∠ DAB = 90°$，$E$为$BD$中点，
∴ $AE = BE = DE = \frac{1}{2}BD$。
∵ $BD = 2CD$，
∴ $CD = \frac{1}{2}BD$，
∴ $AE = CD$，$DE = CD$，
∴ $CE = DE + CD = 2CD$，即 $AE = \frac{1}{2}CE$。
取$CE$的中点$F$，连接$AF$，则$EF = CF = \frac{1}{2}CE$，
∴ $AE = EF$，
∴ $∠ EAF = ∠ EFA$。
∵ $AB=AC$，
∴ $∠ B = ∠ C$，
∵ $AE=BE$，
∴ $∠ B = ∠ BAE$，
∴ $∠ AEC = ∠ B + ∠ BAE = 2∠ B = 2∠ C$。
∵ $∠ EFA$是$△ AFC$的外角，
∴ $∠ EFA = ∠ FAC + ∠ C$，
又∵ $EF=CF$，$AE=CD=DE$，可得$AF=CF$，
∴ $∠ FAC = ∠ C$，
∴ $∠ EFA = 2∠ C$，
∴ $∠ EAF = 2∠ C$，
∴ $∠ EAC = ∠ EAF + ∠ FAC = 2∠ C + ∠ C = 3∠ C$。
在$△ AEC$中，由三角形内角和为$180°$：
$∠ AEC + ∠ C + ∠ EAC = 180°$，
代入得 $2∠ C + ∠ C + 3∠ C = 180°$，
即 $6∠ C = 180°$，
∴ $∠ C = 30°$。