登录
1. 一元二次方程 $ x(x + 2) = 0 $ 的解是（
A.$ x=0 $
B.$ x=-2 $
C.$ x_1=0, x_2=2 $
D.$ x_1=0, x_2=-2 $
D
）。A.$ x=0 $
B.$ x=-2 $
C.$ x_1=0, x_2=2 $
D.$ x_1=0, x_2=-2 $
答案
1.D
解析
【分析】
本题考查用因式分解法解一元二次方程，解题核心是利用“若两个因式的乘积为0，则至少其中一个因式的值为0”的性质，将一元二次方程降次转化为熟悉的一元一次方程求解。观察题目给出的方程，左边已经是两个一次因式相乘、右边为0的形式，无需额外变形，直接拆分求解即可。
【解析】
已知一元二次方程$x(x + 2) = 0$，根据“两数相乘积为0，则至少其中一个数为0”的性质，可得：
$x=0$ 或 $x+2=0$
解一元一次方程$x+2=0$，得$x=-2$
因此原方程的解为$x_1=0$，$x_2=-2$，对应选项D。
【答案】
D
【知识点】
因式分解法解一元二次方程、一元二次方程的解、零乘积原理
【点评】
本题是一元二次方程解法的基础题型，重点考查对因式分解法的理解和运用，只要掌握零乘积的性质就能快速求解，是对基础知识点的直接考察。
【难度系数】
0.9
本题考查用因式分解法解一元二次方程，解题核心是利用“若两个因式的乘积为0，则至少其中一个因式的值为0”的性质，将一元二次方程降次转化为熟悉的一元一次方程求解。观察题目给出的方程，左边已经是两个一次因式相乘、右边为0的形式，无需额外变形，直接拆分求解即可。
【解析】
已知一元二次方程$x(x + 2) = 0$，根据“两数相乘积为0，则至少其中一个数为0”的性质，可得：
$x=0$ 或 $x+2=0$
解一元一次方程$x+2=0$，得$x=-2$
因此原方程的解为$x_1=0$，$x_2=-2$，对应选项D。
【答案】
D
【知识点】
因式分解法解一元二次方程、一元二次方程的解、零乘积原理
【点评】
本题是一元二次方程解法的基础题型，重点考查对因式分解法的理解和运用，只要掌握零乘积的性质就能快速求解，是对基础知识点的直接考察。
【难度系数】
0.9
2. 若一元二次方程的两根为 $ x_1=4, x_2=-5 $，则这个方程可能是(
A.$ (x+4)(x+5)=0 $
B.$ (x-4)(x-5)=0 $
C.$ (x+4)(x-5)=0 $
D.$ (x-4)(x+5)=0 $
D
)。A.$ (x+4)(x+5)=0 $
B.$ (x-4)(x-5)=0 $
C.$ (x+4)(x-5)=0 $
D.$ (x-4)(x+5)=0 $
答案
2.D
解析
【分析】
我们可以利用一元二次方程因式分解形式与根的对应关系解题：若一元二次方程的根为$x=a$，则方程一定含有因式$(x-a)$。已知两根分别为$x_1=4$、$x_2=-5$，我们可以先写出方程的因式分解形式，再和选项对比即可。
【解析】
解：若一元二次方程的两个实数根为$x_1$、$x_2$，则其因式分解形式为$(x - x_1)(x - x_2) = 0$。
将$x_1=4$，$x_2=-5$代入上式，可得：
$(x - 4)[x - (-5)] = 0$
整理得$(x - 4)(x + 5) = 0$，对应选项D。
【答案】
D
【知识点】
1. 一元二次方程的根 2. 因式分解法解一元二次方程
【点评】
本题属于基础题，主要考查一元二次方程的根与因式分解形式的对应关系，解题时注意根为负数时对应的因式符号不要写错即可。
【难度系数】
0.85
我们可以利用一元二次方程因式分解形式与根的对应关系解题：若一元二次方程的根为$x=a$，则方程一定含有因式$(x-a)$。已知两根分别为$x_1=4$、$x_2=-5$，我们可以先写出方程的因式分解形式，再和选项对比即可。
【解析】
解：若一元二次方程的两个实数根为$x_1$、$x_2$，则其因式分解形式为$(x - x_1)(x - x_2) = 0$。
将$x_1=4$，$x_2=-5$代入上式，可得：
$(x - 4)[x - (-5)] = 0$
