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1. 如图，AM是$△ ABC$的中线，$EF // BC$，分别交$AB$，$AM$，$AC$于点$E$，$N$，$F$。若$\frac{AE}{EB}=\frac{1}{2}$，则下列结论正确的是（
A.$\frac{AN}{AM}=\frac{1}{2}$
B.$\frac{AF}{AC}=\frac{2}{5}$
C.$\frac{MN}{AM}=\frac{2}{3}$
D.$\frac{AN}{MN}=\frac{2}{5}$
C
）。A.$\frac{AN}{AM}=\frac{1}{2}$
B.$\frac{AF}{AC}=\frac{2}{5}$
C.$\frac{MN}{AM}=\frac{2}{3}$
D.$\frac{AN}{MN}=\frac{2}{5}$
答案
1.C
解析
【分析】
解题思路：首先根据已知的$\frac{AE}{EB}=\frac{1}{2}$推导$\frac{AE}{AB}$的比值，再结合$EF// BC$，利用平行线分线段成比例定理得到对应线段的比例关系，逐一验证各选项即可。
第一步：先求$AE$与$AB$的比值：$\frac{AE}{EB}=\frac{1}{2}$，即$EB=2AE$，因此$AB=AE+EB=3AE$，可得$\frac{AE}{AB}=\frac{1}{3}$。
第二步：利用$EF// BC$的性质，得到对应线段的比与$\frac{AE}{AB}$相等，依次计算各选项涉及的比例，判断正误。
【解析】
解：$\because \frac{AE}{EB}=\frac{1}{2}$，$\therefore EB=2AE$，
$\therefore AB=AE+EB=3AE$，即$\frac{AE}{AB}=\frac{1}{3}$。
$\because EF// BC$，根据平行线分线段成比例定理：
在$△ ABM$中，$EN// BM$，$\therefore \frac{AN}{AM}=\frac{AE}{AB}=\frac{1}{3}$，故A选项错误；
在$△ ABC$中，$EF// BC$，$\therefore \frac{AF}{AC}=\frac{AE}{AB}=\frac{1}{3}$，故B选项错误；
由$\frac{AN}{AM}=\frac{1}{3}$得$AN=\frac{1}{3}AM$，
$\therefore MN=AM-AN=AM-\frac{1}{3}AM=\frac{2}{3}AM$，
$\therefore \frac{MN}{AM}=\frac{2}{3}$，故C选项正确；
$\frac{AN}{MN}=\frac{\frac{1}{3}AM}{\frac{2}{3}AM}=\frac{1}{2}$，故D选项错误。
【答案】
C
【知识点】
平行线分线段成比例、三角形中线
【点评】
本题是相似性质的基础应用题，解题关键是先推导AE与AB的比值，再结合平行线的性质得到对应线段的比例，本题中三角形中线为干扰条件，不影响计算结果。
【难度系数】
0.7
解题思路：首先根据已知的$\frac{AE}{EB}=\frac{1}{2}$推导$\frac{AE}{AB}$的比值，再结合$EF// BC$，利用平行线分线段成比例定理得到对应线段的比例关系，逐一验证各选项即可。
第一步：先求$AE$与$AB$的比值：$\frac{AE}{EB}=\frac{1}{2}$，即$EB=2AE$，因此$AB=AE+EB=3AE$，可得$\frac{AE}{AB}=\frac{1}{3}$。
第二步：利用$EF// BC$的性质，得到对应线段的比与$\frac{AE}{AB}$相等，依次计算各选项涉及的比例，判断正误。
【解析】
解：$\because \frac{AE}{EB}=\frac{1}{2}$，$\therefore EB=2AE$，
$\therefore AB=AE+EB=3AE$，即$\frac{AE}{AB}=\frac{1}{3}$。
