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【例3】已知二次函数 $y=(x-m)^2 + 2 - m^2$。
(1)若二次函数的图象经过点$(1,0)$，求$m$的值。
(2)若$x$可取全体实数，当$m＞0$时，$y$的最小值为$-1$。设二次函数的图象与$x$轴的两个交点坐标分别为$A(x_1,0),B(x_2,0)$，求线段$AB$的长度。
(1)若二次函数的图象经过点$(1,0)$，求$m$的值。
(2)若$x$可取全体实数，当$m＞0$时，$y$的最小值为$-1$。设二次函数的图象与$x$轴的两个交点坐标分别为$A(x_1,0),B(x_2,0)$，求线段$AB$的长度。
答案
(1)$m=\frac{3}{2}$。
(2)当$x$可取全体实数时，$y$的最小值为$2-m^2$。
已知$y_{\mathrm{min}}=-1$且$m＞0$，得$2-m^2=-1$，解得$m=\sqrt{3}$，
此时函数为$y=(x-\sqrt{3})^2-1$。
令$y=0$，解方程$(x-\sqrt{3})^2-1=0$，$x=\sqrt{3}\pm1$，
$\therefore A(\sqrt{3}-1,0),B(\sqrt{3}+1,0)$。
$AB=(\sqrt{3}+1)-(\sqrt{3}-1)=2$。
(2)当$x$可取全体实数时，$y$的最小值为$2-m^2$。
已知$y_{\mathrm{min}}=-1$且$m＞0$，得$2-m^2=-1$，解得$m=\sqrt{3}$，
此时函数为$y=(x-\sqrt{3})^2-1$。
令$y=0$，解方程$(x-\sqrt{3})^2-1=0$，$x=\sqrt{3}\pm1$，
$\therefore A(\sqrt{3}-1,0),B(\sqrt{3}+1,0)$。
$AB=(\sqrt{3}+1)-(\sqrt{3}-1)=2$。
解析
【分析】
(1) 函数图象上的点的坐标满足函数解析式，因此将点$(1,0)$代入二次函数解析式，即可得到关于$m$的方程，解方程就能求出$m$的值。
(2) 所给二次函数为顶点式，二次项系数为正，图象开口向上，当$x$取全体实数时，函数的最小值就是顶点的纵坐标，结合已知最小值为$-1$、$m＞0$的条件可求出$m$的值；再令$y=0$，解对应的一元二次方程得到抛物线与$x$轴两个交点的横坐标，两个横坐标的差的绝对值就是线段$AB$的长度。
【解析】
(1) 将点$(1,0)$代入$y=(x-m)^2 + 2 - m^2$，得：
$\begin{aligned}0&=(1-m)^2 + 2 - m^2\\0&=1-2m+m^2+2-m^2\\0&=3-2m\end{aligned}$
解得$m=\frac{3}{2}$。
(2) 二次函数$y=(x-m)^2 + 2 - m^2$的二次项系数$a=1＞0$，图象开口向上，$x$取全体实数时，$y$的最小值为顶点纵坐标$2-m^2$。
由$y_{\mathrm{min}}=-1$且$m＞0$，列方程：
$\begin{aligned}2-m^2&=-1\\m^2&=3\end{aligned}$
因为$m＞0$，所以$m=\sqrt{3}$，此时函数解析式为$y=(x-\sqrt{3})^2 -1$。
令$y=0$，解方程：
$\begin{aligned}(x-\sqrt{3})^2 -1&=0\\(x-\sqrt{3})^2&=1\\x-\sqrt{3}&=\pm1\end{aligned}$
得$x_1=\sqrt{3}-1$，$x_2=\sqrt{3}+1$。
