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1. 如图，数学课上，老师让同学们从卡纸上剪下一个扇形，它可以折成一个底面半径$r$为3 cm，高$h$为4 cm的圆锥体，那么这个圆锥的母线长是（
A.3 cm
B.4 cm
C.5 cm
D.6 cm
C
）A.3 cm
B.4 cm
C.5 cm
D.6 cm
答案
1. C
解析
【分析】
要解决这道题，首先回忆圆锥的结构特征：圆锥的母线、底面半径、高三者恰好构成直角三角形，其中母线是这个直角三角形的斜边，已知底面半径r和高h，直接用勾股定理就能求出母线的长度。
【解析】
解：圆锥的母线$l$、底面半径$r$、高$h$满足勾股定理关系，即$l^2=r^2+h^2$。
已知$r=3\mathrm{cm}$，$h=4\mathrm{cm}$，代入公式得：
$l=\sqrt{r^2+h^2}=\sqrt{3^2+4^2}=\sqrt{9+16}=\sqrt{25}=5\mathrm{cm}$
因此圆锥的母线长为5cm。
【答案】
C
【知识点】
圆锥的结构特征，勾股定理的应用
【点评】
本题属于基础题，解题核心是明确圆锥母线、底面半径、高三者的位置关系，结合勾股定理即可快速算出结果，考查的是基础概念和基础公式的应用。
【难度系数】
0.8
要解决这道题，首先回忆圆锥的结构特征：圆锥的母线、底面半径、高三者恰好构成直角三角形，其中母线是这个直角三角形的斜边，已知底面半径r和高h，直接用勾股定理就能求出母线的长度。
【解析】
解：圆锥的母线$l$、底面半径$r$、高$h$满足勾股定理关系，即$l^2=r^2+h^2$。
已知$r=3\mathrm{cm}$，$h=4\mathrm{cm}$，代入公式得：
$l=\sqrt{r^2+h^2}=\sqrt{3^2+4^2}=\sqrt{9+16}=\sqrt{25}=5\mathrm{cm}$
因此圆锥的母线长为5cm。
【答案】
C
【知识点】
圆锥的结构特征，勾股定理的应用
【点评】
本题属于基础题，解题核心是明确圆锥母线、底面半径、高三者的位置关系，结合勾股定理即可快速算出结果，考查的是基础概念和基础公式的应用。
【难度系数】
0.8
2. 已知圆锥的底面直径为10 cm，母线长为13 cm，则圆锥的高线长（
A.8 cm
B.9 cm
C.$\sqrt{69}$ cm
D.12 cm
D
）A.8 cm
B.9 cm
C.$\sqrt{69}$ cm
D.12 cm
答案
2. D
解析
【分析】
解题时首先回忆圆锥的结构特征：圆锥的高线垂直于底面，因此高线、底面半径、母线长恰好构成直角三角形，其中母线长为斜边。因此我们可以先根据底面直径求出底面半径，再结合勾股定理计算出高线的长度。
【解析】
解：已知圆锥底面直径为10 cm，因此底面半径 $ r = 10÷2 = 5\ \mathrm{cm} $。
圆锥的高线$ h $、底面半径$ r $、母线长$ l $满足直角三角形勾股定理：$ h^2 + r^2 = l^2 $。
将$ r=5\ \mathrm{cm} $，$ l=13\ \mathrm{cm} $代入得：
$ h = \sqrt{l^2 - r^2} = \sqrt{13^2 - 5^2} = \sqrt{169 - 25} = \sqrt{144} = 12\ \mathrm{cm} $。
因此本题选D。
【答案】
D
【知识点】
圆锥的性质；勾股定理的应用
【点评】
本题属于基础题型，核心考查圆锥各基本量之间的数量关系，只要明确圆锥中半径、母线、高线构成直角三角形这一特点，结合勾股定理即可快速求解。
【难度系数】
0.8
解题时首先回忆圆锥的结构特征：圆锥的高线垂直于底面，因此高线、底面半径、母线长恰好构成直角三角形，其中母线长为斜边。因此我们可以先根据底面直径求出底面半径，再结合勾股定理计算出高线的长度。
【解析】
解：已知圆锥底面直径为10 cm，因此底面半径 $ r = 10÷2 = 5\ \mathrm{cm} $。
圆锥的高线$ h $、底面半径$ r $、母线长$ l $满足直角三角形勾股定理：$ h^2 + r^2 = l^2 $。
将$ r=5\ \mathrm{cm} $，$ l=13\ \mathrm{cm} $代入得：
$ h = \sqrt{l^2 - r^2} = \sqrt{13^2 - 5^2} = \sqrt{169 - 25} = \sqrt{144} = 12\ \mathrm{cm} $。