$\because EF// BC$，根据平行线分线段成比例定理：
在$△ ABM$中，$EN// BM$，$\therefore \frac{AN}{AM}=\frac{AE}{AB}=\frac{1}{3}$，故A选项错误；
在$△ ABC$中，$EF// BC$，$\therefore \frac{AF}{AC}=\frac{AE}{AB}=\frac{1}{3}$，故B选项错误；
由$\frac{AN}{AM}=\frac{1}{3}$得$AN=\frac{1}{3}AM$，
$\therefore MN=AM-AN=AM-\frac{1}{3}AM=\frac{2}{3}AM$，
$\therefore \frac{MN}{AM}=\frac{2}{3}$，故C选项正确；
$\frac{AN}{MN}=\frac{\frac{1}{3}AM}{\frac{2}{3}AM}=\frac{1}{2}$，故D选项错误。
【答案】
C
【知识点】
平行线分线段成比例、三角形中线
【点评】
本题是相似性质的基础应用题，解题关键是先推导AE与AB的比值，再结合平行线的性质得到对应线段的比例，本题中三角形中线为干扰条件，不影响计算结果。
【难度系数】
0.7
2. 如图，点 D，E 分别在$△ ABC$的边 AC，AB 上，$△ ADE ∽ △ ABC$，M，N 分别是 DE，BC 的中点。若$\frac{AM}{AN}=\frac{1}{2}$，则下列结论正确的是（
A.$\frac{AD}{AC}=\frac{1}{2}$
B.$\frac{AE}{AC}=\frac{1}{2}$
C.$\frac{BC}{ED}=\frac{1}{2}$
D.$\frac{AE}{EB}=\frac{1}{2}$
B
）。A.$\frac{AD}{AC}=\frac{1}{2}$
B.$\frac{AE}{AC}=\frac{1}{2}$
C.$\frac{BC}{ED}=\frac{1}{2}$
D.$\frac{AE}{EB}=\frac{1}{2}$
答案
2.B
解析
【分析】
本题考查相似三角形的性质应用，解题思路如下：首先明确相似三角形对应中线的比等于相似比，先由已知的中线比确定两个三角形的相似比，再根据相似三角形对应边成比例的性质，逐一核对各选项的边的比例是否正确即可。
【解析】
解：已知$△ ADE ∽ △ ABC$，M、N分别是DE、BC的中点，因此AM是$△ ADE$中DE边上的中线，AN是$△ ABC$中BC边上的中线。
根据相似三角形的性质：相似三角形对应中线的比等于相似比，可得两个三角形的相似比$k=\frac{AM}{AN}=\frac{1}{2}$。
由相似三角形对应边成比例，可得$\frac{AD}{AB}=\frac{AE}{AC}=\frac{DE}{BC}=\frac{1}{2}$。
逐一分析选项：
A选项：$\frac{AD}{AC}$不是相似三角形的对应边之比，正确应为$\frac{AD}{AB}=\frac{1}{2}$，故A错误；
B选项：$\frac{AE}{AC}=\frac{1}{2}$符合对应边的比例关系，故B正确；
C选项：由$\frac{DE}{BC}=\frac{1}{2}$可推导得$\frac{BC}{DE}=2$，故C错误；
D选项：AE是AB上的线段，已知比例仅能得到AE和AC的关系，无法推出AE与EB的比值为$\frac{1}{2}$，故D错误。
【答案】
B
【知识点】
相似三角形的性质、相似比、对应边成比例
【点评】
本题属于相似三角形性质的基础应用题目，解题的关键是准确识别相似三角形的对应中线和对应边，避免混淆对应边的对应关系导致出错。
【难度系数】
0.7
本题考查相似三角形的性质应用，解题思路如下：首先明确相似三角形对应中线的比等于相似比，先由已知的中线比确定两个三角形的相似比，再根据相似三角形对应边成比例的性质，逐一核对各选项的边的比例是否正确即可。
【解析】
