登录
9.如图①，在$△ ABC$中，沿虚线剪去$∠ C$，若$∠1+∠2=240°$，则$∠ C$的度数为
【变式·转化思想】如图②，将$△ ABC$的一角折叠，若$∠1+∠2=128°$，则$∠ A=$
60°
。【变式·转化思想】如图②，将$△ ABC$的一角折叠，若$∠1+∠2=128°$，则$∠ A=$
64
°。答案
9.60° 【变式·转化思想】64
解析
【分析】
第一问：剪去∠C后原三角形变为四边形，可先利用四边形内角和求出∠A+∠B的度数，再结合三角形内角和定理计算∠C的度数。
第二问（变式）：折叠前后对应角相等，先根据平角性质得到∠1、∠2与折叠后两个角的数量关系，再结合三角形内角和定理，代入转化即可求出∠A的度数。
【解析】
第9题：
在△ABC中，根据三角形内角和定理得：$∠ A + ∠ B + ∠ C = 180°$，即$∠ A + ∠ B = 180° - ∠ C$。
剪去∠C后得到四边形，四边形内角和为$360°$，因此$∠ A + ∠ B + ∠ 1 + ∠ 2 = 360°$。
将$∠ 1+∠ 2=240°$、$∠ A + ∠ B = 180° - ∠ C$代入上式：
$180° - ∠ C + 240° = 360°$
解得：$∠ C = 60°$。
变式题：
由折叠的性质可得：$∠ AED = ∠ A'ED$，$∠ ADE = ∠ A'DE$。
根据平角的定义：$∠ 1 + 2∠ AED = 180°$，$∠ 2 + 2∠ ADE = 180°$。
两式相加得：$∠ 1 + ∠ 2 + 2(∠ AED + ∠ ADE) = 360°$。
在△AED中，$∠ AED + ∠ ADE + ∠ A = 180°$，即$∠ AED + ∠ ADE = 180° - ∠ A$。
将$∠ 1+∠ 2=128°$、$∠ AED + ∠ ADE = 180° - ∠ A$代入上式：
$128° + 2(180° - ∠ A) = 360°$
化简得：$128° + 360° - 2∠ A = 360°$
解得：$∠ A = 64°$。
【答案】
$60°$；$64$
【知识点】
三角形内角和定理；四边形内角和；折叠的性质
【点评】
本题考查内角和定理的实际应用，折叠类问题的核心是抓住折叠前后对应角相等的特点，通过角度的等量代换建立已知角和未知角的关系即可求解，解题时注意灵活运用三角形和四边形的内角和公式。
【难度系数】
0.7
第一问：剪去∠C后原三角形变为四边形，可先利用四边形内角和求出∠A+∠B的度数，再结合三角形内角和定理计算∠C的度数。
第二问（变式）：折叠前后对应角相等，先根据平角性质得到∠1、∠2与折叠后两个角的数量关系，再结合三角形内角和定理，代入转化即可求出∠A的度数。
【解析】
第9题：
在△ABC中，根据三角形内角和定理得：$∠ A + ∠ B + ∠ C = 180°$，即$∠ A + ∠ B = 180° - ∠ C$。
剪去∠C后得到四边形，四边形内角和为$360°$，因此$∠ A + ∠ B + ∠ 1 + ∠ 2 = 360°$。
将$∠ 1+∠ 2=240°$、$∠ A + ∠ B = 180° - ∠ C$代入上式：
$180° - ∠ C + 240° = 360°$
解得：$∠ C = 60°$。
变式题：
由折叠的性质可得：$∠ AED = ∠ A'ED$，$∠ ADE = ∠ A'DE$。
根据平角的定义：$∠ 1 + 2∠ AED = 180°$，$∠ 2 + 2∠ ADE = 180°$。
两式相加得：$∠ 1 + ∠ 2 + 2(∠ AED + ∠ ADE) = 360°$。
在△AED中，$∠ AED + ∠ ADE + ∠ A = 180°$，即$∠ AED + ∠ ADE = 180° - ∠ A$。
将$∠ 1+∠ 2=128°$、$∠ AED + ∠ ADE = 180° - ∠ A$代入上式：
$128° + 2(180° - ∠ A) = 360°$
化简得：$128° + 360° - 2∠ A = 360°$
解得：$∠ A = 64°$。
【答案】
$60°$；$64$
