【例3】(2024秋徐水区期末)如图，OM是$∠ AOC$的平分线，ON是$∠ BOC$的平分线. $∠ AOB$是直角，$∠ BOC = 60°$. 求$∠ MON$的度数.

解:因为$∠AOB=90°,∠BOC=60°$,
所以$∠AOC=∠AOB+∠BOC=150°$.
因为OM是$∠AOC$的平分线,ON是$∠BOC$的平分线,
所以$∠COM=\frac{1}{2}∠AOC=75°,∠CON=\frac{1}{2}∠BOC=30°$,
所以$∠MON=∠COM-∠CON=45°$.

【分析】
要求∠MON的度数，可按以下思路推导：首先结合已知的∠AOB（直角）和∠BOC的度数，先求出大角∠AOC的度数；再根据OM、ON分别是∠AOC、∠BOC的角平分线，利用角平分线的定义分别算出∠COM和∠CON的度数；最后观察图形可知∠MON等于∠COM减去∠CON，代入数值计算即可得到结果。
【解析】
解：因为$∠ AOB=90°$，$∠ BOC=60°$，
所以$∠ AOC=∠ AOB+∠ BOC=90°+60°=150°$。
因为OM是$∠ AOC$的平分线，ON是$∠ BOC$的平分线，
所以$∠ COM=\frac{1}{2}∠ AOC=\frac{1}{2}×150°=75°$，$∠ CON=\frac{1}{2}∠ BOC=\frac{1}{2}×60°=30°$，
所以$∠ MON=∠ COM-∠ CON=75°-30°=45°$。
【答案】
$45°$
【知识点】
角平分线的定义，角的和差运算
【点评】
本题属于角的运算的基础题型，解题核心是结合图形理清各个角之间的和差关系，熟练运用角平分线的性质求出对应角的度数即可顺利求解。
【难度系数】
0.85

【变式】如图，OB是∠AOC的平分线，∠COD=$\frac{1}{3}$∠BOD，∠COD=17°，则∠AOD的度数是（）

A.$70°$
B.$83°$
C.$68°$
D.$85°$

D

【分析】
解题时先从已知的角度关系入手，先由∠COD和∠BOD的数量关系求出∠BOD的度数，再计算出∠BOC的度数；接着利用角平分线的性质求出∠AOC的度数，最后将∠AOC和∠COD相加就能得到∠AOD的度数。
【解析】
解：已知$∠ COD=\frac{1}{3}∠ BOD$，$∠ COD=17°$，
∴$∠ BOD=3∠ COD=3×17°=51°$，
∴$∠ BOC=∠ BOD-∠ COD=51°-17°=34°$，
∵OB是$∠ AOC$的平分线，
∴$∠ AOC=2∠ BOC=2×34°=68°$，
∴$∠ AOD=∠ AOC+∠ COD=68°+17°=85°$。
【答案】
D
【知识点】
角平分线的定义；角的和差运算
【点评】
本题是角的运算的基础题，解题的关键是理清图中各个角的位置和数量关系，结合已知条件逐步推导中间角的度数，最终求出目标角的度数，只要细心计算一般都能得分。
【难度系数】
0.8

1. 把一副直角三角板按如图所示拼在一起，则∠ABC等于（）


A.$90°$
B.$100°$
C.$120°$
D.$150°$

C

【分析】
解这道题首先要回忆一副直角三角板的各内角度数：其中一个三角板的三个内角为90°、60°、30°，另一个等腰直角三角板的三个内角为90°、45°、45°。接下来观察图形，明确∠ABC是由两个三角板的角拼接而成，找到组成∠ABC的两个角的度数，最后通过角的和差运算即可求出结果。
【解析】
解：观察图形可知，∠ABC由30°的角和90°的角拼接组成，
所以∠ABC = 30° + 90° = 120°。
【答案】
C
【知识点】
三角板角度特征，角的和差运算
【点评】
本题属于基础题，主要考查对三角板角度的认知和角的和差计算，解题关键是准确识别拼接角的组成，熟悉三角板的固定角度即可快速解题。
【难度系数】
0.8