解：已知$△ ADE ∽ △ ABC$，M、N分别是DE、BC的中点，因此AM是$△ ADE$中DE边上的中线，AN是$△ ABC$中BC边上的中线。
根据相似三角形的性质：相似三角形对应中线的比等于相似比，可得两个三角形的相似比$k=\frac{AM}{AN}=\frac{1}{2}$。
由相似三角形对应边成比例，可得$\frac{AD}{AB}=\frac{AE}{AC}=\frac{DE}{BC}=\frac{1}{2}$。
逐一分析选项：
A选项：$\frac{AD}{AC}$不是相似三角形的对应边之比，正确应为$\frac{AD}{AB}=\frac{1}{2}$，故A错误；
B选项：$\frac{AE}{AC}=\frac{1}{2}$符合对应边的比例关系，故B正确；
C选项：由$\frac{DE}{BC}=\frac{1}{2}$可推导得$\frac{BC}{DE}=2$，故C错误；
D选项：AE是AB上的线段，已知比例仅能得到AE和AC的关系，无法推出AE与EB的比值为$\frac{1}{2}$，故D错误。
【答案】
B
【知识点】
相似三角形的性质、相似比、对应边成比例
【点评】
本题属于相似三角形性质的基础应用题目，解题的关键是准确识别相似三角形的对应中线和对应边，避免混淆对应边的对应关系导致出错。
【难度系数】
0.7
3. 如图,将△ABC沿它的中线AD的方向平移得到△A'B'C',A'B'交BC于点M,A'C'交BC于点N。当DM=3BM时,△ABC与△A'MN的相似比为(
A.$\frac{3}{2}$
B.$\frac{2}{3}$
C.$\frac{4}{3}$
D.$\frac{3}{4}$
C
)。A.$\frac{3}{2}$
B.$\frac{2}{3}$
C.$\frac{4}{3}$
D.$\frac{3}{4}$
答案
3.C
解析
【分析】
解题时首先利用平移的性质得到对应边平行，从而推出△A'MN与△ABC相似；再结合AD是△ABC的中线，设BM为参数，根据DM=3BM求出DM与BD的比值，得到△A'MN与△ABC的相似比；最后注意相似比具有顺序性，题目要求的是△ABC与△A'MN的相似比，将前面的相似比取倒数即可得到结果。
【解析】
∵将△ABC沿中线AD的方向平移得到△A'B'C'，
∴A'B'//AB，A'C'//AC，
∴∠A'MN=∠B，∠A'NM=∠C，
∴△A'MN∽△ABC。
∵AD是△ABC的中线，
∴BD=CD。
设BM=a，由DM=3BM得DM=3a，
∴BD=BM+DM=a+3a=4a。
由A'B'//AB可证△A'MD∽△ABD，
∴△A'MD与△ABD的相似比为$\frac{DM}{BD}=\frac{3a}{4a}=\frac{3}{4}$，即△A'MN与△ABC的相似比为$\frac{3}{4}$。
因此△ABC与△A'MN的相似比为$\frac{4}{3}$。
【答案】
C
【知识点】
平移的性质；相似三角形的判定；相似三角形的性质
【点评】
本题是平移与相似三角形的综合题，核心是通过平移的平行特征推导相似三角形，解题时要格外注意相似比的前后顺序，避免因顺序颠倒选错答案。
【难度系数】
0.65
解题时首先利用平移的性质得到对应边平行，从而推出△A'MN与△ABC相似；再结合AD是△ABC的中线，设BM为参数，根据DM=3BM求出DM与BD的比值，得到△A'MN与△ABC的相似比；最后注意相似比具有顺序性，题目要求的是△ABC与△A'MN的相似比，将前面的相似比取倒数即可得到结果。
【解析】
∵将△ABC沿中线AD的方向平移得到△A'B'C'，
∴A'B'//AB，A'C'//AC，
∴∠A'MN=∠B，∠A'NM=∠C，
∴△A'MN∽△ABC。
∵AD是△ABC的中线，
∴BD=CD。
设BM=a，由DM=3BM得DM=3a，
∴BD=BM+DM=a+3a=4a。
由A'B'//AB可证△A'MD∽△ABD，
∴△A'MD与△ABD的相似比为$\frac{DM}{BD}=\frac{3a}{4a}=\frac{3}{4}$，即△A'MN与△ABC的相似比为$\frac{3}{4}$。