因此本题选D。
【答案】
D
【知识点】
圆锥的性质；勾股定理的应用
【点评】
本题属于基础题型，核心考查圆锥各基本量之间的数量关系，只要明确圆锥中半径、母线、高线构成直角三角形这一特点，结合勾股定理即可快速求解。
【难度系数】
0.8
3. 下图是扎西自制的一个无底锥形纸帽的示意图(圆锥的母线和底面图形的直径都是10 cm),围成这个纸帽的纸的面积(不含接缝)是 (
A.$50π\ \mathrm{cm}^2$
B.$100π\ \mathrm{cm}^2$
C.$20π\ \mathrm{cm}^2$
D.$200π\ \mathrm{cm}^2$
A
)A.$50π\ \mathrm{cm}^2$
B.$100π\ \mathrm{cm}^2$
C.$20π\ \mathrm{cm}^2$
D.$200π\ \mathrm{cm}^2$
答案
3. A
解析
【分析】
首先审题明确所求为无底锥形纸帽的用纸面积，即圆锥的侧面积，无需计算底面积。接下来回忆圆锥侧面积的计算公式：圆锥侧面积等于π乘底面半径再乘母线长。然后从题干和示意图中提取已知条件：母线长为10cm，底面直径为10cm，先计算出底面半径，再代入公式即可算出结果。
【解析】
解：由于纸帽为无底圆锥，因此所需纸的面积为圆锥的侧面积。
由题意可知：圆锥母线长$l=10\ \mathrm{cm}$，底面直径为$10\ \mathrm{cm}$，
则底面半径$r=\frac{10}{2}=5\ \mathrm{cm}$。
根据圆锥侧面积公式$S_{\mathrm{侧}}=π r l$，代入数值计算：
$S_{\mathrm{侧}}=π × 5 × 10 = 50π\ \mathrm{cm}^2$。
因此本题选A。
【答案】
A
【知识点】
圆锥侧面积计算，圆锥的基本要素
【点评】
本题是圆锥侧面积的实际应用题，解题时要注意题干中“无底”的限定条件，避免多算底面积，只要熟练掌握圆锥侧面积公式，准确提取对应数值即可正确解答。
【难度系数】
0.8
首先审题明确所求为无底锥形纸帽的用纸面积，即圆锥的侧面积，无需计算底面积。接下来回忆圆锥侧面积的计算公式：圆锥侧面积等于π乘底面半径再乘母线长。然后从题干和示意图中提取已知条件：母线长为10cm，底面直径为10cm，先计算出底面半径，再代入公式即可算出结果。
【解析】
解：由于纸帽为无底圆锥，因此所需纸的面积为圆锥的侧面积。
由题意可知：圆锥母线长$l=10\ \mathrm{cm}$，底面直径为$10\ \mathrm{cm}$，
则底面半径$r=\frac{10}{2}=5\ \mathrm{cm}$。
根据圆锥侧面积公式$S_{\mathrm{侧}}=π r l$，代入数值计算：
$S_{\mathrm{侧}}=π × 5 × 10 = 50π\ \mathrm{cm}^2$。
因此本题选A。
【答案】
A
【知识点】
圆锥侧面积计算，圆锥的基本要素
【点评】
本题是圆锥侧面积的实际应用题，解题时要注意题干中“无底”的限定条件，避免多算底面积，只要熟练掌握圆锥侧面积公式，准确提取对应数值即可正确解答。
【难度系数】
0.8
4. 如图所示,若用半径为8,圆心角为$120°$的扇形围成一个圆锥的侧面(接缝忽略不计),则这个圆锥的底面半径是
$\frac{8}{3}$
。答案
4. $\frac{8}{3}$
解析
【分析】
解决本题的核心是明确圆锥侧面展开图和圆锥的等量关系：扇形围成圆锥侧面时，扇形的弧长等于圆锥底面圆的周长。解题思路如下：第一步，利用弧长公式计算出给定扇形的弧长；第二步，根据弧长与底面圆周长相等的关系，结合圆的周长公式列方程，即可求出圆锥的底面半径。
【解析】
首先计算半径为8，圆心角为120°的扇形的弧长，根据弧长公式$l=\frac{nπ R}{180}$（其中$n$为圆心角度数，$R$为扇形半径）：
$l=\frac{120π×8}{180}=\frac{16π}{3}$
设圆锥的底面半径为$r$，圆锥底面圆的周长为$C=2π r$，由扇形弧长等于底面圆周长可得：
$2π r=\frac{16π}{3}$
两边同时除以$2π$，解得：$r=\frac{8}{3}$
【答案】
$\frac{8}{3}$
【知识点】
弧长公式；圆锥侧面展开图性质；圆周长计算
【点评】
