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1. [2026合肥模拟]下列计算正确的是 （
A.$25^0=1$
B.$a^{-2}=-a^2$
C.$(-a^2)^3=a^6$
D.$x^9÷ x^3=x^3$
A
）A.$25^0=1$
B.$a^{-2}=-a^2$
C.$(-a^2)^3=a^6$
D.$x^9÷ x^3=x^3$
答案
1.A
解析
【分析】
这道题的考点是整数指数幂的运算正误判断，解题思路是先回忆各类整数指数幂的运算法则，再逐一验证每个选项的计算是否符合对应法则，最终选出正确选项。需要用到的核心法则包括：①零指数幂：$a^0=1(a≠0)$；②负整数指数幂：$a^{-n}=\frac{1}{a^n}(a≠0，n为正整数)$；③幂的乘方：$(a^m)^n=a^{mn}$，积的乘方：$(ab)^n=a^nb^n$；④同底数幂的除法：$a^m÷ a^n=a^{m-n}(a≠0)$。
【解析】
我们逐一分析每个选项：
选项A：根据零指数幂法则，非零数的0次幂等于1，25是非零数，因此$25^0=1$，计算正确。
选项B：根据负整数指数幂法则，$a^{-2}=\frac{1}{a^2}(a≠0)$，不等于$-a^2$，计算错误。
选项C：根据积的乘方和幂的乘方法则，$(-a^2)^3=(-1)^3×(a^2)^3=-a^6$，不等于$a^6$，计算错误。
选项D：根据同底数幂的除法法则，$x^9÷ x^3=x^{9-3}=x^6$，不等于$x^3$，计算错误。
综上，只有A选项计算正确。
【答案】
A
【知识点】
零指数幂运算；负整数指数幂运算；幂的乘除运算
【点评】
本题考查整数指数幂的基础运算法则，解题的关键是准确区分不同幂运算的规则，尤其注意运算过程中的符号变化和指数的计算，避免混淆不同法则导致出错。
【难度系数】
0.8
这道题的考点是整数指数幂的运算正误判断，解题思路是先回忆各类整数指数幂的运算法则，再逐一验证每个选项的计算是否符合对应法则，最终选出正确选项。需要用到的核心法则包括：①零指数幂：$a^0=1(a≠0)$；②负整数指数幂：$a^{-n}=\frac{1}{a^n}(a≠0，n为正整数)$；③幂的乘方：$(a^m)^n=a^{mn}$，积的乘方：$(ab)^n=a^nb^n$；④同底数幂的除法：$a^m÷ a^n=a^{m-n}(a≠0)$。
【解析】
我们逐一分析每个选项：
选项A：根据零指数幂法则，非零数的0次幂等于1，25是非零数，因此$25^0=1$，计算正确。
选项B：根据负整数指数幂法则，$a^{-2}=\frac{1}{a^2}(a≠0)$，不等于$-a^2$，计算错误。
选项C：根据积的乘方和幂的乘方法则，$(-a^2)^3=(-1)^3×(a^2)^3=-a^6$，不等于$a^6$，计算错误。
选项D：根据同底数幂的除法法则，$x^9÷ x^3=x^{9-3}=x^6$，不等于$x^3$，计算错误。
综上，只有A选项计算正确。
【答案】
A
【知识点】
零指数幂运算；负整数指数幂运算；幂的乘除运算
【点评】
本题考查整数指数幂的基础运算法则，解题的关键是准确区分不同幂运算的规则，尤其注意运算过程中的符号变化和指数的计算，避免混淆不同法则导致出错。
【难度系数】
0.8
2.计算：$a^2 · a · a^5 + (-3a^4)^2 - (a^2)^4 = \_\_\_\_\_\_.$
答案
2.$9a^8$
解析
【分析】
本题是整式的幂运算混合计算题，解题时需按照“先算乘方，再算乘法，最后合并同类项”的顺序进行：首先分别识别每一项的运算类型，回忆对应运算法则：第一项是同底数幂相乘，底数不变指数相加；第二项是积的乘方，需先将每个因式分别乘方，再结合幂的乘方法则计算；第三项是幂的乘方，底数不变指数相乘，最后将三项计算结果合并同类项即可得到最终答案。