因此△ABC与△A'MN的相似比为$\frac{4}{3}$。
【答案】
C
【知识点】
平移的性质；相似三角形的判定；相似三角形的性质
【点评】
本题是平移与相似三角形的综合题，核心是通过平移的平行特征推导相似三角形，解题时要格外注意相似比的前后顺序，避免因顺序颠倒选错答案。
【难度系数】
0.65
4. 如图,在锐角三角形ABC中,点D,E分别在边AC,AB上,∠EAF=∠GAC,AG⊥BC于点G,AF⊥DE于点F。若AD=3,AB=5,则下列结论正确的是(
A.$CD=2$
B.$\frac{AE}{DC}=\frac{3}{2}$
C.$\frac{EF}{BG}=\frac{1}{4}$
D.$\frac{AG}{AF}=\frac{5}{3}$
D
)。A.$CD=2$
B.$\frac{AE}{DC}=\frac{3}{2}$
C.$\frac{EF}{BG}=\frac{1}{4}$
D.$\frac{AG}{AF}=\frac{5}{3}$
答案
4.D
解析
【分析】
解题时先梳理已知条件：已知∠EAF=∠GAC，AG⊥BC、AF⊥DE可得两组直角相等，AD=3，AB=5。首先结合角相等和直角，推导角的关系证明相似三角形：由∠EAF=∠GAC、∠AFE=∠AGC=90°，可得∠AEF=∠C，再结合公共角∠EAD=∠CAB，即可证明△AED∽△ACB。再利用相似三角形的性质：相似三角形对应高的比等于相似比，AF是△AED中DE边上的高，AG是△ACB中BC边上的高，因此高的比等于相似比AD/AB，进而可判断各选项正误，其余选项因缺少AC的长度无法计算对应值，可直接排除。
【解析】
解：
1. 由已知AG⊥BC，AF⊥DE，得∠AFE=∠AGC=90°。
2.
∵∠EAF=∠GAC，∠AFE=∠AGC=90°，根据三角形内角和为180°，可得∠AEF=∠C。
3. 又
∵∠EAD=∠CAB（公共角），
∴△AED∽△ACB（两角分别相等的两个三角形相似）。
4. AF是△AED中DE边上的高，AG是△ACB中BC边上的高，根据相似三角形的性质：相似三角形对应高的比等于相似比，可得$\frac{AF}{AG}=\frac{AD}{AB}$。
5. 代入AD=3，AB=5，得$\frac{AF}{AG}=\frac{3}{5}$，即$\frac{AG}{AF}=\frac{5}{3}$，故D选项正确。
对其他选项逐一判断：
A选项：题目未给出AC的长度，无法求出CD的长，错误；
B选项：由△AED∽△ACB得$\frac{AE}{AC}=\frac{AD}{AB}=\frac{3}{5}$，但未知AC的长度，无法求出DC的长度，故无法得到$\frac{AE}{DC}$的值，错误；
C选项：同理可得$\frac{EF}{BG}=\frac{AF}{AG}=\frac{3}{5}≠\frac{1}{4}$，错误。
综上，答案选D。
【答案】
D
【知识点】
相似三角形的判定；相似三角形的性质
【点评】
本题重点考查相似三角形的判定与性质的应用，解题的关键是通过角的等量关系找到相似三角形，再利用相似三角形对应高的比等于相似比求解，解题时可结合选项先排除无法计算的选项，提升解题效率。
【难度系数】
0.7
解题时先梳理已知条件：已知∠EAF=∠GAC，AG⊥BC、AF⊥DE可得两组直角相等，AD=3，AB=5。首先结合角相等和直角，推导角的关系证明相似三角形：由∠EAF=∠GAC、∠AFE=∠AGC=90°，可得∠AEF=∠C，再结合公共角∠EAD=∠CAB，即可证明△AED∽△ACB。再利用相似三角形的性质：相似三角形对应高的比等于相似比，AF是△AED中DE边上的高，AG是△ACB中BC边上的高，因此高的比等于相似比AD/AB，进而可判断各选项正误，其余选项因缺少AC的长度无法计算对应值，可直接排除。
【解析】
解：
1. 由已知AG⊥BC，AF⊥DE，得∠AFE=∠AGC=90°。
2.