【知识点】
三角形内角和定理；四边形内角和；折叠的性质
【点评】
本题考查内角和定理的实际应用，折叠类问题的核心是抓住折叠前后对应角相等的特点，通过角度的等量代换建立已知角和未知角的关系即可求解，解题时注意灵活运用三角形和四边形的内角和公式。
【难度系数】
0.7
10.新情境[2026淮北期末]如图，这是可调节躺椅示意图，AE与BD的交点为C，且∠CAB、∠CBA、∠D的大小保持不变.为了舒适，需调整∠E的大小，使∠EFD=130°，则图中∠E应（
A.增加10°
B.减少10°
C.增加20°
D.减少20°
A
）A.增加10°
B.减少10°
C.增加20°
D.减少20°
答案
10.A
解析
【分析】
解题时先从已知固定度数的角入手：首先利用三角形内角和定理求出△ABC中∠ACB的度数，再由对顶角相等得到∠DCE的度数；接着根据三角形外角的性质，推导出∠EFD和∠D、∠E、∠DCE的数量关系，先算出当前∠EFD的度数，再对比目标∠EFD=130°，即可算出∠E的调整幅度。思考时要注意∠CAB、∠CBA、∠D都是固定角，因此∠DCE是定值，只有∠E的变化会影响∠EFD的大小。
【解析】
1. 求∠DCE的度数
在△ABC中，根据三角形内角和为180°：
$∠ ACB = 180° - ∠ CAB - ∠ CBA = 180° - 50° - 60° = 70°$
由对顶角相等可得：$∠ DCE = ∠ ACB = 70°$
2. 计算当前∠EFD的度数
根据三角形外角的性质可推导得：$∠ EFD = ∠ D + ∠ DCE + ∠ E$
代入当前已知角度：$∠ EFD = 20° + 70° + 30° = 120°$
3. 计算∠E的调整幅度
目标$∠ EFD=130°$，需要比当前增加$130°-120°=10°$，由于∠D、∠DCE均为定值，因此∠E需要增加10°。
【答案】A
【知识点】
三角形内角和定理；对顶角的性质；三角形外角的性质
【点评】
本题结合生活场景考查三角形角度相关性质的应用，解题核心是找准固定不变的角，理清未知角和已知角之间的数量关系，属于几何知识在实际生活中的典型应用题。
【难度系数】
0.7
解题时先从已知固定度数的角入手：首先利用三角形内角和定理求出△ABC中∠ACB的度数，再由对顶角相等得到∠DCE的度数；接着根据三角形外角的性质，推导出∠EFD和∠D、∠E、∠DCE的数量关系，先算出当前∠EFD的度数，再对比目标∠EFD=130°，即可算出∠E的调整幅度。思考时要注意∠CAB、∠CBA、∠D都是固定角，因此∠DCE是定值，只有∠E的变化会影响∠EFD的大小。
【解析】
1. 求∠DCE的度数
在△ABC中，根据三角形内角和为180°：
$∠ ACB = 180° - ∠ CAB - ∠ CBA = 180° - 50° - 60° = 70°$
由对顶角相等可得：$∠ DCE = ∠ ACB = 70°$
2. 计算当前∠EFD的度数
根据三角形外角的性质可推导得：$∠ EFD = ∠ D + ∠ DCE + ∠ E$
代入当前已知角度：$∠ EFD = 20° + 70° + 30° = 120°$
3. 计算∠E的调整幅度
目标$∠ EFD=130°$，需要比当前增加$130°-120°=10°$，由于∠D、∠DCE均为定值，因此∠E需要增加10°。
【答案】A
【知识点】
三角形内角和定理；对顶角的性质；三角形外角的性质
【点评】
本题结合生活场景考查三角形角度相关性质的应用，解题核心是找准固定不变的角，理清未知角和已知角之间的数量关系，属于几何知识在实际生活中的典型应用题。
【难度系数】
0.7
11. 几何直观 如图，CE是$△ ABC$的外角$∠ ACD$的平分线，且CE交BA的延长线于点E.
(1)若$∠ E=25°,∠ BAC=80°$,求$∠ B$的度数；
(2)试说明:$∠ BAC=∠ B+2∠ E$.
(1)若$∠ E=25°,∠ BAC=80°$,求$∠ B$的度数；
(2)试说明:$∠ BAC=∠ B+2∠ E$.
答案
11.解: (1)$∠B=30°$. (2)略.