【解析】
解：分别计算每一项：
1. 计算同底数幂的乘法：$a^2 · a · a^5 = a^{2+1+5} = a^8$
2. 计算积的乘方与幂的乘方：$(-3a^4)^2 = (-3)^2 · (a^4)^2 = 9a^{4×2} = 9a^8$
3. 计算幂的乘方：$(a^2)^4 = a^{2×4} = a^8$
4. 合并同类项：
$a^8 + 9a^8 - a^8 = (1+9-1)a^8 = 9a^8$
【答案】
$9a^8$
【知识点】
同底数幂的乘法；幂的乘方与积的乘方；合并同类项
【点评】
本题属于幂运算的基础计算题，解题核心是熟练掌握各类幂运算的法则，计算时注意运算顺序，处理好符号和指数的运算，避免出现指数计算错误、符号处理失误的问题。
【难度系数】
0.8
本题是整式的幂运算混合计算题，解题时需按照“先算乘方，再算乘法，最后合并同类项”的顺序进行：首先分别识别每一项的运算类型，回忆对应运算法则：第一项是同底数幂相乘，底数不变指数相加；第二项是积的乘方，需先将每个因式分别乘方，再结合幂的乘方法则计算；第三项是幂的乘方，底数不变指数相乘，最后将三项计算结果合并同类项即可得到最终答案。
【解析】
解：分别计算每一项：
1. 计算同底数幂的乘法：$a^2 · a · a^5 = a^{2+1+5} = a^8$
2. 计算积的乘方与幂的乘方：$(-3a^4)^2 = (-3)^2 · (a^4)^2 = 9a^{4×2} = 9a^8$
3. 计算幂的乘方：$(a^2)^4 = a^{2×4} = a^8$
4. 合并同类项：
$a^8 + 9a^8 - a^8 = (1+9-1)a^8 = 9a^8$
【答案】
$9a^8$
【知识点】
同底数幂的乘法；幂的乘方与积的乘方；合并同类项
【点评】
本题属于幂运算的基础计算题，解题核心是熟练掌握各类幂运算的法则，计算时注意运算顺序，处理好符号和指数的运算，避免出现指数计算错误、符号处理失误的问题。
【难度系数】
0.8
3.已知$ 3^a = 4, 3^b = 5, 3^c = 8. $
(1)$ 3^{b+c} = \_\_\_\_\_\_ ; $
(2)$ 3^{2a - 3b} = \_\_\_\_\_\_ . $
(1)$ 3^{b+c} = \_\_\_\_\_\_ ; $
(2)$ 3^{2a - 3b} = \_\_\_\_\_\_ . $
答案
3.(1)40 (2)$\frac{16}{125}$
解析
【分析】
本题考查幂的运算法则的逆用，解题思路如下：(1)对于指数为和的形式，回忆同底数幂相乘的法则：同底数幂相乘，底数不变，指数相加，逆用该法则可将$3^{b+c}$拆为$3^b$与$3^c$的乘积，代入已知数值计算即可；(2)对于指数为差的形式，先逆用同底数幂相除的法则：同底数幂相除，底数不变，指数相减，将$3^{2a-3b}$拆为$3^{2a}$除以$3^{3b}$，再逆用幂的乘方法则：幂的乘方，底数不变，指数相乘，把$3^{2a}$转化为$(3^a)^2$，$3^{3b}$转化为$(3^b)^3$，最后代入已知数值计算即可。
【解析】
(1) 根据同底数幂乘法的逆运算可得：
$3^{b+c}=3^b · 3^c$
将$3^b=5$，$3^c=8$代入得：
原式$=5×8=40$
(2) 根据同底数幂除法的逆运算和幂的乘方的逆运算可得：
$3^{2a-3b}=3^{2a} ÷ 3^{3b}=(3^a)^2 ÷ (3^b)^3$
将$3^a=4$，$3^b=5$代入得：
原式$=4^2 ÷ 5^3=16 ÷ 125=\frac{16}{125}$
【答案】
(1)$40$；(2)$\frac{16}{125}$
【知识点】
同底数幂的乘法；同底数幂的除法；幂的乘方