整理得$(x - 4)(x + 5) = 0$，对应选项D。
【答案】
D
【知识点】
1. 一元二次方程的根 2. 因式分解法解一元二次方程
【点评】
本题属于基础题，主要考查一元二次方程的根与因式分解形式的对应关系，解题时注意根为负数时对应的因式符号不要写错即可。
【难度系数】
0.85
3. 用因式分解法解下列方程：
(1)$x^2 +16x=0$；
(2)$x(x-3)+x-3=0$。
(1)$x^2 +16x=0$；
(2)$x(x-3)+x-3=0$。
答案
(1)$x_1=0,x_2=-16$。
(2)$x_1=3,x_2=-1$。
(2)$x_1=3,x_2=-1$。
解析
【分析】
因式分解法解一元二次方程的核心思路是：将方程变形为“两个一次因式的乘积等于0”的形式，再根据“若两个数的乘积为0，则至少其中一个数为0”，转化为两个一元一次方程求解即可。
(1)观察方程左边两项均含有公因式x，直接提取公因式即可完成因式分解；
(2)观察方程可发现将$(x-3)$看作整体，后两项可转化为$1×(x-3)$，存在公因式$(x-3)$，提取该公因式即可完成因式分解。
【解析】
(1) 对$x^2 +16x=0$左边提取公因式$x$，得：
$x(x+16)=0$
根据乘积为0的性质，可得：
$x=0$ 或 $x+16=0$
解得：$x_1=0$，$x_2=-16$。
(2) 对$x(x-3)+x-3=0$变形，将$(x-3)$作为公因式提取，得：
$(x-3)(x+1)=0$
根据乘积为0的性质，可得：
$x-3=0$ 或 $x+1=0$
解得：$x_1=3$，$x_2=-1$。
【答案】
(1)$x_1=0,x_2=-16$；
(2)$x_1=3,x_2=-1$。
【知识点】
1. 因式分解法解一元二次方程
2. 提公因式法因式分解
【点评】
本题是因式分解法解一元二次方程的基础题型，重点考查提公因式法因式分解的应用，解题的关键是准确识别公因式，第二题需要注意将多项式作为整体公因式提取，掌握方法后可快速完成求解。
【难度系数】
0.9
因式分解法解一元二次方程的核心思路是：将方程变形为“两个一次因式的乘积等于0”的形式，再根据“若两个数的乘积为0，则至少其中一个数为0”，转化为两个一元一次方程求解即可。
(1)观察方程左边两项均含有公因式x，直接提取公因式即可完成因式分解；
(2)观察方程可发现将$(x-3)$看作整体，后两项可转化为$1×(x-3)$，存在公因式$(x-3)$，提取该公因式即可完成因式分解。
【解析】
(1) 对$x^2 +16x=0$左边提取公因式$x$，得：
$x(x+16)=0$
根据乘积为0的性质，可得：
$x=0$ 或 $x+16=0$
解得：$x_1=0$，$x_2=-16$。
(2) 对$x(x-3)+x-3=0$变形，将$(x-3)$作为公因式提取，得：
$(x-3)(x+1)=0$
根据乘积为0的性质，可得：
$x-3=0$ 或 $x+1=0$
解得：$x_1=3$，$x_2=-1$。
【答案】
(1)$x_1=0,x_2=-16$；
(2)$x_1=3,x_2=-1$。
【知识点】
1. 因式分解法解一元二次方程
2. 提公因式法因式分解
【点评】
本题是因式分解法解一元二次方程的基础题型，重点考查提公因式法因式分解的应用，解题的关键是准确识别公因式，第二题需要注意将多项式作为整体公因式提取，掌握方法后可快速完成求解。
【难度系数】
0.9
4.【数学应用】造纸术、印刷术、指南针和火药是中国古代四大发明，这些发明对人类文明的发展产生了深远的影响。在某次科技节期间，同学们计划在长100 cm、宽40 cm（如图）的长方形展板上制作介绍四大发明的海报，每幅海报的面积均为640 cm²，若刚好能在展板外沿与海报之间、相邻海报之间均贴上宽度为x cm的彩色纸带，求彩色纸带的宽度。
答案
解:设彩色纸带的宽度为x cm。
根据题意得$(100-5x)(40-2x)=640×4$。
解得$x_1=4,x_2=36$(不合题意,舍去)。
故彩色纸带的宽度为4 cm。
根据题意得$(100-5x)(40-2x)=640×4$。