线段$AB$的长度为：
$AB=|x_2-x_1|=|(\sqrt{3}+1)-(\sqrt{3}-1)|=2$
【答案】
(1)$m=\frac{3}{2}$；(2)线段$AB$的长度为$2$
【知识点】
二次函数图象上点的坐标特征；二次函数的最值；抛物线与x轴的交点
【点评】
本题是二次函数的基础常规考题，核心考查顶点式二次函数的性质应用，解题关键是熟练掌握二次函数图象与解析式的对应关系，会用代入法求参数、通过解一元二次方程求抛物线与坐标轴的交点。
【难度系数】
0.7
(1) 函数图象上的点的坐标满足函数解析式，因此将点$(1,0)$代入二次函数解析式，即可得到关于$m$的方程，解方程就能求出$m$的值。
(2) 所给二次函数为顶点式，二次项系数为正，图象开口向上，当$x$取全体实数时，函数的最小值就是顶点的纵坐标，结合已知最小值为$-1$、$m＞0$的条件可求出$m$的值；再令$y=0$，解对应的一元二次方程得到抛物线与$x$轴两个交点的横坐标，两个横坐标的差的绝对值就是线段$AB$的长度。
【解析】
(1) 将点$(1,0)$代入$y=(x-m)^2 + 2 - m^2$，得：
$\begin{aligned}0&=(1-m)^2 + 2 - m^2\\0&=1-2m+m^2+2-m^2\\0&=3-2m\end{aligned}$
解得$m=\frac{3}{2}$。
(2) 二次函数$y=(x-m)^2 + 2 - m^2$的二次项系数$a=1＞0$，图象开口向上，$x$取全体实数时，$y$的最小值为顶点纵坐标$2-m^2$。
由$y_{\mathrm{min}}=-1$且$m＞0$，列方程：
$\begin{aligned}2-m^2&=-1\\m^2&=3\end{aligned}$
因为$m＞0$，所以$m=\sqrt{3}$，此时函数解析式为$y=(x-\sqrt{3})^2 -1$。
令$y=0$，解方程：
$\begin{aligned}(x-\sqrt{3})^2 -1&=0\\(x-\sqrt{3})^2&=1\\x-\sqrt{3}&=\pm1\end{aligned}$
得$x_1=\sqrt{3}-1$，$x_2=\sqrt{3}+1$。
线段$AB$的长度为：
$AB=|x_2-x_1|=|(\sqrt{3}+1)-(\sqrt{3}-1)|=2$
【答案】
(1)$m=\frac{3}{2}$；(2)线段$AB$的长度为$2$
【知识点】
二次函数图象上点的坐标特征；二次函数的最值；抛物线与x轴的交点
【点评】
本题是二次函数的基础常规考题，核心考查顶点式二次函数的性质应用，解题关键是熟练掌握二次函数图象与解析式的对应关系，会用代入法求参数、通过解一元二次方程求抛物线与坐标轴的交点。
【难度系数】
0.7
【例4】图1是一座抛物线形拱桥侧面示意图.水面宽AB与桥长CD均为24 m,在距离D点6 m的E处,测得桥面到桥拱的距离EF为1.5 m,以桥拱顶点O为原点,桥面为x轴建立平面直角坐标系.
(1)求桥拱顶部O离水面的距离.
(2)如图2,桥面上方有3根高度均为4 m的支柱CG,OH,DI,过相邻两根支柱顶端的钢缆呈形状相同的抛物线,其最低点到桥面距离为1 m.
①求出其中一条钢缆抛物线的函数表达式.
②为庆祝节日,在钢缆和桥拱之间竖直装饰若干条彩带,求彩带长度的最小值.
(1)求桥拱顶部O离水面的距离.
(2)如图2,桥面上方有3根高度均为4 m的支柱CG,OH,DI,过相邻两根支柱顶端的钢缆呈形状相同的抛物线,其最低点到桥面距离为1 m.
①求出其中一条钢缆抛物线的函数表达式.
②为庆祝节日,在钢缆和桥拱之间竖直装饰若干条彩带,求彩带长度的最小值.