【点评】
本题属于幂的运算的基础题型，核心考查幂的运算法则的逆用，解题时要根据指数的运算特征灵活变形公式，代入已知条件计算即可，熟练掌握运算法则是解题的关键。
【难度系数】
0.8
本题考查幂的运算法则的逆用，解题思路如下：(1)对于指数为和的形式，回忆同底数幂相乘的法则：同底数幂相乘，底数不变，指数相加，逆用该法则可将$3^{b+c}$拆为$3^b$与$3^c$的乘积，代入已知数值计算即可；(2)对于指数为差的形式，先逆用同底数幂相除的法则：同底数幂相除，底数不变，指数相减，将$3^{2a-3b}$拆为$3^{2a}$除以$3^{3b}$，再逆用幂的乘方法则：幂的乘方，底数不变，指数相乘，把$3^{2a}$转化为$(3^a)^2$，$3^{3b}$转化为$(3^b)^3$，最后代入已知数值计算即可。
【解析】
(1) 根据同底数幂乘法的逆运算可得：
$3^{b+c}=3^b · 3^c$
将$3^b=5$，$3^c=8$代入得：
原式$=5×8=40$
(2) 根据同底数幂除法的逆运算和幂的乘方的逆运算可得：
$3^{2a-3b}=3^{2a} ÷ 3^{3b}=(3^a)^2 ÷ (3^b)^3$
将$3^a=4$，$3^b=5$代入得：
原式$=4^2 ÷ 5^3=16 ÷ 125=\frac{16}{125}$
【答案】
(1)$40$；(2)$\frac{16}{125}$
【知识点】
同底数幂的乘法；同底数幂的除法；幂的乘方
【点评】
本题属于幂的运算的基础题型，核心考查幂的运算法则的逆用，解题时要根据指数的运算特征灵活变形公式，代入已知条件计算即可，熟练掌握运算法则是解题的关键。
【难度系数】
0.8
4. 下列计算正确的是（
A.$-x(2 - x) = -x^2 + 2x$
B.$(6x^3y^2) · 3x = 18x^2y^2$
C.$(4x^3 - 8x^2 + 2x) ÷ (2x) = 2x^2 - 4x$
D.$(2x - 1)(x + 1) = 2x^2 + x - 1$
D
）A.$-x(2 - x) = -x^2 + 2x$
B.$(6x^3y^2) · 3x = 18x^2y^2$
C.$(4x^3 - 8x^2 + 2x) ÷ (2x) = 2x^2 - 4x$
D.$(2x - 1)(x + 1) = 2x^2 + x - 1$
答案
4.D
解析
【分析】
这道题考查整式乘除相关运算，解题思路是逐个对四个选项运用对应的整式运算法则计算，将计算结果和选项给出的结果对比，判断正误，最终选出正确选项。计算时要注意符号处理、同底数幂的次数运算、不要漏项。
【解析】
我们逐一验证每个选项：
A. 计算$-x(2 - x)$，根据单项式乘多项式法则，用$-x$分别乘括号内的两项：$-x×2 + (-x)×(-x) = -2x + x^2 = x^2 - 2x$，和选项中$-x^2 + 2x$不符，A错误。
B. 计算$(6x^3y^2)·3x$，根据单项式乘单项式法则，系数相乘、同底数幂分别相乘：$6×3 × x^{3+1}y^2 = 18x^4y^2$，和选项中$18x^2y^2$不符，B错误。
C. 计算$(4x^3 - 8x^2 + 2x) ÷ (2x)$，根据多项式除以单项式法则，每一项分别除以$2x$：$4x^3÷2x - 8x^2÷2x + 2x÷2x = 2x^2 - 4x + 1$，选项漏掉了常数项$1$，C错误。
D. 计算$(2x - 1)(x + 1)$，根据多项式乘多项式法则，分别相乘再合并同类项：$2x·x + 2x·1 -1·x -1·1 = 2x^2 + 2x - x -1 = 2x^2 + x -1$，和选项结果一致，D正确。
【答案】
D
【知识点】
单项式乘多项式，整式乘除运算，多项式乘多项式
【点评】