解得$x_1=4,x_2=36$(不合题意,舍去)。
故彩色纸带的宽度为4 cm。
解析
【分析】
这是一道结合几何面积的一元二次方程实际应用题，解题思路如下：①先明确未知量是彩色纸带宽度x；②分析横向、纵向海报的总尺寸：横向共有5段宽度为x的纸带（左右边缘各1段，4张海报间3个间隔），因此4张海报的横向总长度为(100-5x)cm；纵向共有2段宽度为x的纸带（上下边缘各1段），因此4张海报的纵向总宽度为(40-2x)cm；③找等量关系：4张海报的总面积=单张海报面积×4，也等于海报总长度×总宽度，据此列方程；④解方程后结合实际意义（长度不能为负）舍去不符合要求的根，得到结果。
【解析】
解：设彩色纸带的宽度为x cm。
根据题意，4张海报的总面积可表示为$(100-5x)(40-2x)$，也等于$640×4$，列方程得：
$(100-5x)(40-2x)=640×4$
整理方程：
左边展开得$4000 - 200x - 200x + 10x^2 = 2560$
移项化简得$x^2 - 40x + 144 = 0$
因式分解得$(x-4)(x-36)=0$
解得$x_1=4$，$x_2=36$
检验：当$x=36$时，$40-2x=40-72=-32＜0$，不符合实际意义，故舍去。
因此$x=4$。
【答案】
彩色纸带的宽度为4 cm。
【知识点】
一元二次方程的应用；矩形面积计算；一元二次方程求解
【点评】
本题结合中国古代四大发明的文化背景，考查了一元二次方程在实际几何问题中的应用，解题的关键是准确数出不同方向的纸带段数，找到正确的等量关系，同时要注意结合实际场景舍去不符合常理的解。
【难度系数】
0.7
这是一道结合几何面积的一元二次方程实际应用题，解题思路如下：①先明确未知量是彩色纸带宽度x；②分析横向、纵向海报的总尺寸：横向共有5段宽度为x的纸带（左右边缘各1段，4张海报间3个间隔），因此4张海报的横向总长度为(100-5x)cm；纵向共有2段宽度为x的纸带（上下边缘各1段），因此4张海报的纵向总宽度为(40-2x)cm；③找等量关系：4张海报的总面积=单张海报面积×4，也等于海报总长度×总宽度，据此列方程；④解方程后结合实际意义（长度不能为负）舍去不符合要求的根，得到结果。
【解析】
解：设彩色纸带的宽度为x cm。
根据题意，4张海报的总面积可表示为$(100-5x)(40-2x)$，也等于$640×4$，列方程得：
$(100-5x)(40-2x)=640×4$
整理方程：
左边展开得$4000 - 200x - 200x + 10x^2 = 2560$
移项化简得$x^2 - 40x + 144 = 0$
因式分解得$(x-4)(x-36)=0$
解得$x_1=4$，$x_2=36$
检验：当$x=36$时，$40-2x=40-72=-32＜0$，不符合实际意义，故舍去。
因此$x=4$。
【答案】
彩色纸带的宽度为4 cm。
【知识点】
一元二次方程的应用；矩形面积计算；一元二次方程求解
【点评】
本题结合中国古代四大发明的文化背景，考查了一元二次方程在实际几何问题中的应用，解题的关键是准确数出不同方向的纸带段数，找到正确的等量关系，同时要注意结合实际场景舍去不符合常理的解。
【难度系数】
0.7
1. 一元二次方程$x^2=2x$的根是(
A.$x=2$
B.$x=0$
C.$x_1=2,x_2=0$
D.$x_1=\sqrt{2},x_2=0$
C
)。A.$x=2$
B.$x=0$
C.$x_1=2,x_2=0$
D.$x_1=\sqrt{2},x_2=0$
答案
1.C
解析
【分析】
本题要求一元二次方程的根，解题时要注意避免直接在等式两边同时除以x，否则会漏掉x=0的根（因为x可能为0，0不能作除数）。正确的解题思路是：先将所有项移到等号左侧，使等号右侧为0，再对左侧多项式进行因式分解，将一元二次方程转化为两个一元一次方程，分别求解即可得到全部的根。
【解析】
解：对原方程$x^2=2x$移项，可得：
$x^2 - 2x = 0$
对左侧提取公因式x进行因式分解，得：
$x(x - 2) = 0$