∵∠EAF=∠GAC，∠AFE=∠AGC=90°，根据三角形内角和为180°，可得∠AEF=∠C。
3. 又
∵∠EAD=∠CAB（公共角），
∴△AED∽△ACB（两角分别相等的两个三角形相似）。
4. AF是△AED中DE边上的高，AG是△ACB中BC边上的高，根据相似三角形的性质：相似三角形对应高的比等于相似比，可得$\frac{AF}{AG}=\frac{AD}{AB}$。
5. 代入AD=3，AB=5，得$\frac{AF}{AG}=\frac{3}{5}$，即$\frac{AG}{AF}=\frac{5}{3}$，故D选项正确。
对其他选项逐一判断：
A选项：题目未给出AC的长度，无法求出CD的长，错误；
B选项：由△AED∽△ACB得$\frac{AE}{AC}=\frac{AD}{AB}=\frac{3}{5}$，但未知AC的长度，无法求出DC的长度，故无法得到$\frac{AE}{DC}$的值，错误；
C选项：同理可得$\frac{EF}{BG}=\frac{AF}{AG}=\frac{3}{5}≠\frac{1}{4}$，错误。
综上，答案选D。
【答案】
D
【知识点】
相似三角形的判定；相似三角形的性质
【点评】
本题重点考查相似三角形的判定与性质的应用，解题的关键是通过角的等量关系找到相似三角形，再利用相似三角形对应高的比等于相似比求解，解题时可结合选项先排除无法计算的选项，提升解题效率。
【难度系数】
0.7
5. 如图,在$△ ABC$中,$AB=6$,$AC=9$,点D在AC上,且$△ ADB ∽ △ ABC$,点M和N分别为BD和BC的中点,$AM=3.4$,则AN的长为
5.1
。答案
5.5.1
解析
【分析】
解题时首先明确相似三角形的对应关系：△ADB∽△ABC，根据相似三角形对应边成比例先求出两个三角形的相似比；再结合M、N分别是BD、BC的中点，可知AM、AN分别是两个相似三角形对应边上的中线，根据相似三角形“对应中线的比等于相似比”的性质，将已知的AM长度代入比例式，即可计算出AN的长度。
【解析】
解：
∵△ADB∽△ABC
∴两三角形的相似比为$\frac{AB}{AC}=\frac{6}{9}=\frac{2}{3}$
∵点M是BD的中点，点N是BC的中点
∴AM是△ADB中BD边上的中线，AN是△ABC中BC边上的中线
根据相似三角形的性质：相似三角形对应中线的比等于相似比，可得：
$\frac{AM}{AN}=\frac{AB}{AC}=\frac{2}{3}$
将AM=3.4代入上式：
$\frac{3.4}{AN}=\frac{2}{3}$
解得$AN=3.4×\frac{3}{2}=5.1$
【答案】
5.1
【知识点】
相似三角形的性质，比例计算
【点评】
本题是相似三角形性质的基础应用题，解题的关键是准确对应相似三角形的相关线段，牢记相似三角形对应中线的比等于相似比，就能快速列式求解。
【难度系数】
0.75
解题时首先明确相似三角形的对应关系：△ADB∽△ABC，根据相似三角形对应边成比例先求出两个三角形的相似比；再结合M、N分别是BD、BC的中点，可知AM、AN分别是两个相似三角形对应边上的中线，根据相似三角形“对应中线的比等于相似比”的性质，将已知的AM长度代入比例式，即可计算出AN的长度。
【解析】
解：
∵△ADB∽△ABC
∴两三角形的相似比为$\frac{AB}{AC}=\frac{6}{9}=\frac{2}{3}$
∵点M是BD的中点，点N是BC的中点
∴AM是△ADB中BD边上的中线，AN是△ABC中BC边上的中线
根据相似三角形的性质：相似三角形对应中线的比等于相似比，可得：
$\frac{AM}{AN}=\frac{AB}{AC}=\frac{2}{3}$
将AM=3.4代入上式：
$\frac{3.4}{AN}=\frac{2}{3}$