本题属于整式运算的基础考查题，核心是熟练掌握各类整式乘除的运算法则，计算时要格外注意符号的判断、幂次的运算以及不要漏乘漏除某一项，避免因粗心失分。
【难度系数】
0.7
这道题考查整式乘除相关运算，解题思路是逐个对四个选项运用对应的整式运算法则计算，将计算结果和选项给出的结果对比，判断正误，最终选出正确选项。计算时要注意符号处理、同底数幂的次数运算、不要漏项。
【解析】
我们逐一验证每个选项：
A. 计算$-x(2 - x)$，根据单项式乘多项式法则，用$-x$分别乘括号内的两项：$-x×2 + (-x)×(-x) = -2x + x^2 = x^2 - 2x$，和选项中$-x^2 + 2x$不符，A错误。
B. 计算$(6x^3y^2)·3x$，根据单项式乘单项式法则，系数相乘、同底数幂分别相乘：$6×3 × x^{3+1}y^2 = 18x^4y^2$，和选项中$18x^2y^2$不符，B错误。
C. 计算$(4x^3 - 8x^2 + 2x) ÷ (2x)$，根据多项式除以单项式法则，每一项分别除以$2x$：$4x^3÷2x - 8x^2÷2x + 2x÷2x = 2x^2 - 4x + 1$，选项漏掉了常数项$1$，C错误。
D. 计算$(2x - 1)(x + 1)$，根据多项式乘多项式法则，分别相乘再合并同类项：$2x·x + 2x·1 -1·x -1·1 = 2x^2 + 2x - x -1 = 2x^2 + x -1$，和选项结果一致，D正确。
【答案】
D
【知识点】
单项式乘多项式，整式乘除运算，多项式乘多项式
【点评】
本题属于整式运算的基础考查题，核心是熟练掌握各类整式乘除的运算法则，计算时要格外注意符号的判断、幂次的运算以及不要漏乘漏除某一项，避免因粗心失分。
【难度系数】
0.7
5.计算:
(1)$(2xy)^2 · 3xy^2 + 3x(4x^2y^4 - \frac{1}{3}xy^2)$；
(2)$\frac{1}{2}x(4 - 2x) - 2(3 - 2x)(4x + 1)$；
(3)$[(x + y)(x - 2y) - x^2] ÷ (-2y)$。
(1)$(2xy)^2 · 3xy^2 + 3x(4x^2y^4 - \frac{1}{3}xy^2)$；
(2)$\frac{1}{2}x(4 - 2x) - 2(3 - 2x)(4x + 1)$；
(3)$[(x + y)(x - 2y) - x^2] ÷ (-2y)$。
答案
5.解：(1)$24x^{3}y^{4}-x^{2}y^{2}$；(2)$15x^{2}-18x-6$；(3)$\frac{x}{2}+y$
解析
【分析】
这三道题均属于整式的混合运算，解题需遵循“先乘方，再乘除，最后加减，有括号先算括号内”的运算顺序：
(1) 先计算积的乘方，再分别计算单项式乘单项式、单项式乘多项式，最后合并同类项即可；
(2) 先分别计算单项式乘多项式、多项式乘多项式，再去括号、合并同类项，注意去括号时符号的变化；
(3) 先计算括号内的多项式乘多项式，合并括号内的同类项后，再计算整式的除法即可。
【解析】
(1) 先计算积的乘方，再展开乘法项：
$\begin{aligned}原式&=4x^2y^2·3xy^2 + 3x·4x^2y^4 - 3x·\frac{1}{3}xy^2\\&=12x^3y^4 + 12x^3y^4 - x^2y^2\\&=24x^3y^4 - x^2y^2\end{aligned}$
(2) 分别展开各乘法项，再去括号合并同类项：
$\begin{aligned}原式&=(2x - x^2) - 2×(12x + 3 - 8x^2 - 2x)\\&=2x - x^2 - 2×(10x + 3 - 8x^2)\\&=2x - x^2 - 20x - 6 + 16x^2\\&=15x^2 - 18x - 6\end{aligned}$
