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8. 小明准备送礼物给妈妈，他利用边长为$5\sqrt{2}$分米的正方形纸板按如图所示裁剪，制作一个正方体礼品盒，则这个礼品盒的体积为
(第8题)
8
立方分米。 (第8题)答案
8. 8
解析
【分析】
要求正方体礼品盒的体积，核心是先求出正方体的棱长。首先设正方体棱长为a，观察裁剪图可知：大正方形纸板的对角线长度恰好等于5倍的正方体棱长。我们可以先利用正方形边长和对角线的关系算出大正方形的对角线长度，再通过等量关系求出棱长a，最后代入正方体体积公式计算即可。
【解析】
设该正方体礼品盒的棱长为$ a $分米。
1. 计算大正方形纸板的对角线长度：
正方形对角线长度 = 边长$ ×\sqrt{2} $，已知大正方形边长为$ 5\sqrt{2} $分米，因此对角线长为：
$ 5\sqrt{2} × \sqrt{2} = 10 $（分米）
2. 找等量关系求棱长：
观察图形可得，大正方形的对角线长度等于5个正方体棱长之和，即：
$ 5a = 10 $
解得$ a = 2 $
3. 计算正方体体积：
正方体体积公式为$ V = a^3 $，代入$ a=2 $得：
$ V = 2^3 = 8 $（立方分米）
【答案】
8
【知识点】
正方体表面展开图、正方体体积计算、正方形性质
【点评】
本题将几何图形观察和公式计算结合，解题的关键是通过观察裁剪图找到大正方形对角线与正方体棱长的数量关系，能有效考查学生的图形分析能力和知识应用能力。
【难度系数】
0.6
要求正方体礼品盒的体积，核心是先求出正方体的棱长。首先设正方体棱长为a，观察裁剪图可知：大正方形纸板的对角线长度恰好等于5倍的正方体棱长。我们可以先利用正方形边长和对角线的关系算出大正方形的对角线长度，再通过等量关系求出棱长a，最后代入正方体体积公式计算即可。
【解析】
设该正方体礼品盒的棱长为$ a $分米。
1. 计算大正方形纸板的对角线长度：
正方形对角线长度 = 边长$ ×\sqrt{2} $，已知大正方形边长为$ 5\sqrt{2} $分米，因此对角线长为：
$ 5\sqrt{2} × \sqrt{2} = 10 $（分米）
2. 找等量关系求棱长：
观察图形可得，大正方形的对角线长度等于5个正方体棱长之和，即：
$ 5a = 10 $
解得$ a = 2 $
3. 计算正方体体积：
正方体体积公式为$ V = a^3 $，代入$ a=2 $得：
$ V = 2^3 = 8 $（立方分米）
【答案】
8
【知识点】
正方体表面展开图、正方体体积计算、正方形性质
【点评】
本题将几何图形观察和公式计算结合，解题的关键是通过观察裁剪图找到大正方形对角线与正方体棱长的数量关系，能有效考查学生的图形分析能力和知识应用能力。
【难度系数】
0.6
9. 下图是一个立体图形的展开图。
(1)该立体图形的名称是
(2)将展开图折叠成立体图形后，相对的两个面上的数字互为相反数，求$x - y + z$的值。
(1)该立体图形的名称是
正方体
。(2)将展开图折叠成立体图形后，相对的两个面上的数字互为相反数，求$x - y + z$的值。
答案
9. (1)正方体
(2)z 和－5 相对,x 和 6 相对,y 和－3 相对。
∵相对的两个面上的数字互为相反数,
∴z=5,x=-6,y=3,
∴x-y+z=-6-3+5=-4,
∴x-y+z 的值为-4
(2)z 和－5 相对,x 和 6 相对,y 和－3 相对。
∵相对的两个面上的数字互为相反数,
∴z=5,x=-6,y=3,
∴x-y+z=-6-3+5=-4,
∴x-y+z 的值为-4
解析
【分析】
(1) 首先观察展开图的构成：该展开图由6个大小完全相同的正方形组成，符合正方体展开图的特征，由此可判断对应立体图形的名称。
(2) 求解第二问分三步：第一步先根据正方体“一四一”型展开图的相对面判断规律，找到每组相对的面；第二步根据“相对面数字互为相反数”的条件，结合相反数的定义求出x、y、z的值；第三步将三个值代入代数式$x-y+z$，按有理数加减运算法则计算出结果即可。
【解析】
(1) 该展开图为6个相同正方形组成的“一四一”型正方体展开图，因此对应的立体图形是正方体。
(2) ① 判断相对面：根据正方体展开图相对面的判定规则，可得x与6相对，y与-3相对，z与-5相对。
② 求字母的值：已知相对面的数字互为相反数，因此$x=-6$，$y=3$，$z=5$。
③ 代入计算：将x、y、z的值代入代数式得
$x-y+z=-6-3+5=-4$。
【答案】
(1) 正方体
(2) $-4$
【知识点】