解析
【分析】
(1) 求解∠B的度数可分三步：第一步，利用△ACE的外角∠BAC与内角∠E、∠ACE的关系求出∠ACE的度数；第二步，根据角平分线的定义得到∠ECD=∠ACE；第三步，利用△BCE的外角∠ECD与内角∠B、∠E的关系，即可算出∠B的度数。
(2) 要证明∠BAC=∠B+2∠E，先由角平分线定义得∠ACE=∠ECD，再结合两次三角形外角的性质：∠ECD=∠B+∠E、∠BAC=∠E+∠ACE，通过等量代换即可完成推导。
【解析】
(1) 解：
∵∠BAC是△ACE的外角，三角形的外角等于与它不相邻的两个内角之和，
∴$∠ BAC = ∠ E + ∠ ACE$，
将$∠ BAC=80°$，$∠ E=25°$代入得：
$∠ ACE = 80° - 25° = 55°$，
∵CE是∠ACD的平分线，
∴$∠ ECD = ∠ ACE = 55°$，
又
∵∠ECD是△BCE的外角，同理可得：
$∠ ECD = ∠ B + ∠ E$，
∴$∠ B = 55° - 25° = 30°$。
(2) 证明：
∵CE平分∠ACD，
∴$∠ ACE = ∠ ECD$，
∵∠ECD是△BCE的外角，
∴$∠ ECD = ∠ B + ∠ E$，即$∠ ACE = ∠ B + ∠ E$，
∵∠BAC是△ACE的外角，
∴$∠ BAC = ∠ E + ∠ ACE$，
将$∠ ACE = ∠ B + ∠ E$代入得：$∠ BAC = ∠ E + ∠ B + ∠ E = ∠ B + 2∠ E$，等式得证。
【答案】
(1) $\boldsymbol{∠B=30°}$；(2) 略
【知识点】
三角形外角的性质，角平分线的定义
【点评】
本题是三角形角度计算与证明的基础题型，解题关键是准确识别不同三角形对应的外角，结合角平分线定义进行角度运算和等量推导，能有效锻炼几何逻辑推理能力。
【难度系数】
0.7
(1) 求解∠B的度数可分三步：第一步，利用△ACE的外角∠BAC与内角∠E、∠ACE的关系求出∠ACE的度数；第二步，根据角平分线的定义得到∠ECD=∠ACE；第三步，利用△BCE的外角∠ECD与内角∠B、∠E的关系，即可算出∠B的度数。
(2) 要证明∠BAC=∠B+2∠E，先由角平分线定义得∠ACE=∠ECD，再结合两次三角形外角的性质：∠ECD=∠B+∠E、∠BAC=∠E+∠ACE，通过等量代换即可完成推导。
【解析】
(1) 解：
∵∠BAC是△ACE的外角，三角形的外角等于与它不相邻的两个内角之和，
∴$∠ BAC = ∠ E + ∠ ACE$，
将$∠ BAC=80°$，$∠ E=25°$代入得：
$∠ ACE = 80° - 25° = 55°$，
∵CE是∠ACD的平分线，
∴$∠ ECD = ∠ ACE = 55°$，
又
∵∠ECD是△BCE的外角，同理可得：
$∠ ECD = ∠ B + ∠ E$，
∴$∠ B = 55° - 25° = 30°$。
(2) 证明：
∵CE平分∠ACD，
∴$∠ ACE = ∠ ECD$，
∵∠ECD是△BCE的外角，
∴$∠ ECD = ∠ B + ∠ E$，即$∠ ACE = ∠ B + ∠ E$，
∵∠BAC是△ACE的外角，
∴$∠ BAC = ∠ E + ∠ ACE$，
将$∠ ACE = ∠ B + ∠ E$代入得：$∠ BAC = ∠ E + ∠ B + ∠ E = ∠ B + 2∠ E$，等式得证。
【答案】
(1) $\boldsymbol{∠B=30°}$；(2) 略
【知识点】
三角形外角的性质，角平分线的定义
【点评】
本题是三角形角度计算与证明的基础题型，解题关键是准确识别不同三角形对应的外角，结合角平分线定义进行角度运算和等量推导，能有效锻炼几何逻辑推理能力。
【难度系数】
0.7
12. 能力训练点·探究建模 在$△ ABC$中，$∠ C=70°$，点$D$，$E$分别是$△ ABC$边$AC$，$BC$上的两个定点，$P$是平面内一动点。
【问题初探】
(1)如图①，若点$P$在线段$AB$上运动，
①当$∠α=60°$时，$∠1+∠2=$
②$∠α$，$∠1$，$∠2$之间的数量关系为
【深入探究】