(3) 先化简括号内的整式，再计算除法：
$\begin{aligned}原式&=[x^2 - 2xy + xy - 2y^2 - x^2] ÷ (-2y)\\&=(-xy - 2y^2) ÷ (-2y)\\&=(-xy)÷(-2y) + (-2y^2)÷(-2y)\\&=\frac{x}{2} + y\end{aligned}$
【答案】
(1)$24x^{3}y^{4}-x^{2}y^{2}$；(2)$15x^{2}-18x-6$；(3)$\frac{x}{2}+y$
【知识点】
整式混合运算，整式的乘除，合并同类项
【点评】
本题重点考查整式运算的相关法则，解题时要严格遵循运算顺序，去括号时需留意符号是否正确，计算过程要细心，避免因漏乘、合并同类项错误导致失分。
【难度系数】
0.7
这三道题均属于整式的混合运算，解题需遵循“先乘方，再乘除，最后加减，有括号先算括号内”的运算顺序：
(1) 先计算积的乘方，再分别计算单项式乘单项式、单项式乘多项式，最后合并同类项即可；
(2) 先分别计算单项式乘多项式、多项式乘多项式，再去括号、合并同类项，注意去括号时符号的变化；
(3) 先计算括号内的多项式乘多项式，合并括号内的同类项后，再计算整式的除法即可。
【解析】
(1) 先计算积的乘方，再展开乘法项：
$\begin{aligned}原式&=4x^2y^2·3xy^2 + 3x·4x^2y^4 - 3x·\frac{1}{3}xy^2\\&=12x^3y^4 + 12x^3y^4 - x^2y^2\\&=24x^3y^4 - x^2y^2\end{aligned}$
(2) 分别展开各乘法项，再去括号合并同类项：
$\begin{aligned}原式&=(2x - x^2) - 2×(12x + 3 - 8x^2 - 2x)\\&=2x - x^2 - 2×(10x + 3 - 8x^2)\\&=2x - x^2 - 20x - 6 + 16x^2\\&=15x^2 - 18x - 6\end{aligned}$
(3) 先化简括号内的整式，再计算除法：
$\begin{aligned}原式&=[x^2 - 2xy + xy - 2y^2 - x^2] ÷ (-2y)\\&=(-xy - 2y^2) ÷ (-2y)\\&=(-xy)÷(-2y) + (-2y^2)÷(-2y)\\&=\frac{x}{2} + y\end{aligned}$
【答案】
(1)$24x^{3}y^{4}-x^{2}y^{2}$；(2)$15x^{2}-18x-6$；(3)$\frac{x}{2}+y$
【知识点】
整式混合运算，整式的乘除，合并同类项
【点评】
本题重点考查整式运算的相关法则，解题时要严格遵循运算顺序，去括号时需留意符号是否正确，计算过程要细心，避免因漏乘、合并同类项错误导致失分。
【难度系数】
0.7
6. [2026 芜湖期末] 下列计算正确的是 （
A.$(a-2)^2 = a^2 - 2a + 4$
B.$(a+1)(a-1) = a^2 + 1$
C.$(a+b)^2 = a^2 + b^2$
D.$(a + \frac{1}{2}b)^2 = a^2 + ab + \frac{1}{4}b^2$
D
）A.$(a-2)^2 = a^2 - 2a + 4$
B.$(a+1)(a-1) = a^2 + 1$
C.$(a+b)^2 = a^2 + b^2$
D.$(a + \frac{1}{2}b)^2 = a^2 + ab + \frac{1}{4}b^2$
答案
6.D
解析
【分析】
本题考查整式乘法中乘法公式的应用，解题时需牢记平方差公式和完全平方公式，逐个验证每个选项的展开结果是否正确即可。首先明确核心公式：①平方差公式：$(a+b)(a-b)=a^2-b^2$；②完全平方公式：$(a\pm b)^2=a^2\pm 2ab+b^2$，再依次核对每个选项。
