7.【数学应用】数学实践小组的同学测量河的宽度。如图，这条河的两岸平行，小丽站在距离南岸20 m的点P处（即PE=20 m），小军和小强站在南岸边。当小军和小强两人分别站在C，D两点处时，小丽发现北岸边的两根电线杆恰好被小军和小强遮挡（即A，C，P三点共线，B，D，P三点共线）。已知电线杆A，B之间的距离为100 m，小军和小强两人之间的距离CD为40 m，PE⊥CD于点E，求河的宽度。

7.解:如图,延长 PE 交 AB 于点 F。
$\because PE⊥CD,AB// CD,\therefore PF⊥AB$。
依题意,$CD=40\ \mathrm{m},AB=100\ \mathrm{m},PE=20\ \mathrm{m}$。
设这条河的宽度为 $x\ \mathrm{m}$。
$\because AB// CD$,
$\therefore ∠PCD=∠PAB,∠PDC=∠PBA$,
$\therefore △PBA∽△PDC$,
$\therefore \frac{PF}{PE}=\frac{AB}{CD},即\frac{20+x}{20}=\frac{100}{40},解得x=30$,
故河的宽度为 30 m。

【分析】
本题为利用相似三角形测量河宽的实际应用题，解题可按以下思路推导：首先由河两岸AB、CD平行的条件，可通过平行线得到相等的对应角，进而判定两个三角形相似；其次要求河宽即两岸的垂直距离，可延长PE交AB于F，得到点P到北岸的距离PF=PE+河宽；最后根据相似三角形对应高的比等于对应边的相似比，列方程即可求解河宽。
【解析】
解：如图，延长PE交AB于点F。
$\because PE⊥ CD,AB// CD,\therefore PF⊥ AB$。
依题意，$CD=40\ \mathrm{m},AB=100\ \mathrm{m},PE=20\ \mathrm{m}$。
设这条河的宽度为 $x\ \mathrm{m}$，则$PF=(20+x)\mathrm{m}$。
$\because AB// CD$，
$\therefore ∠ PCD=∠ PAB,∠ PDC=∠ PBA$，
$\therefore △ PBA∽ △ PDC$，
根据相似三角形的性质，对应高的比等于相似比，可得：
$\frac{PF}{PE}=\frac{AB}{CD}$，即$\frac{20+x}{20}=\frac{100}{40}$，
解得$x=30$。
【答案】
7.解:如图,延长 PE 交 AB 于点 F。
$\because PE⊥CD,AB// CD,\therefore PF⊥AB$。
依题意,$CD=40\ \mathrm{m},AB=100\ \mathrm{m},PE=20\ \mathrm{m}$。
设这条河的宽度为 $x\ \mathrm{m}$。
$\because AB// CD$,
$\therefore ∠PCD=∠PAB,∠PDC=∠PBA$,
$\therefore △PBA∽△PDC$,
$\therefore \frac{PF}{PE}=\frac{AB}{CD},即\frac{20+x}{20}=\frac{100}{40},解得x=30$,
故河的宽度为 30 m。
【知识点】
相似三角形的判定；相似三角形的性质；相似三角形的实际应用
【点评】
本题是相似三角形解决实际测量问题的典型题目，解题核心是通过作辅助线构造相似三角形，将实际的距离问题转化为相似三角形的线段比例问题，借助方程求解，侧重考察学生的知识迁移应用能力和建模思想。
【难度系数】
0.7

8.【综合实践】如图,有一块锐角三角形卡纸$ABC$,$BC=120\ \mathrm{cm}$,高$AD=80\ \mathrm{cm}$。现进行两次裁剪:第一次将卡纸裁剪成一个邻边之比为$2:5$的矩形纸片$EFGH$,且长边$FG$在边$BC$上,顶点$E$,$H$分别在边$AB$,$AC$上;第二次将剩余的三角形卡纸$AEH$裁剪成正方形纸片$PMNQ$,裁剪时正方形纸片的边$MN$在边$EH$上,顶点$P$,$Q$分别在$AE$,$AH$上。
(1)求$EH$的长。
(2)小聪是按以下方法裁剪正方形纸片$PMNQ$的:先沿着$△ AEH$中与边$EH$平行的中位线剪一刀,再沿过该中位线两端点向边$EH$所作的垂线剪两刀。请你通过计算,判断小聪的剪法是否正确,并说明理由。