正方体展开图、相反数、代数式求值
【点评】
本题属于基础题，核心考查正方体展开图相对面的判断方法，结合相反数性质进行代数式计算，熟练掌握正方体展开图的相对面规律是解题的关键。
【难度系数】
0.7
(1) 首先观察展开图的构成：该展开图由6个大小完全相同的正方形组成，符合正方体展开图的特征，由此可判断对应立体图形的名称。
(2) 求解第二问分三步：第一步先根据正方体“一四一”型展开图的相对面判断规律，找到每组相对的面；第二步根据“相对面数字互为相反数”的条件，结合相反数的定义求出x、y、z的值；第三步将三个值代入代数式$x-y+z$，按有理数加减运算法则计算出结果即可。
【解析】
(1) 该展开图为6个相同正方形组成的“一四一”型正方体展开图，因此对应的立体图形是正方体。
(2) ① 判断相对面：根据正方体展开图相对面的判定规则，可得x与6相对，y与-3相对，z与-5相对。
② 求字母的值：已知相对面的数字互为相反数，因此$x=-6$，$y=3$，$z=5$。
③ 代入计算：将x、y、z的值代入代数式得
$x-y+z=-6-3+5=-4$。
【答案】
(1) 正方体
(2) $-4$
【知识点】
正方体展开图、相反数、代数式求值
【点评】
本题属于基础题，核心考查正方体展开图相对面的判断方法，结合相反数性质进行代数式计算，熟练掌握正方体展开图的相对面规律是解题的关键。
【难度系数】
0.7
10. 一个长方体的形状及尺寸如图所示，若一只蚂蚁从点H出发，则它到达点G的最短路线的长是多少？
答案
10. 它到达点 G 的最短路线的长是 8√2 cm
解析
【分析】
要计算长方体表面两点间的最短路径，需将长方体的表面展开为平面图形，利用“两点之间线段最短”的原理，将立体问题转化为平面直角三角形的边长计算问题。解题时要考虑所有可能的展开方式，分别计算每种方式下H、G两点的线段长度，再比较得出最小值即可。
【解析】
由图可知长方体的长为8，宽为3，高为5，将长方体表面展开有三种常见情况：
情况1：将正面与右侧面展开到同一平面，此时直角三角形的两条直角边分别为$8+3=11$、$5$，则HG的长度为$\sqrt{11^2+5^2}=\sqrt{146}$；
情况2：将正面与上面展开到同一平面，此时直角三角形的两条直角边分别为$5+3=8$、$8$，则HG的长度为$\sqrt{8^2+8^2}=\sqrt{128}=8\sqrt{2}$；
情况3：将底面与右侧面展开到同一平面，此时直角三角形的两条直角边分别为$8+5=13$、$3$，则HG的长度为$\sqrt{13^2+3^2}=\sqrt{178}$；
比较三个结果：$\sqrt{128}＜\sqrt{146}＜\sqrt{178}$，因此最短路线的长为$8\sqrt{2}$。
【答案】
$8\sqrt{2}$
【知识点】
长方体表面展开图；两点之间线段最短；勾股定理
【点评】
本题是立体图形表面最短路径求解的典型题，解题核心是通过展开法将立体问题转化为平面问题，需要注意考虑所有展开情形，避免遗漏情况导致结果错误，对学生的空间想象能力和勾股定理的应用能力有一定要求。
【难度系数】
0.7
要计算长方体表面两点间的最短路径，需将长方体的表面展开为平面图形，利用“两点之间线段最短”的原理，将立体问题转化为平面直角三角形的边长计算问题。解题时要考虑所有可能的展开方式，分别计算每种方式下H、G两点的线段长度，再比较得出最小值即可。
【解析】
由图可知长方体的长为8，宽为3，高为5，将长方体表面展开有三种常见情况：
情况1：将正面与右侧面展开到同一平面，此时直角三角形的两条直角边分别为$8+3=11$、$5$，则HG的长度为$\sqrt{11^2+5^2}=\sqrt{146}$；
情况2：将正面与上面展开到同一平面，此时直角三角形的两条直角边分别为$5+3=8$、$8$，则HG的长度为$\sqrt{8^2+8^2}=\sqrt{128}=8\sqrt{2}$；
情况3：将底面与右侧面展开到同一平面，此时直角三角形的两条直角边分别为$8+5=13$、$3$，则HG的长度为$\sqrt{13^2+3^2}=\sqrt{178}$；
比较三个结果：$\sqrt{128}＜\sqrt{146}＜\sqrt{178}$，因此最短路线的长为$8\sqrt{2}$。
【答案】
$8\sqrt{2}$
【知识点】
长方体表面展开图；两点之间线段最短；勾股定理
【点评】
本题是立体图形表面最短路径求解的典型题，解题核心是通过展开法将立体问题转化为平面问题，需要注意考虑所有展开情形，避免遗漏情况导致结果错误，对学生的空间想象能力和勾股定理的应用能力有一定要求。
【难度系数】
0.7