根据“若两个因式的乘积为0，则至少其中一个因式的值为0”，可得：
$x = 0$ 或 $x - 2 = 0$
分别解得：$x_1=0$，$x_2=2$
因此答案选C。
【答案】
C
【知识点】
1.一元二次方程求解
2.因式分解法
【点评】
本题是一元二次方程求解的基础题型，解题关键是掌握解方程的规范步骤，避免随意约去含未知数的整式导致漏根，用因式分解法求解此类方程更为简便。
【难度系数】
0.9
本题要求一元二次方程的根，解题时要注意避免直接在等式两边同时除以x，否则会漏掉x=0的根（因为x可能为0，0不能作除数）。正确的解题思路是：先将所有项移到等号左侧，使等号右侧为0，再对左侧多项式进行因式分解，将一元二次方程转化为两个一元一次方程，分别求解即可得到全部的根。
【解析】
解：对原方程$x^2=2x$移项，可得：
$x^2 - 2x = 0$
对左侧提取公因式x进行因式分解，得：
$x(x - 2) = 0$
根据“若两个因式的乘积为0，则至少其中一个因式的值为0”，可得：
$x = 0$ 或 $x - 2 = 0$
分别解得：$x_1=0$，$x_2=2$
因此答案选C。
【答案】
C
【知识点】
1.一元二次方程求解
2.因式分解法
【点评】
本题是一元二次方程求解的基础题型，解题关键是掌握解方程的规范步骤，避免随意约去含未知数的整式导致漏根，用因式分解法求解此类方程更为简便。
【难度系数】
0.9
2. 一元二次方程 $ x(x - 2) = 2 - x $ 的根是（
A.$ x_1 = -1, x_2 = 2 $
B.$ x_1 = x_2 = 2 $
C.$ x_1 = 1, x_2 = 2 $
D.$ x_1 = x_2 = -1 $
A
）。A.$ x_1 = -1, x_2 = 2 $
B.$ x_1 = x_2 = 2 $
C.$ x_1 = 1, x_2 = 2 $
D.$ x_1 = x_2 = -1 $
答案
2.A
解析
【分析】
解这道题首先要注意不能直接在方程两边除以$(x-2)$，否则会漏根。观察到方程右侧的$2-x$和左侧的$(x-2)$互为相反数，优先选择因式分解法求解：第一步先移项，将右侧的项移到左侧，使方程右侧为0；第二步提取公因式，将方程转化为两个一次式乘积为0的形式；第三步令每个一次式为0，求解即可得到方程的根。
【解析】
解：对原方程$x(x - 2) = 2 - x$移项，得：
$x(x - 2) + (x - 2) = 0$
提取公因式$(x - 2)$，得：
$(x - 2)(x + 1) = 0$
根据“若两个因式的乘积为0，则至少其中一个因式为0”，可得：
$x - 2 = 0$ 或 $x + 1 = 0$
分别解得$x_1=2$，$x_2=-1$，对应选项A。
【答案】
A
【知识点】
因式分解法解一元二次方程、等式的基本性质
【点评】
本题是一元二次方程求解的基础题型，解题时要注意不要直接在方程两边同时除以含未知数的整式，避免出现漏根的问题，熟练掌握因式分解法解方程的步骤即可快速作答。
【难度系数】
0.8
解这道题首先要注意不能直接在方程两边除以$(x-2)$，否则会漏根。观察到方程右侧的$2-x$和左侧的$(x-2)$互为相反数，优先选择因式分解法求解：第一步先移项，将右侧的项移到左侧，使方程右侧为0；第二步提取公因式，将方程转化为两个一次式乘积为0的形式；第三步令每个一次式为0，求解即可得到方程的根。
【解析】
解：对原方程$x(x - 2) = 2 - x$移项，得：
$x(x - 2) + (x - 2) = 0$
提取公因式$(x - 2)$，得：
$(x - 2)(x + 1) = 0$
根据“若两个因式的乘积为0，则至少其中一个因式为0”，可得：
$x - 2 = 0$ 或 $x + 1 = 0$
分别解得$x_1=2$，$x_2=-1$，对应选项A。
【答案】
A
【知识点】
因式分解法解一元二次方程、等式的基本性质
【点评】
本题是一元二次方程求解的基础题型，解题时要注意不要直接在方程两边同时除以含未知数的整式，避免出现漏根的问题，熟练掌握因式分解法解方程的步骤即可快速作答。
【难度系数】
0.8