本题属于基础题型，解题的关键是掌握扇形围成圆锥时的核心等量关系，即扇形弧长等于圆锥底面周长，只要熟练掌握相关公式就能顺利求解。
【难度系数】
0.8
解决本题的核心是明确圆锥侧面展开图和圆锥的等量关系：扇形围成圆锥侧面时，扇形的弧长等于圆锥底面圆的周长。解题思路如下：第一步，利用弧长公式计算出给定扇形的弧长；第二步，根据弧长与底面圆周长相等的关系，结合圆的周长公式列方程，即可求出圆锥的底面半径。
【解析】
首先计算半径为8，圆心角为120°的扇形的弧长，根据弧长公式$l=\frac{nπ R}{180}$（其中$n$为圆心角度数，$R$为扇形半径）：
$l=\frac{120π×8}{180}=\frac{16π}{3}$
设圆锥的底面半径为$r$，圆锥底面圆的周长为$C=2π r$，由扇形弧长等于底面圆周长可得：
$2π r=\frac{16π}{3}$
两边同时除以$2π$，解得：$r=\frac{8}{3}$
【答案】
$\frac{8}{3}$
【知识点】
弧长公式；圆锥侧面展开图性质；圆周长计算
【点评】
本题属于基础题型，解题的关键是掌握扇形围成圆锥时的核心等量关系，即扇形弧长等于圆锥底面周长，只要熟练掌握相关公式就能顺利求解。
【难度系数】
0.8
5. 如图，A，B，C，D分别是长方形的四条边上的点，CD是长方形一组对边中点的连线，其长为12，E是线段CD上一点，如果以DE为直径的圆与以CE为半径，圆心角为 $90°$ 的扇形ACB恰好是一个圆锥的底面和侧面展开图，求DE的长。
答案
5. 4
解析
【分析】
要解决本题，核心是利用圆锥侧面展开图的性质：扇形的弧长等于圆锥底面圆的周长。首先设DE的长为x，先分别表示出扇形ACB的弧长和以DE为直径的圆的周长，再根据两者相等列方程求解即可。
步骤：1. 设未知数DE=x，可得CE=CD-DE=12-x；2. 用弧长公式计算圆心角90°、半径为12-x的扇形弧长；3. 计算直径为x的圆的周长；4. 根据弧长=周长列方程，解方程得到x的值。
【解析】
解：设DE的长为$ x $，则$ CE = CD - DE = 12 - x $。
根据圆锥的性质：侧面展开图（扇形）的弧长等于底面圆的周长，可得：
扇形ACB的弧长：$ l_{弧}=\frac{nπ R}{180}=\frac{90π(12 - x)}{180}=\frac{π(12 - x)}{2} $
以DE为直径的圆的周长：$ C_{圆}=π d=π x $
列方程得：
$ \frac{π(12 - x)}{2} = π x $
两边同时除以$ π $，得：
$ \frac{12 - x}{2} = x $
去分母：$ 12 - x = 2x $
移项合并：$ 3x = 12 $
解得：$ x = 4 $
【答案】
4
【知识点】
圆锥展开图性质、弧长计算、圆周长计算
【点评】
本题的解题关键是抓住“圆锥侧面展开扇形的弧长等于底面圆周长”这一核心等量关系，通过设未知数列方程求解，是几何与方程结合的典型基础题。
【难度系数】
0.7
要解决本题，核心是利用圆锥侧面展开图的性质：扇形的弧长等于圆锥底面圆的周长。首先设DE的长为x，先分别表示出扇形ACB的弧长和以DE为直径的圆的周长，再根据两者相等列方程求解即可。
步骤：1. 设未知数DE=x，可得CE=CD-DE=12-x；2. 用弧长公式计算圆心角90°、半径为12-x的扇形弧长；3. 计算直径为x的圆的周长；4. 根据弧长=周长列方程，解方程得到x的值。
【解析】
解：设DE的长为$ x $，则$ CE = CD - DE = 12 - x $。
根据圆锥的性质：侧面展开图（扇形）的弧长等于底面圆的周长，可得：
扇形ACB的弧长：$ l_{弧}=\frac{nπ R}{180}=\frac{90π(12 - x)}{180}=\frac{π(12 - x)}{2} $
以DE为直径的圆的周长：$ C_{圆}=π d=π x $
列方程得：
$ \frac{π(12 - x)}{2} = π x $
两边同时除以$ π $，得：
$ \frac{12 - x}{2} = x $
去分母：$ 12 - x = 2x $
移项合并：$ 3x = 12 $
解得：$ x = 4 $
【答案】
4
【知识点】
圆锥展开图性质、弧长计算、圆周长计算
【点评】
本题的解题关键是抓住“圆锥侧面展开扇形的弧长等于底面圆周长”这一核心等量关系，通过设未知数列方程求解，是几何与方程结合的典型基础题。
【难度系数】
0.7