答案
(1)根据题意可求出拱桥侧面所在抛物线的函数表达式为$y_1=-\frac{1}{24}x^2$，当$x=12$时，$y_1=-\frac{1}{24}×12^2=-6$，
∴桥拱顶部离水面高度为6 m。
(2)①可设右边钢缆所在抛物线的函数表达式为$y_2=a_2(x-6)^2+1$，将$H(0,4)$代入，求得$a_2=\frac{1}{12}$，
∴右边钢缆所在抛物线的函数表达式为$y_2=\frac{1}{12}(x-6)^2+1$，同理可得左边钢缆所在抛物线的函数表达式为$y_3=\frac{1}{12}(x+6)^2+1$；
②设彩带的长度为$L$ m，
则$L=y_2-y_1=\frac{1}{12}(x-6)^2+1-(-\frac{1}{24}x^2)=\frac{1}{8}x^2-x+4=\frac{1}{8}(x-4)^2+2$，
∴当$x=4$时，$L_{\mathrm{最小值}}=2$，
答：彩带长度的最小值是2 m。
∴桥拱顶部离水面高度为6 m。
(2)①可设右边钢缆所在抛物线的函数表达式为$y_2=a_2(x-6)^2+1$，将$H(0,4)$代入，求得$a_2=\frac{1}{12}$，
∴右边钢缆所在抛物线的函数表达式为$y_2=\frac{1}{12}(x-6)^2+1$，同理可得左边钢缆所在抛物线的函数表达式为$y_3=\frac{1}{12}(x+6)^2+1$；
②设彩带的长度为$L$ m，
则$L=y_2-y_1=\frac{1}{12}(x-6)^2+1-(-\frac{1}{24}x^2)=\frac{1}{8}x^2-x+4=\frac{1}{8}(x-4)^2+2$，
∴当$x=4$时，$L_{\mathrm{最小值}}=2$，
答：彩带长度的最小值是2 m。
解析
【分析】
(1) 求桥拱顶部离水面的距离，首先结合坐标系特征：桥拱抛物线顶点在原点、开口向下，可设解析式为$y_1=ax^2(a≠0)$。根据已知条件，CD长24m，E距D点6m，因此E点横坐标为6，EF为桥面到桥拱的距离1.5m，可得F点坐标为$(6,-1.5)$，代入解析式求出$a$的值；再由水面AB宽24m，得B点横坐标为12，代入解析式求对应y值，其绝对值就是所求高度。
(2) ① 求钢缆抛物线解析式：以右侧钢缆为例，其过$H(0,4)$和$I(12,4)$，两点纵坐标相同，因此对称轴为直线$x=6$，已知最低点到桥面距离为1m，即顶点纵坐标为1，可设顶点式$y_2=a_2(x-6)^2+1$，代入H点坐标即可求出解析式，左侧钢缆同理可得。
② 求彩带最小长度：彩带长度为对应横坐标处钢缆纵坐标减去桥拱纵坐标，列出长度关于$x$的函数表达式，利用二次函数性质即可求出最小值。
【解析】
(1) 设桥拱所在抛物线的解析式为$y_1=ax^2(a≠0)$，
由题意得点$F$的坐标为$(6,-1.5)$，将其代入解析式得：
$-1.5=a×6^2$，解得$a=-\frac{1}{24}$，
即桥拱的解析式为$y_1=-\frac{1}{24}x^2$。
水面宽$AB=24\mathrm{m}$，故B点横坐标为12，将$x=12$代入解析式得：
$y_1=-\frac{1}{24}×12^2=-6$，
因此桥拱顶部O离水面的距离为$|-6|=6\mathrm{m}$。
(2) ① 右侧钢缆过$H(0,4)$和$I(12,4)$，最低点到桥面距离为1m，对称轴为直线$x=6$，即顶点坐标为$(6,1)$，
设右侧钢缆解析式为$y_2=a_2(x-6)^2+1(a_2≠0)$，
将$H(0,4)$代入得：$4=a_2×(0-6)^2+1$，解得$a_2=\frac{1}{12}$，
因此右侧钢缆解析式为$y_2=\frac{1}{12}(x-6)^2+1$，
同理可得左侧钢缆解析式为$y_3=\frac{1}{12}(x+6)^2+1$。
② 设彩带长度为$L\mathrm{m}$，则$L=y_2-y_1$，代入解析式得：
$\begin{aligned}L&=\frac{1}{12}(x-6)^2+1-(-\frac{1}{24}x^2)\\&=\frac{1}{8}x^2-x+4\\&=\frac{1}{8}(x-4)^2+2\end{aligned}$