8.解:(1)设 AD 与 PQ,EH 的交点分别为点 K,R。
由题可得 $EF:EH=2:5$,
$\therefore$ 设 $EF=2x\ \mathrm{cm},EH=5x\ \mathrm{cm}$。
$\because$ 四边形 EFGH 是矩形,$\therefore EH// BC$,
$\therefore ∠B=∠AEH,∠C=∠AHE$,
$\therefore △AEH∽△ABC$,
$\therefore \frac{EH}{BC}=\frac{AR}{AD},即\frac{5x}{120}=\frac{80-2x}{80},解得x=15$,
$\therefore EH=5×15=75$,
即 $EH$ 的长为 75 cm。
(2)小聪的剪法不正确。理由如下:
设正方形 $PMNQ$ 的边长为 $a$,则 $AR=AD-RD=80-2×15=50(\mathrm{cm}),AK=(50-a)\mathrm{cm}$。
同(1)得$△APQ∽△AEH$,
$\therefore \frac{PQ}{EH}=\frac{AK}{AR},即\frac{a}{75}=\frac{50-a}{50},解得a=30$。
$\because PQ$ 是$△AEH$ 的中位线,$EH=75\ \mathrm{cm}$,
$\therefore PQ=\frac{1}{2}EH=\frac{1}{2}×75=37.5(\mathrm{cm})$。
$\because 37.5≠30$,
$\therefore$ 小聪的剪法不正确。

【分析】
(1)求EH的长度时，利用矩形对边平行的性质可得EH//BC，从而推出△AEH∽△ABC，结合相似三角形对应高的比等于相似比即可列方程求解。首先根据矩形邻边比2:5设EF=2x、EH=5x，△AEH的高为AD减去EF的长度，代入相似比公式求出x的值即可得到EH的长。
(2)判断小聪的剪法是否正确，需先计算符合要求的正方形PMNQ的边长，再与△AEH中位线的长度对比：同理可得△APQ∽△AEH，设正方形边长为a，△APQ的高为AR减去a，列方程求出a的值，再计算中位线长度，若二者相等则剪法正确，否则错误。
【解析】
(1)设AD与PQ、EH的交点分别为点K、R。
由题意得矩形EFGH的邻边比$EF:EH=2:5$，设$EF=2x\ \mathrm{cm},EH=5x\ \mathrm{cm}$。
∵四边形EFGH是矩形，$\therefore EH// BC$，
$\therefore ∠B=∠AEH,∠C=∠AHE$，$\therefore △AEH∽△ABC$。
根据相似三角形对应高的比等于相似比，可得$\frac{EH}{BC}=\frac{AR}{AD}$，其中$AR=AD-EF=80-2x$，代入数值：
$\frac{5x}{120}=\frac{80-2x}{80}$，
解得$x=15$，
$\therefore EH=5×15=75(\mathrm{cm})$。
(2)小聪的剪法不正确，理由如下：
设正方形$PMNQ$的边长为$a\ \mathrm{cm}$，由(1)得$AR=80-2×15=50(\mathrm{cm})$，则$△ APQ$的高$AK=50-a$。
同(1)可得$PQ// EH$，$\therefore △APQ∽△AEH$，
$\therefore \frac{PQ}{EH}=\frac{AK}{AR}$，即$\frac{a}{75}=\frac{50-a}{50}$，
解得$a=30$。
若PQ是$△ AEH$的中位线，则$PQ=\frac{1}{2}EH=\frac{1}{2}×75=37.5(\mathrm{cm})$。
$\because 37.5≠30$，
$\therefore$ 小聪的剪法不正确。
【答案】
(1)$EH$的长为$\boldsymbol{75\ \mathrm{cm}}$；
(2)小聪的剪法不正确。
【知识点】
相似三角形的性质；矩形的性质；正方形的性质
【点评】
本题以三角形裁剪图形为背景，考查相似三角形的实际应用，核心是利用相似三角形对应高的比等于相似比建立方程求解，能有效考查几何建模能力和方程思想的应用能力，是相似三角形应用的典型题型。
【难度系数】
0.6