【解析】
我们对每个选项逐一验证：
选项A：根据完全平方公式，$(a-2)^2=a^2-2× a×2 +2^2=a^2-4a+4$，与选项给出的$a^2-2a+4$不一致，故A错误；
选项B：根据平方差公式，$(a+1)(a-1)=a^2-1^2=a^2-1$，与选项给出的$a^2+1$不一致，故B错误；
选项C：根据完全平方公式，$(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$，选项遗漏了中间项$2ab$，故C错误；
选项D：根据完全平方公式，$(a+\frac{1}{2}b)^2=a^2+2× a×\frac{1}{2}b + (\frac{1}{2}b)^2=a^2+ab+\frac{1}{4}b^2$，与选项结果一致，故D正确。
【答案】
D
【知识点】
完全平方公式、平方差公式
【点评】
本题是基础运算类题目，核心是对乘法公式的准确记忆，要注意完全平方公式展开后共3项，不要遗漏交叉乘积项，平方差公式要注意符号是两项的差，避免记混公式导致出错。
【难度系数】
0.8
本题考查整式乘法中乘法公式的应用，解题时需牢记平方差公式和完全平方公式，逐个验证每个选项的展开结果是否正确即可。首先明确核心公式：①平方差公式：$(a+b)(a-b)=a^2-b^2$；②完全平方公式：$(a\pm b)^2=a^2\pm 2ab+b^2$，再依次核对每个选项。
【解析】
我们对每个选项逐一验证：
选项A：根据完全平方公式，$(a-2)^2=a^2-2× a×2 +2^2=a^2-4a+4$，与选项给出的$a^2-2a+4$不一致，故A错误；
选项B：根据平方差公式，$(a+1)(a-1)=a^2-1^2=a^2-1$，与选项给出的$a^2+1$不一致，故B错误；
选项C：根据完全平方公式，$(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$，选项遗漏了中间项$2ab$，故C错误；
选项D：根据完全平方公式，$(a+\frac{1}{2}b)^2=a^2+2× a×\frac{1}{2}b + (\frac{1}{2}b)^2=a^2+ab+\frac{1}{4}b^2$，与选项结果一致，故D正确。
【答案】
D
【知识点】
完全平方公式、平方差公式
【点评】
本题是基础运算类题目，核心是对乘法公式的准确记忆，要注意完全平方公式展开后共3项，不要遗漏交叉乘积项，平方差公式要注意符号是两项的差，避免记混公式导致出错。
【难度系数】
0.8
7.已知$a - b = 5$，$ab = 6$，则$(a + b)^2 =$
49
答案
7.49
解析
【分析】
本题可利用完全平方公式的变形关系求解。首先回忆完全平方公式：$(a-b)^2=a^2-2ab+b^2$，$(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$，观察两个公式的结构可发现，$(a+b)^2$可以转化为用$(a-b)$和$ab$表示的形式：$(a+b)^2=(a-b)^2+4ab$，已知$a-b$和$ab$的值，直接代入计算即可得到结果。
【解析】
根据完全平方公式的变形可得：
$\begin{aligned}(a+b)^2&=a^2+2ab+b^2\\&=a^2-2ab+b^2+4ab\\&=(a-b)^2+4ab\end{aligned}$
将$a-b=5$，$ab=6$代入上式：
$\begin{aligned}(a+b)^2&=5^2+4×6\\&=25+24\\&=49\end{aligned}$
【答案】
49
【知识点】
完全平方公式、代数式求值
【点评】