2. 如图，下列条件中不能确定OC是∠AOB的平分线的是（）

A.∠AOC=∠BOC
B.∠AOB=2∠AOC
C.∠AOC+∠BOC=∠AOB
D.∠BOC=$\frac{1}{2}$∠AOB

C

【分析】
首先明确角平分线的定义：从角的顶点出发，将一个角分成两个相等的角的射线叫做这个角的平分线，判定OC是∠AOB平分线的核心是推出∠AOC=∠BOC（本题已明确OC在∠AOB内部）。接下来逐个分析选项：如果选项条件能推导出两个小角相等，就可以确定OC是角平分线；如果推导不出两个小角相等，就无法确定。
【解析】
结合角平分线的定义和角的和差关系逐个判断：
A. 当∠AOC=∠BOC时，直接符合角平分线的定义，可确定OC平分∠AOB，不符合题意；
B. 当∠AOB=2∠AOC时，已知∠AOB=∠AOC+∠BOC，代入可得$2∠AOC=∠AOC+∠BOC$，化简得∠AOC=∠BOC，可确定OC平分∠AOB，不符合题意；
C. 只要OC在∠AOB内部，就一定满足∠AOC+∠BOC=∠AOB，无法推出∠AOC=∠BOC，不能确定OC是∠AOB的平分线，符合题意；
D. 当$∠ BOC=\frac{1}{2}∠ AOB$时，已知∠AOB=∠AOC+∠BOC，代入可得$∠ BOC=\frac{1}{2}(∠ AOC+∠ BOC)$，化简得∠AOC=∠BOC，可确定OC平分∠AOB，不符合题意。
【答案】
C
【知识点】
角平分线的定义，角的和差运算
【点评】
本题考查角平分线的判定，解题关键是明确只有能推出两个小角相等的条件，才能判定射线是角的平分线，要注意角的和的基本性质对任意角内部的射线都成立，不能作为判定角平分线的依据。
【难度系数】
0.7

3. 如图，$∠ 1=∠ 2$，$∠ 3=∠ 4$，则有下列结论：

①AD平分$∠ BAE$；②AF平分$∠ EAC$；
③AE平分$∠ DAF$；④AF平分$∠ BAC$；
⑤AE平分$∠ BAC$. 其中，正确的有 （）

A.4个
B.3个
C.2个
D.1个

C

【分析】
要判断各结论是否正确，核心依据是角平分线的定义：若一条射线将一个角分成两个大小相等的角，这条射线就是该角的角平分线。解题时先明确图中每个角的组成部分，再结合已知条件∠1=∠2、∠3=∠4逐一验证5个结论即可。
【解析】
首先明确图中各相邻小角的关系：AB与AD的夹角为∠3，AD与AE的夹角为∠1，AE与AF的夹角为∠2，AF与AC的夹角为∠4。
逐个判断结论：
①AD平分∠BAE：需要满足∠BAD=∠DAE，即∠3=∠1，题目未给出该条件，结论错误；
②AF平分∠EAC：需要满足∠EAF=∠FAC，即∠2=∠4，题目未给出该条件，结论错误；
③AE平分∠DAF：需要满足∠DAE=∠EAF，已知∠1=∠2，符合角平分线定义，结论正确；
④AF平分∠BAC：需要满足∠BAF=∠CAF，即∠3+∠1+∠2=∠4，题目未给出该条件，结论错误；
⑤AE平分∠BAC：需要满足∠BAE=∠CAE，即∠3+∠1=∠2+∠4，已知∠1=∠2、∠3=∠4，等式成立，符合角平分线定义，结论正确。
综上，正确的结论共2个。
【答案】
C
【知识点】
角平分线的定义，角的和差运算
【点评】
本题属于角平分线判定的基础题型，解题关键是紧扣角平分线的定义，理清各个角的组成部分，结合已知条件逐一排查，避免因混淆角的构成出现判断失误。
【难度系数】
0.7

4. (2024秋光明区期末)如图，点O在直线AB上，$∠ AOC = 40°$，OD平分$∠ BOC$，则$∠ BOD$的度数是 ()


A.$55°$
B.$60°$
C.$65°$
D.$70°$

D

【分析】
解题时先利用平角的性质求∠BOC的度数：点O在直线AB上，∠AOB是平角为180°，用180°减去已知的∠AOC的度数即可得到∠BOC；再根据角平分线的定义，角平分线将角分为两个相等的小角，因此∠BOD等于∠BOC的一半，代入数值计算即可得到答案。
【解析】
解：
∵点O在直线AB上，
∴∠AOB=180°（平角的定义），
∴∠BOC=180°-∠AOC=180°-40°=140°，
∵OD平分∠BOC，
∴$∠ BOD=\frac{1}{2}∠ BOC=\frac{1}{2}×140°=70°$。
故选D。
【答案】
D
【知识点】
平角定义，角平分线定义，角度计算
【点评】
本题属于基础题型，核心考查角的基本概念和简单运算，熟练掌握平角、角平分线的定义是解题的关键。
【难度系数】
0.9