(2)若点$P$运动到边$AB$的延长线上，$PD$交$BC$于点$F$，如图②，则$∠α$，$∠1$，$∠2$之间有何关系？并说明理由。
【拓展应用】
(3)当点$P$在$△ ABC$的内部，且点$D$，$P$，$E$不共线时，记$∠ ADP=∠1$，$∠ BEP=∠2$，$∠ DPE=∠α$，试探究$∠α$，$∠1$，$∠2$之间的关系。
备用图
【问题初探】
(1)如图①，若点$P$在线段$AB$上运动，
①当$∠α=60°$时，$∠1+∠2=$
130°
；②$∠α$，$∠1$，$∠2$之间的数量关系为
∠1+∠2=70°+∠α
。【深入探究】
(2)若点$P$运动到边$AB$的延长线上，$PD$交$BC$于点$F$，如图②，则$∠α$，$∠1$，$∠2$之间有何关系？并说明理由。
【拓展应用】
(3)当点$P$在$△ ABC$的内部，且点$D$，$P$，$E$不共线时，记$∠ ADP=∠1$，$∠ BEP=∠2$，$∠ DPE=∠α$，试探究$∠α$，$∠1$，$∠2$之间的关系。
备用图
答案
12.解: (1)①130° ②$∠1+∠2=70°+∠α$
(2)$∠1=70°+∠2+∠α$. 理由:略.
(3)$∠1+∠2=430°−∠α$ 或$∠1+∠2=∠α+70°$.
(2)$∠1=70°+∠2+∠α$. 理由:略.
(3)$∠1+∠2=430°−∠α$ 或$∠1+∠2=∠α+70°$.
解析
【分析】
解题核心是利用三角形内角和、外角性质、四边形内角和定理，结合平角、对顶角等性质推导角的数量关系：
(1)①先求△ABC中∠A+∠B的度数，再利用△ADP、△BEP的内角和总和，结合平角定义消去无关角，代入∠α的值即可求出∠1+∠2；②按照①的推导逻辑，保留∠α即可得到三者的数量关系。
(2)利用三角形外角的性质：三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角之和，先找∠1与∠C、∠CFD的关系，再通过对顶角相等将∠CFD转化为△EFP的外角，即可推导三者关系。
(3)分两种情况讨论：当∠DPE为小于180°的角时，利用四边形CDPE的内角和定理推导；当∠DPE为大于180°的优角时，结合周角为360°的性质，再代入四边形内角和公式推导即可。
【解析】
(1)在△ABC中，$∠ A+∠ B=180°-∠ C=180°-70°=110°$。
在△ADP和△BEP中，$∠1+∠ A+∠ APD=180°$，$∠2+∠ B+∠ BPE=180°$，两式相加得：
$∠1+∠2+∠ A+∠ B+∠ APD+∠ BPE=360°$，
代入$∠ A+∠ B=110°$，得$∠1+∠2+∠ APD+∠ BPE=250°$。
又因为$∠ APD+∠ BPE+∠α=180°$（平角定义），所以$∠ APD+∠ BPE=180°-∠α$，
代入上式得：$∠1+∠2+180°-∠α=250°$，即$∠1+∠2=70°+∠α$。
①当$∠α=60°$时，$∠1+∠2=70°+60°=130°$；
②三者关系为$∠1+∠2=70°+∠α$。
(2)关系：$∠1=70°+∠2+∠α$。
理由如下：
∵$∠1$是△CDF的外角，
∴$∠1=∠ C+∠ CFD$（三角形外角等于不相邻两内角和），
又
∵$∠ CFD$与$∠ EFP$是对顶角，
∴$∠ CFD=∠ EFP$，
∵$∠ EFP$是△EFP的外角，
∴$∠ EFP=∠2+∠α$，
∴$∠1=∠ C+∠2+∠α=70°+∠2+∠α$。
(3)分两种情况：
情况1：$∠ DPE=∠α$为小于180°的角，在四边形CDPE中，内角和为$360°$，
∴$∠ C+∠ CDP+∠ CEP+∠α=360°$，
∵$∠ CDP=180°-∠1$，$∠ CEP=180°-∠2$，
代入得：$70°+180°-∠1+180°-∠2+∠α=360°$，
化简得：$∠1+∠2=70°+∠α$。
情况2：$∠ DPE=∠α$为大于180°的优角，此时四边形CDPE中与$∠α$相邻的内角为$360°-∠α$，
同理代入四边形内角和公式：$70°+180°-∠1+180°-∠2+(360°-∠α)=360°$，