解得$AN=3.4×\frac{3}{2}=5.1$
【答案】
5.1
【知识点】
相似三角形的性质，比例计算
【点评】
本题是相似三角形性质的基础应用题，解题的关键是准确对应相似三角形的相关线段，牢记相似三角形对应中线的比等于相似比，就能快速列式求解。
【难度系数】
0.75
6.【跨学科】如图,将一个透明的玻璃沙漏与两把尺子放在桌面上,沙漏底部边缘C,D在水平放置的尺子上的读数分别为3 cm和7 cm,且C,D所在的直线与竖直放置的尺子的0刻度线重合,沙漏的中心点O刚好和刻度5 cm水平对齐,上面部分的沙面(A,B所在直线)与刻度8 cm水平对齐,此时沙面的宽AB为
2.4
cm。答案
6.2.4
解析
【分析】
首先观察图形可知AB与CD均为水平线，因此AB//CD，可判定△OAB与△OCD相似；接下来先计算CD的实际长度，再分别求出两个相似三角形对应高的长度，最后利用相似三角形对应边的比等于对应高的比，即可求出AB的长度。
【解析】
1. 计算CD的长度：由水平放置的尺子读数可知，C点对应3cm，D点对应7cm，因此$CD=7\mathrm{cm}-3\mathrm{cm}=4\mathrm{cm}$。
2. 计算两个三角形的高：竖直放置的尺子中，中心点O对应刻度5cm，AB对应刻度8cm，CD所在直线对应0刻度，因此△OAB的高为$8\mathrm{cm}-5\mathrm{cm}=3\mathrm{cm}$，△OCD的高为$5\mathrm{cm}-0\mathrm{cm}=5\mathrm{cm}$。
3. 利用相似三角形性质计算AB：
∵ $AB// CD$，
∴ $∠ OAB=∠ OCD$，$∠ OBA=∠ ODC$，
∴ $△ OAB ∽ △ OCD$，
∴ $\frac{AB}{CD}=\frac{△ OAB的高}{△ OCD的高}$，
代入数值得$\frac{AB}{4}=\frac{3}{5}$，解得$AB=4×\frac{3}{5}=2.4\mathrm{cm}$。
【答案】
2.4
【知识点】
相似三角形的判定；相似三角形的性质
【点评】
本题结合生活中的沙漏场景考查相似三角形的实际应用，解题的关键是根据平行线找到相似三角形，明确相似三角形对应边与对应高的比例关系，将实际问题转化为几何计算问题。
【难度系数】
0.7
首先观察图形可知AB与CD均为水平线，因此AB//CD，可判定△OAB与△OCD相似；接下来先计算CD的实际长度，再分别求出两个相似三角形对应高的长度，最后利用相似三角形对应边的比等于对应高的比，即可求出AB的长度。
【解析】
1. 计算CD的长度：由水平放置的尺子读数可知，C点对应3cm，D点对应7cm，因此$CD=7\mathrm{cm}-3\mathrm{cm}=4\mathrm{cm}$。
2. 计算两个三角形的高：竖直放置的尺子中，中心点O对应刻度5cm，AB对应刻度8cm，CD所在直线对应0刻度，因此△OAB的高为$8\mathrm{cm}-5\mathrm{cm}=3\mathrm{cm}$，△OCD的高为$5\mathrm{cm}-0\mathrm{cm}=5\mathrm{cm}$。
3. 利用相似三角形性质计算AB：
∵ $AB// CD$，
∴ $∠ OAB=∠ OCD$，$∠ OBA=∠ ODC$，
∴ $△ OAB ∽ △ OCD$，
∴ $\frac{AB}{CD}=\frac{△ OAB的高}{△ OCD的高}$，
代入数值得$\frac{AB}{4}=\frac{3}{5}$，解得$AB=4×\frac{3}{5}=2.4\mathrm{cm}$。
【答案】
2.4
【知识点】
相似三角形的判定；相似三角形的性质
【点评】
本题结合生活中的沙漏场景考查相似三角形的实际应用，解题的关键是根据平行线找到相似三角形，明确相似三角形对应边与对应高的比例关系，将实际问题转化为几何计算问题。
【难度系数】
0.7