5. (2024秋拱墅区校级期末)下列说法正确的是
（）

A.经过一个点只能画一条直线
B.两条射线组成的图形叫作角
C.两点间的距离是连接两点的线段的长度
D.将一个角分成两个角的射线叫作角的平分线

C

【分析】
本题属于基础概念辨析题，解题核心是准确回忆直线、角、两点间距离、角平分线的定义，逐一核对每个选项的表述是否符合概念的完整要求，排除错误表述即可得到正确答案。
【解析】
我们逐个分析选项：
A. 经过一个点可以画无数条直线，只有经过两点才能确定唯一一条直线，因此A表述错误；
B. 有公共端点的两条射线组成的图形叫做角，选项缺少“公共端点”这一关键限定条件，因此B表述错误；
C. 两点间的距离的定义就是连接两点的线段的长度，表述符合概念要求，因此C正确；
D. 从角的顶点出发，将一个角分成两个相等的角的射线叫做角的平分线，选项缺少“从顶点出发”“分成两个相等的角”的限定条件，因此D表述错误。
【答案】
C
【知识点】
直线的性质；角与角平分线的定义；两点间的距离
【点评】
本题重点考查几何入门阶段的基础概念掌握情况，出错点多为忽略概念中的限定条件，日常学习中要注意准确记忆概念的完整表述，圈画关键词避免概念混淆。
【难度系数】
0.8

6.已知∠α=25°15′，∠β=25.15°，则∠α∠β(填“＞”“＜”或“=”)

＞

【分析】
要比较两个角的大小，首先观察到两个角的单位表示形式不统一，需要先统一单位再进行比较。我们可以利用度和分的换算关系：1°=60′，要么将∠α中的分换算为度，要么将∠β的小数部分度换算为分，统一单位后再比较数值大小即可。
【解析】
∵ 角度中度和分的换算进率为$1°=60'$，
我们将$∠β$的小数部分换算成分计算：
$0.15°=0.15×60'=9'$，
因此$∠β=25°9'$，
对比$∠α=25°15'$，显然$25°15'＞25°9'$，
故$∠α＞∠β$。
（也可将$∠α$换算为小数度：$15'=15÷60=0.25°$，因此$∠α=25.25°＞25.15°$，结果一致）
【答案】
＞
【知识点】
度分秒的换算；角的大小比较
【点评】
本题是角度比较的基础题型，解题的核心是牢记度、分之间的进率为60，避免误将进率当成10或100导致换算错误，统一单位后再比较大小即可。
【难度系数】
0.8

7.如图,已知BE,CD分别是∠ABC和∠ACB的平分线.若∠ABC=50°,∠ACB=80°,则∠ABE=,∠ACD=.

25° 40°

【分析】
首先梳理题目已知条件：BE是∠ABC的角平分线，CD是∠ACB的角平分线，且已知∠ABC=50°、∠ACB=80°。根据角平分线的定义，角平分线会将一个角分为两个大小相等的角，每个角的大小为原角的$\frac{1}{2}$，因此只需分别将已知的∠ABC、∠ACB的度数除以2，即可求出对应的∠ABE和∠ACD的度数。
【解析】
解：
∵BE是∠ABC的平分线，
∴$∠ ABE = \frac{1}{2}∠ ABC$，
代入$∠ ABC=50°$，可得：
$∠ ABE=\frac{1}{2}×50°=25°$；
∵CD是∠ACB的平分线，
∴$∠ ACD = \frac{1}{2}∠ ACB$，
代入$∠ ACB=80°$，可得：
$∠ ACD=\frac{1}{2}×80°=40°$。
【答案】
$25°$；$40°$
【知识点】
角平分线的定义；角的运算
【点评】
本题属于基础题型，核心考查角平分线定义的直接应用，只要掌握角平分线的性质，准确完成角度计算即可得分。
【难度系数】
0.9