8. 提升题▶如图①,在$\odot O$中,弦AD平分圆周角$∠ BAC$,我们将圆中以A为公共点的三条弦BA,CA,DA构成的图形称为圆中的“爪形A”,弦BA,CA,DA称为“爪形A”的“爪”.
(1)如图②,四边形ABCD内接于圆,$AB=BC$,连接BD.
①求证:圆中存在“爪形D”;
②若$∠ ADC=120°$,求证:$AD+CD=BD$.
(2)如图③,四边形ABCD内接于圆,其中$BA=BC$,连接BD.若$AD⊥ DC$,此时“爪形D”的“爪”之间满足怎样的数量关系?请直接写出结果.

解：
(1)①证明：
∵ $AB=BC$，
∴ $\overset{\frown}{AB}=\overset{\frown}{BC}$，
∴ $∠ ADB=∠ CDB$，即弦$BD$平分圆周角$∠ ADC$。
∴ 以$D$为公共点的三条弦$DA,DC,BD$构成“爪形$D$”，即圆中存在“爪形$D$”。
②证明：
在$BD$上截取$DE=AD$，连接$AE$。
∵ $∠ ADC=120°$，$∠ ADB=∠ CDB$，
∴ $∠ ADB=60°$，
又∵ $DE=AD$，
∴ $△ ADE$是等边三角形，
∴ $AD=AE$，$∠ AED=60°$，
∴ $∠ AEB=180°-∠ AED=120°$，即$∠ AEB=∠ ADC$。
∵ $\overset{\frown}{AB}=\overset{\frown}{BC}$，∴ $AB=BC$，$∠ ACB=∠ BAC$，
又∵ $∠ ACB=∠ ADB=60°$，
∴ $△ ABC$是等边三角形，$AB=AC$。
在$△ AEB$和$△ ADC$中：
$\begin{cases}∠ AEB=∠ ADC \\∠ ABE=∠ ACD \\AB=AC\end{cases}$
∴ $△ AEB ≌ △ ADC \ (\mathrm{AAS})$，
∴ $BE=CD$，
∴ $BD=DE+BE=AD+CD$，即$AD+CD=BD$。
(2) $AD+CD=\sqrt{2}BD$