化简得：$∠1+∠2=430°-∠α$。
综上，$∠1+∠2=430°−∠α$ 或$∠1+∠2=∠α+70°$。
【答案】
(1)①$\boxed{130°}$；②$\boxed{∠1+∠2=70°+∠α}$
(2)$\boxed{∠1=70°+∠2+∠α}$
(3)$\boxed{∠1+∠2=430°−∠α}$ 或 $\boxed{∠1+∠2=∠α+70°}$
【知识点】
三角形内角和定理；三角形外角性质；多边形内角和
【点评】
本题是三角形角的关系探究题，由浅入深设置不同位置的动点，考查学生对三角形、多边形内角和、外角性质的灵活运用能力，解题时要注意分类讨论，避免漏解。
【难度系数】
0.6
解题核心是利用三角形内角和、外角性质、四边形内角和定理，结合平角、对顶角等性质推导角的数量关系：
(1)①先求△ABC中∠A+∠B的度数，再利用△ADP、△BEP的内角和总和，结合平角定义消去无关角，代入∠α的值即可求出∠1+∠2；②按照①的推导逻辑，保留∠α即可得到三者的数量关系。
(2)利用三角形外角的性质：三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角之和，先找∠1与∠C、∠CFD的关系，再通过对顶角相等将∠CFD转化为△EFP的外角，即可推导三者关系。
(3)分两种情况讨论：当∠DPE为小于180°的角时，利用四边形CDPE的内角和定理推导；当∠DPE为大于180°的优角时，结合周角为360°的性质，再代入四边形内角和公式推导即可。
【解析】
(1)在△ABC中，$∠ A+∠ B=180°-∠ C=180°-70°=110°$。
在△ADP和△BEP中，$∠1+∠ A+∠ APD=180°$，$∠2+∠ B+∠ BPE=180°$，两式相加得：
$∠1+∠2+∠ A+∠ B+∠ APD+∠ BPE=360°$，
代入$∠ A+∠ B=110°$，得$∠1+∠2+∠ APD+∠ BPE=250°$。
又因为$∠ APD+∠ BPE+∠α=180°$（平角定义），所以$∠ APD+∠ BPE=180°-∠α$，
代入上式得：$∠1+∠2+180°-∠α=250°$，即$∠1+∠2=70°+∠α$。
①当$∠α=60°$时，$∠1+∠2=70°+60°=130°$；
②三者关系为$∠1+∠2=70°+∠α$。
(2)关系：$∠1=70°+∠2+∠α$。
理由如下：
∵$∠1$是△CDF的外角，
∴$∠1=∠ C+∠ CFD$（三角形外角等于不相邻两内角和），
又
∵$∠ CFD$与$∠ EFP$是对顶角，
∴$∠ CFD=∠ EFP$，
∵$∠ EFP$是△EFP的外角，
∴$∠ EFP=∠2+∠α$，
∴$∠1=∠ C+∠2+∠α=70°+∠2+∠α$。
(3)分两种情况：
情况1：$∠ DPE=∠α$为小于180°的角，在四边形CDPE中，内角和为$360°$，
∴$∠ C+∠ CDP+∠ CEP+∠α=360°$，
∵$∠ CDP=180°-∠1$，$∠ CEP=180°-∠2$，
代入得：$70°+180°-∠1+180°-∠2+∠α=360°$，
化简得：$∠1+∠2=70°+∠α$。
情况2：$∠ DPE=∠α$为大于180°的优角，此时四边形CDPE中与$∠α$相邻的内角为$360°-∠α$，
同理代入四边形内角和公式：$70°+180°-∠1+180°-∠2+(360°-∠α)=360°$，
化简得：$∠1+∠2=430°-∠α$。
综上，$∠1+∠2=430°−∠α$ 或$∠1+∠2=∠α+70°$。
【答案】
(1)①$\boxed{130°}$；②$\boxed{∠1+∠2=70°+∠α}$
(2)$\boxed{∠1=70°+∠2+∠α}$
(3)$\boxed{∠1+∠2=430°−∠α}$ 或 $\boxed{∠1+∠2=∠α+70°}$
【知识点】
三角形内角和定理；三角形外角性质；多边形内角和
【点评】
本题是三角形角的关系探究题，由浅入深设置不同位置的动点，考查学生对三角形、多边形内角和、外角性质的灵活运用能力，解题时要注意分类讨论，避免漏解。
【难度系数】
0.6