本题属于基础计算题，核心考查完全平方公式的灵活变形应用，熟练掌握两个完全平方公式之间的转换关系，就能快速代入已知条件求出结果。
【难度系数】
0.8
本题可利用完全平方公式的变形关系求解。首先回忆完全平方公式：$(a-b)^2=a^2-2ab+b^2$，$(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$，观察两个公式的结构可发现，$(a+b)^2$可以转化为用$(a-b)$和$ab$表示的形式：$(a+b)^2=(a-b)^2+4ab$，已知$a-b$和$ab$的值，直接代入计算即可得到结果。
【解析】
根据完全平方公式的变形可得：
$\begin{aligned}(a+b)^2&=a^2+2ab+b^2\\&=a^2-2ab+b^2+4ab\\&=(a-b)^2+4ab\end{aligned}$
将$a-b=5$，$ab=6$代入上式：
$\begin{aligned}(a+b)^2&=5^2+4×6\\&=25+24\\&=49\end{aligned}$
【答案】
49
【知识点】
完全平方公式、代数式求值
【点评】
本题属于基础计算题，核心考查完全平方公式的灵活变形应用，熟练掌握两个完全平方公式之间的转换关系，就能快速代入已知条件求出结果。
【难度系数】
0.8
8. 数学文化 请看杨辉三角(如图①),并观察等式(如图②).
根据前面各式的规律,可得$(a+b)^6=$
根据前面各式的规律,可得$(a+b)^6=$
$a^6 + 6a^5b + 15a^4b^2 + 20a^3b^3 + 15a^2b^4 + 6ab^5 + b^6$
.答案
8.$a^6 + 6a^5b + 15a^4b^2 + 20a^3b^3 + 15a^2b^4 + 6ab^5 + b^6$
解析
【分析】
我们可以从两个角度找规律：一是观察杨辉三角的数字规律：每行首尾都是1，中间每个数等于它肩上两个数的和，且$(a+b)^n$的系数恰好对应杨辉三角第$(n+1)$行的数字；二是观察展开式的字母规律：展开式中$a$的指数从$n$依次递减到0，$b$的指数从0依次递增到$n$，每一项$a$和$b$的指数和等于$n$。我们先推导$(a+b)^6$对应的系数，再结合字母规律写出展开式即可。
【解析】
步骤1：推导系数
已知$(a+b)^4$的系数为1、4、6、4、1，根据杨辉三角规律：
→$(a+b)^5$的系数为1、$1+4=5$、$4+6=10$、$6+4=10$、$4+1=5$、1，即1、5、10、10、5、1
→$(a+b)^6$的系数为1、$1+5=6$、$5+10=15$、$10+10=20$、$10+5=15$、$5+1=6$、1，即1、6、15、20、15、6、1
步骤2：结合字母规律写展开式
$(a+b)^6$中$a$的指数从6依次降为0，$b$的指数从0依次升为6，每一项对应上述系数，因此展开式为：
$a^6 + 6a^5b + 15a^4b^2 + 20a^3b^3 + 15a^2b^4 + 6ab^5 + b^6$
【答案】
$a^6 + 6a^5b + 15a^4b^2 + 20a^3b^3 + 15a^2b^4 + 6ab^5 + b^6$
【知识点】
杨辉三角规律，多项式乘方展开，规律探究
【点评】
本题结合传统数学文化杨辉三角设题，侧重考查观察、归纳、应用规律的能力，解题核心是找准展开式的系数和字母次数的变化规律，是规律探究类的典型题目。
【难度系数】
0.7
我们可以从两个角度找规律：一是观察杨辉三角的数字规律：每行首尾都是1，中间每个数等于它肩上两个数的和，且$(a+b)^n$的系数恰好对应杨辉三角第$(n+1)$行的数字；二是观察展开式的字母规律：展开式中$a$的指数从$n$依次递减到0，$b$的指数从0依次递增到$n$，每一项$a$和$b$的指数和等于$n$。我们先推导$(a+b)^6$对应的系数，再结合字母规律写出展开式即可。