∵$\frac{1}{8}＞0$，抛物线开口向上，
∴当$x=4$时，$L$取得最小值，最小值为2m。
【答案】
(1) $\boldsymbol{6\mathrm{m}}$
(2) ① 右侧：$\boldsymbol{y=\frac{1}{12}(x-6)^2+1}$，左侧：$\boldsymbol{y=\frac{1}{12}(x+6)^2+1}$（写出任意一条即可）
② $\boldsymbol{2\mathrm{m}}$
【知识点】
待定系数法求二次函数解析式，二次函数实际应用，二次函数的最值
【点评】
本题结合生活实际考查二次函数的相关知识，解题关键是结合坐标系确定关键点坐标，灵活选择二次函数的表达形式，将实际问题转化为二次函数问题求解，注重对数学建模能力的考查。
【难度系数】
0.65
(1) 求桥拱顶部离水面的距离，首先结合坐标系特征：桥拱抛物线顶点在原点、开口向下，可设解析式为$y_1=ax^2(a≠0)$。根据已知条件，CD长24m，E距D点6m，因此E点横坐标为6，EF为桥面到桥拱的距离1.5m，可得F点坐标为$(6,-1.5)$，代入解析式求出$a$的值；再由水面AB宽24m，得B点横坐标为12，代入解析式求对应y值，其绝对值就是所求高度。
(2) ① 求钢缆抛物线解析式：以右侧钢缆为例，其过$H(0,4)$和$I(12,4)$，两点纵坐标相同，因此对称轴为直线$x=6$，已知最低点到桥面距离为1m，即顶点纵坐标为1，可设顶点式$y_2=a_2(x-6)^2+1$，代入H点坐标即可求出解析式，左侧钢缆同理可得。
② 求彩带最小长度：彩带长度为对应横坐标处钢缆纵坐标减去桥拱纵坐标，列出长度关于$x$的函数表达式，利用二次函数性质即可求出最小值。
【解析】
(1) 设桥拱所在抛物线的解析式为$y_1=ax^2(a≠0)$，
由题意得点$F$的坐标为$(6,-1.5)$，将其代入解析式得：
$-1.5=a×6^2$，解得$a=-\frac{1}{24}$，
即桥拱的解析式为$y_1=-\frac{1}{24}x^2$。
水面宽$AB=24\mathrm{m}$，故B点横坐标为12，将$x=12$代入解析式得：
$y_1=-\frac{1}{24}×12^2=-6$，
因此桥拱顶部O离水面的距离为$|-6|=6\mathrm{m}$。
(2) ① 右侧钢缆过$H(0,4)$和$I(12,4)$，最低点到桥面距离为1m，对称轴为直线$x=6$，即顶点坐标为$(6,1)$，
设右侧钢缆解析式为$y_2=a_2(x-6)^2+1(a_2≠0)$，
将$H(0,4)$代入得：$4=a_2×(0-6)^2+1$，解得$a_2=\frac{1}{12}$，
因此右侧钢缆解析式为$y_2=\frac{1}{12}(x-6)^2+1$，
同理可得左侧钢缆解析式为$y_3=\frac{1}{12}(x+6)^2+1$。
② 设彩带长度为$L\mathrm{m}$，则$L=y_2-y_1$，代入解析式得：
$\begin{aligned}L&=\frac{1}{12}(x-6)^2+1-(-\frac{1}{24}x^2)\\&=\frac{1}{8}x^2-x+4\\&=\frac{1}{8}(x-4)^2+2\end{aligned}$
∵$\frac{1}{8}＞0$，抛物线开口向上，
∴当$x=4$时，$L$取得最小值，最小值为2m。
【答案】
(1) $\boldsymbol{6\mathrm{m}}$
(2) ① 右侧：$\boldsymbol{y=\frac{1}{12}(x-6)^2+1}$，左侧：$\boldsymbol{y=\frac{1}{12}(x+6)^2+1}$（写出任意一条即可）
② $\boldsymbol{2\mathrm{m}}$
【知识点】
待定系数法求二次函数解析式，二次函数实际应用，二次函数的最值
【点评】
本题结合生活实际考查二次函数的相关知识，解题关键是结合坐标系确定关键点坐标，灵活选择二次函数的表达形式，将实际问题转化为二次函数问题求解，注重对数学建模能力的考查。
【难度系数】
0.65