【解析】
步骤1：推导系数
已知$(a+b)^4$的系数为1、4、6、4、1，根据杨辉三角规律：
→$(a+b)^5$的系数为1、$1+4=5$、$4+6=10$、$6+4=10$、$4+1=5$、1，即1、5、10、10、5、1
→$(a+b)^6$的系数为1、$1+5=6$、$5+10=15$、$10+10=20$、$10+5=15$、$5+1=6$、1，即1、6、15、20、15、6、1
步骤2：结合字母规律写展开式
$(a+b)^6$中$a$的指数从6依次降为0，$b$的指数从0依次升为6，每一项对应上述系数，因此展开式为：
$a^6 + 6a^5b + 15a^4b^2 + 20a^3b^3 + 15a^2b^4 + 6ab^5 + b^6$
【答案】
$a^6 + 6a^5b + 15a^4b^2 + 20a^3b^3 + 15a^2b^4 + 6ab^5 + b^6$
【知识点】
杨辉三角规律，多项式乘方展开，规律探究
【点评】
本题结合传统数学文化杨辉三角设题，侧重考查观察、归纳、应用规律的能力，解题核心是找准展开式的系数和字母次数的变化规律，是规律探究类的典型题目。
【难度系数】
0.7
9.先化简,再求值:$(2x+3)(2x-3)-(x-2)^2-3x(x-1)$,其中$x=2$.
答案
9.解：原式$=4x^2-9-x^2+4x-4-3x^2+3x=7x-13$,当$x=2$时,原式$=14-13=1$.
解析
【分析】
本题是整式化简求值题，解题思路分为两步：第一步先化简整式，先识别出$(2x+3)(2x-3)$符合平方差公式的形式，$(x-2)^2$符合完全平方公式的形式，再分别用对应公式展开，用单项式乘多项式法则计算$3x(x-1)$，去括号时注意符号变化，最后合并同类项得到最简整式；第二步将$x=2$代入最简整式计算，即可得到最终结果。
【解析】
解：根据乘法公式和整式运算法则展开计算：
$\begin{aligned}原式&=(4x^2-9)-(x^2-4x+4)-(3x^2-3x)\\&=4x^2-9-x^2+4x-4-3x^2+3x\\&=(4x^2-x^2-3x^2)+(4x+3x)+(-9-4)\\&=7x-13\end{aligned}$
当$x=2$时，代入最简式计算：
原式$=7×2-13=14-13=1$
【答案】
$1$
【知识点】
平方差公式；完全平方公式；整式化简求值
【点评】
本题重点考查整式混合运算的熟练度，解题的关键是准确掌握乘法公式、去括号和合并同类项的规则，计算时要格外注意去括号后的符号变化，避免因符号失误丢分。
【难度系数】
0.8
本题是整式化简求值题，解题思路分为两步：第一步先化简整式，先识别出$(2x+3)(2x-3)$符合平方差公式的形式，$(x-2)^2$符合完全平方公式的形式，再分别用对应公式展开，用单项式乘多项式法则计算$3x(x-1)$，去括号时注意符号变化，最后合并同类项得到最简整式；第二步将$x=2$代入最简整式计算，即可得到最终结果。
【解析】
解：根据乘法公式和整式运算法则展开计算：
$\begin{aligned}原式&=(4x^2-9)-(x^2-4x+4)-(3x^2-3x)\\&=4x^2-9-x^2+4x-4-3x^2+3x\\&=(4x^2-x^2-3x^2)+(4x+3x)+(-9-4)\\&=7x-13\end{aligned}$
当$x=2$时，代入最简式计算：
原式$=7×2-13=14-13=1$
【答案】
$1$
【知识点】
平方差公式；完全平方公式；整式化简求值
【点评】
本题重点考查整式混合运算的熟练度，解题的关键是准确掌握乘法公式、去括号和合并同类项的规则，计算时要格外注意去括号后的符号变化，避免因符号失误丢分。
【难度系数】
0.8
